Sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng

 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
 MỤC LỤC
 Nội dung Trang 
Mở đầu 2
Chương 1: Cơ sở lý luận 3
 1. Bất đẳng thức Cauchy 3
 2 . Hệ quả bất đẳng thức Cauchy 3
Chương 2: Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy 4
 I. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức 4
 II. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải phương trình, bất phương trình 8
 III. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào tìm GTLN- GTNN 13
 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy 13
 2. Ứng dụng vào tìm GTLN- GTNN 17
 IV. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh tính chất nghiệm 20
Kết luận 21
Tài liệu tham khảo 22
 1
 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
Chương 1 : Cơ sở lí luận 
1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
 n n
 Cho .Ta có : , (1)
 ai ¡ ,i 1,n ai n ai n ¥ \ 0,1
 i 1 i 1
 Dấu '' '' xảy ra a1 a2 ... an.
 CM
 • Với n 2 ta có : a1 a2 2 a1a2 ( luôn đúng).
 k
 1 k k
 • Giả sử (1) đúng với n k , tức là : ak ai .Ta chứng minh (1) 
 k i 1 i 1
 cũng đúng với n k 1. Thật vậy , giả sử 
 1 k
 a1 a2 ... ak ak 1 ak 1 ai
 k i 1
 1 k
 Đặt x ai , ak 1 x y,(y 0).
 k i 1
 k 1 k
 1 k 1 ak 1 k x y 1 
 Vì ai . ai x x y 
 k 1 i 1 k 1 k i 1 k 1 k 1 k 1 k 1 
 k 1 k 1 k 1
 1 1 k 1 k 1 k
 Do đó : ai x y x x y
 k 1 i 1 k 1 k 1
 k 1
 k
 x x y ai (đúng).
 i 1
 Dấu '' '' xảy ra a1 a2 ... an.
 Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) đúng n ¥ \ 0,1.
 • Với n 1thì hiển nhiên bất đẳng thức (1) đúng.
2. HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
 + Hệ quả 1: 
 n
 n n S 
 Nếu ons thì ax xảy ra a a ... a .
 ai S c t M  ai 1 2 n
 i 1 i 1 n 
 + Hệ quả 2: 
 n n
 n
 Nếu  ai P const thì Min ai n P xảy ra a1 a2 ... an.
 1 1 
 i i
 3
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
 * n
 n ¥ ta có : 1 x 1 n x . Chuyển qua giới hạn , thì được : 
 lim 1 x n lim(1 x) hay 1 x 1 x.
 x x n
 Như vậy bđt (3) được chứng minh hoàn toàn.
 *
Bài toán 2 : Cho ai ¡ , ai 0, i 1,k, n,k ¢ . Ta có : 
 n
 k k
 1 n 1 
 ai ai (4) . Dấu '' '' xảy ra a1 a2 ... ak .
 k i 1 k i 1 
 CM
 1 k
Đặt S ai
 k i 1
 • k 1, thì BĐT (4) hiển nhiên đúng.
 n n
 • k 1, áp dụng BĐT cauchy cho 1 số ai và n 1 số S ta được :
 n n n 1
 ai n 1 S nS .ai ,i
 k k k
 n n n 1 n n n
Do đó : ai k n 1 S nS ai knS ai kS .
 i 1 i 1 i 1
 n
 k k
 1 n n 1 
 ai S ai . Dấu'' '' xảy ra a1 a2 ... ak . ( đpcm) .
 k i 1 k i 1 
 Chú ý : + Ta có thể chứng minh BĐT (4) nhờ BĐT Bernoulli như sau :
 n
 k k
 1 ka i 
Đặt S ai . Khi đó : (4) k  .
 k i 1 i 1 S 
 n n
 ka ka S ka S
 i , ta có : i 1 i 1 n i
 S S S
 n n
 k ka ks ks k ka 
 Do đó :  i k n  i k. 
 i 1 s s i 1 s 
 ka S
 Dấu “ = ” xảy ra i 0,(i 1,k) a a ... a
 S 1 2 k .
 *
 + Nếu thay điều kiện n ¢ bằng điều kiện n 1, n ¡ thì cách 
 chứng minh thứ 2 hợp lí hơn.
 + Các BĐT (2), (3) , (4) đều có thể chứng minh bằng đạo hàm.
Bài toán 3: Cho x, y, z 0 và m,n ¥ * . Chứng minh rằng: 
 x m ym z m
 x m n ym n z m n . Dấu “ = ” xảy ra x y z.
 yn zn x n
 5
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
II. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT , BPT ,HPT, HBPT.
 1. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT, BPT. 
 Ví dụ 1. Giải pt sau :
 x3 3x 2 8x 40 8 4 4x 4 .
 Lời giải
 Điều kiện 4x 4 0 x 1. Ta có : 
 CS
 x3 3x 2 8x 40 8 4 4x 4 4 4 x 1 4.4.4 x 1 4 4 4
 x 3 x 3 2 0 x 3.
