Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng kỹ thuật chọn điểm rơi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỉ nhất trong một số bài toán bất đẳng thức

 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .Trang 2
 I. Lí do chọn đề tài nghiên cứuTrang 2
 II. Mục đích nghiên cứu ..Trang 2
 III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu....Trang 2
 IV. Nhiệm vụ nghiên cứu......Trang 5
 V. Phương pháp nghiên cứu..Trang 5
 VI. Phạm vi nghiên cứu...Trang 5
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU....Trang 6
 I. Bài toán xuất phát......Trang 6
 II. Sai lầm trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình
 nhân..Trang 6
 III. Sai lầm trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình 
cộng..Trang 15
 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.Trang 18
Các phụ lục..Trang 19- 22.
 1 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
 Là học sinh lớp 10A8và 10D4, lớp 12 trong quá trình học chương bất đẳng 
thức và học sinh luyện thi vào đại học, cao đẳng. 
 Tôi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Phan Bội Châu có những điều kiện 
thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng.
* Học sinh:
 Chọn lớp 10A8 là nhóm thực nghiệm và 10D4 là nhóm đối chứng và tiến 
hành kiểm tra các kiến thức cơ bản để đánh giá và so sánh mức độ của 2 lớp 
trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp không có 
sự khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh 
lệch giữa điểm số trung bình của 2 lớp trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
 Đối chứng (ĐC) Thực nghiệm (TN)
 TBC 5,5 5,5
 p 0,44
P 0,44 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm 
TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương. 
Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu
 Nhóm Kiểm tra trước TĐ Tác động (TĐ) KT sau TĐ
 Dạy học theo hệ thống 
 Thực nghiệm O1 O3
 bài tập liên quan
 Dạy học theo hệ thống 
 Đối chứng O2 O4
 bài tập có nhiều loại
ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
 3/ Quy trình nghiên cứu
 * Chuẩn bị bài của giáo viên:
 Thiết kế bày dạy lớp thực nghiệm theo hệ thống bài tập liên quan 
 Thiết kế bày dạy lớp đối chứng theo hệ thống bài tập có nhiều loại.
 3 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp 
đối chứng.
 Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD 1,34 . 
Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn. 
 Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là
 p 0,0001 0,001. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm 
không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động. 
IV/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
 1/ Cơ sở lý luận và thực tiễn:
 1.1. Cơ sở lý luận: Sách giáo khoa lớp 10, các tài liệu ttham khảo.
 2.1. Cơ sở thực tiễn: Học sinh lớp10 và 12 trường THPT Phan Bội 
Châu trong các năm học vừa qua.
 2/ Những định hướng đổi mới: 
 - Cho học sinh làm một số dạng toán liên quan đến đề tài này.
 - Khuyến khích các em tìm tòi một số bài toán liên quan đến đề tài này.
 3/ Đánh giá thực trạng: Học sinh nhiều em chưa biết ứng dụng “ Kỹ thuật 
chọn điểm rơi” để giải một số bài toán bất đẳng thức.
 4/ Đề xuất biện pháp: Trong tiết dạy tự chọn 10 và 12, Giáo viên nên cho 
một vài bài toán dạng này để khích lệ sự tìm tòi, sáng tạo cho học sinh.
V/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
 - Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa. Báo Toán học và tuổi trẻ.
 - Thực hành thông qua quá trình giảng dạy.
 - Điều tra kết qủa học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu 
quả đạt được của HS khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện 
tốt hơn trong quá trình xây dựng đề tài.
VI/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1/ Phạm vi khoa học: Kiến thức Toán của chương trình phổ thông
2/ Địa bàn nghiên cứu: Trường THPT Phan Bội Châu, Cam Ranh, Khánh Hòa.
3/ Thời gian nghiên cứu: Từ năm học 2011 – 2013
 5 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
 a 3 4 5 6 7 8 9 10 . 100
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 .
 a 3 4 5 6 7 8 9 10 100
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 P 3 4 5 6 7 8 9 10 .. 100
 3 4 5 6 7 8 9 10 100
Ta thấy khi a tăng thì P càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán là khi a 3 thì P 
nhận giá trị nhỏ nhất.
 10
Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng MinP đạt tại « Điểm 
 3
rơi: a 3 »
Do bất đẳng thức xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,
nên tại « Điểm rơi: a 3 » ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cô si trực tiếp 
 1 1
cho 2 số a và vì 3 . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Cô si 
 a 3
 a 1 a 1
cho cặp số ; sao cho tại « điểm rơi: a 3 » thì . Khi đó ta có sơ đồ 
 m a m a
điểm rơi sau đây:
 a 3
 m m 1 3
Sơ đồ: a 3 m 9. Vậy m 9 là hệ số điểm rơi.
 1 1 3 m
 a 3
Từ đó ta biến đổi P theo sơ đồ « Điểm rơi » như nêu ở trên.
1.4. Lời giải đúng:
 1 a 1 8a a 1 8a 2 8a 2 8.3 10
 P a 2 . 
 a 9 a 9 9 a 9 3 9 3 9 3
 10
 MinP tại a 3
 3
 1
 Bài 2: Cho a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a .
 a2
1. Nhận xét và lời giải:
 7 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
 1
1.3. Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của a; 2a ; và P để dự đoán 
 a2
MinP
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 a
 10 9 8 7 6 5 4 3 2
 1 2 1 2 1 2 1 2
2.a 1
 5 9 4 7 3 5 2 3
 1
 100 81 64 49 36 25 16 9 4
 a2
 1 2 1 2 1 2 1 2
 P 100 81 64 49 36 25 16 9 5
 5 9 4 7 3 5 2 3
Từ bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì P càng nhỏ và từ đó dẫn đến dự 
 1
đoán là khi a thì P nhận giá trị nhỏ nhất.
 2
1.3.1. Sơ đồ điểm rơi 1:
 1
 a 
 1 2 1 4
 a m 8. Vậy m 8 là hệ số điểm rơi.
 2 1 4 2 m
 ma2 m
1.3.2 Lời giải đúng 1: 
 1 1 7 1 7 3 7 3 7.4
 3
P 2a 2 a a 2 2 3 a.. a 2 2 2 5
 a 8a 8a 8a 8a 2 8a 2 8
 1
Vậy MinP 5 khi a .
 2
1.4.1. Sơ đồ điểm rơi 2:
 m
 ma 
 1 2 1 4
 a m 8. Vậy m 8 là hệ số điểm rơi.
 2 1 2 m
 4
 a2
1.4.2 Lời giải đúng 2: 
 1 1 1 1
 3
P 2a 2 8a 8a 2 14a 3 8a .8 a . 2 14a 12 14a 12 14. 5
 a a a 2
 9 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
 1 17
 Với t 4 hay a b thì MinP = 
 2 4
 1
* Lời giải thu gọn: Do t 4 a b nên biến đổi trực tiếp P như sau:
 2
 1 1 15 1 15 17
P ab ab 2. ab. 2 
 ab 16ab 16ab 16ab a b 4
 16 
 2 
 1 17
 Với a b thì Min P = 
 2 4
 a b ab
Bài 5. Cho a, b 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
 ab a b
1. Nhận xét và lời giải:
 a b ab a b ab
1.1. Sai lầm thường gặp: P 2. . 2 MinP 2
 ab a b ab a b
1.2. Nguyên nhân sai lầm: 
 a b ab
MinP 2 1 ab a b 2 ab 1 2 : Vô lý.
 ab a b
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do P là một biểu thức đối xứng với a,b nên dự 
đoán MinP đạt tại a b 0
 . Sơ đồ điểm rơi:
 a b 2a 2
 m ab ma m 1 2
 a b m 4 :Hệ số điểm rơi.
 ab a 1 2 m
 a b 2a 2
1.4. Lời giải đúng:
 a b ab a b ab 3(a b)
P 
 ab a b 4 ab a b 4 ab
 a b ab 3(a b) 3 5
 P 2 . 1 .
 4 ab a b 4 ab 2 2
 11 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
 ma mb mc 
 1 2 m
 a b c 2 m 4 :Hệ số điểm rơi.
 1 1 1 2
 2 2
 a b c
 1.4.3 Cách 2:
 1 1 1 1 1 1 
 P a b c 4a 4b 4c 3(a b c)
 a b c a b c 
 1 1 1 3 15
 P 66 4a .4 b .4 c . . . 3(a b c) 12 3 
 a b c 2 2
 1 15
 Với a b c thì Min P= .
 2 2
 a,, b c 0
 1 1 1
 Bài 7. Cho 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P a2 b2 c2 .
 a b c a b c
 2
 1. Nhận xét và lời giải:
1.2. Sai lầm thường gặp: 
 1 1 1 1 1 1
 P a2 b2 c2 
 2a 2b 2c 2a 2b 2c
 2 2 2 1 1 1 1 1 1 9
 9. 9 a b c . . . . . . 
 2a2 b 2 c 2a2 b 2 c 3 4
 9
 MinP 
 3 4
 9 1 1 1 1
 1.3. Nguyên nhân sai lầm: MinP a2 b2 c2 
 3 4 2a 2b 2c 3 4
 1 3 3
 a b c a b c (trái với giả thiết)
 3 2 3 2 2
1.4. Phân tích và tìm lời giải:
 1
 Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại a b c 
 2
 1.4.1. Sơ đồ điểm rơi:
 13