Vậy x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
 Ví dụ 2 . Giải phương trình sau :
 5 27x10 5x6 5 864 0 
 lời giải
Do x 0 không là nghiệm của pt , nên chia cả 2 vế cho 5 27x6 ta được :
 4 5 864 1 4 2 5
 x 5 . 0 x 
 5 27 27 x6 x6 5 27
 3 2
 5 x 4 1 x 4 1 5
 3. 2. 5 5 
 6 6 
 5 27 3 x 3 x 5 27
 x 4 1
 Dấu “ = ’’ xảy ra x10 3 x 10 3.
 3 x6
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 10 3.
 Ví dụ 3 . Tìm nghiệm x, y của bất phương trình sau :
 2002 1
 x y 2002 1
 e 2003 2003 e x e y ( 1 )
 2003 2003
 Lời giải
 2002 1
Đặt a , b a b 1 b 1 a. Khi đó phương trình( 1) trở 
 2003 2003
thành : eax 1 a y aex be y aex 1 a e y ea x y aex y 1 a ( 2 ) 
 Giả sử x0 , y0 là nghiệm của BPT (2) , điều này cũng có nghĩa là nghiệm của 
BPT (1)
 a x y x y
 Tức là : e 0 0 ae 0 0 1 a ( * )
Mặt khác theo BĐT Bernoulli , ta lại có : 
 a
 a x y a x y a x y x y
 0 0 0 0 0 0 0 0
 e 1 e 1 1 a e 1 1 a ae mâu thuẫn với ( *).
Vậy BPT đã cho vô nghiệm.
 7
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
 1 1 1
Dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời x y z x y z . 
 x y z
 1
Thay vào (1) x y z thoả mãn (3) .
 3
 1
Vậy HPT đã cho có nghiệm duy nhất là x y z .
 3
Nhận xét : 
 • Thay vì lý luận dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời , ta có thể làm như 
 sau : 
 1 9 1
 Từ (4) và (5) xyz (6) thế vào (3) ta được : xy yz zx (7)
 27 27 3
 Từ (2), (6),(7) và theo định lí Vi-ét thì x, y,z là 3 nghiệm của phương trình sau : 
 3
 3 2 1 1 1 1 1
 X X X 0 X 0 X x y z . 
 3 27 3 3 3
 • Với cách làm ở trên thì phương trình (3) là không cần thiết .
 • Ta cũng có thể trình bày lời giải bài toán trên theo cách sau : 
 Vì vai trò x, y, z là như nhau. Không mất tính tổng quát ta giả sử
 1
 x y z 0. Ta có 3z x y z 1 0 3z 1 0 z . 
 3
 7
 3 xy yz zx 2xyz xy 1 2z z x y 
 27
 x y 2 1 z 2
 1 2z z x y 1 2z z 1 z 
 4 4
 3
 1 3 2 1 1 z z 1 2z 7
 2z z 1 z.z 1 2z 1 1 . 
 4 4 4 3 27
 x y
 x y 1
Dấu " " xảy ra 1 Thế vào (2) ta được x y z thoả 
 z 1 2z z 3
 3
 1
mãn phương trình (1). Vậy x y z là nghiệm của hệ đã cho.
 3
 Bình luận : Với cách làm trên ta thấy phương trình (1) chỉ cần thay bằng giả 
 thiết x, y, z 0 là đủ.
 9
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
 *
 Ví dụ 3. Tìm a,b ¢ thoả mãn : 
 a b b a 12 (1)
 a a b b 28 (2)
 Lời giải
 Từ (1) ta có : 12 a b b a 2 4 (ab)3 ab 6 3 6 6 3 8 12
 *
 Do a,b ¢ ab 11 (3).
 2
 Từ (2) ta có : 282 a a b b a2 b2 a b 
 2 3
 a b a b a b 
 a b 3 28 9 a b 10 (4)
 Giả sử a b, từ (3) suy ra ab 11 a2 11 a 3. 
 • Với 2 a 3, thì từ (4) b 7 ab 2.7 14 11 
 (mâu thuẫn (3) ) 
 • Với a 1, từ (4) suy ra b 9 kết hợp với (3) ta được b 9;10;11.
 Dễ dàng kiểm tra thấy chỉ có cặp (1 ; 9) là thoả mãn.
 Vậy nghiệm của hệ BPT đã cho là a,b 1;9 , 9;1 .
 Ví dụ 4 . Tìm nghiệm dương của HBPT sau :
 a2000 b2000 c2000 3 (1)
 2 2 2
 a b c 3 (2)
 Lời giải
 Áp dụng BĐT cauchy ta có : 
 a2000 999.1 10001000 a2000 .1 1000a2
 Tương tự , ta có :
 b2000 999.1 1000b2 và c2000 999.1 1000c2
 Do đó : a 2000 b2000 +c2000 3.999 1000(a 2 b2 c2 )
 a2 b2 c2 .1000 3. 1 999 3.1000
 a2 b2 c2 3 (3) . 
 Từ (2) và (3) suy ra a2 b2 c2 3 . Dấu “ = “ xảy ra a b c 1. Vậy 
 nghiệm của HBPT đã cho là : a b c 1 W
 11
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh