Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn Toán lớp 10

Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học 
 tự chọn môn toán lớp 10 
 1 
III PHẠM VI NGHIÊN CỨU 
 1. Đối tượng nghiên cứu: 
Học sinh lớp 10A1 của Trường THPT Nguyễn Trung Ngạn trong giờ học tự chọn môn 
toán. 
 2. Phạm vi nghiên cứu: 
“ Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10” bằng các bài toán 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât. 
IV. CƠ SỞ NGHIÊN CỨU 
 Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường ĐHSP, 
các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo 
khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học phổ thông  
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
 Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: 
 – Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu sách tham khảo, đề thi học sinh 
 giỏi, mạng Internet, các tài liệu liên quan khác 
 – Phương pháp khảo sát thực tiễn: Khảo sát học sinh lớp 10A1 của Trường 
THPT Nguyễn Trung Ngạn. 
 – Phương pháp quan sát : Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT 
Nguyễn Trung Ngạn 
 - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm, cho đề kiểm tra 
khảo sát kết quả sau khi thực hiện chuyên đề. 
 – Phương pháp thống kê toán học. 
VI. THỜI GIAN THỰC HIỆN 
 - Đề tài được thực hiện từ ngày 20 - 03 -2013 đến ngày 10 - 04 - 2013 
VII. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI 
 Đề tài được sử dụng trong giờ học tự chọn môn toán của lớp 10A1 và dùng để bồi 
dường học sinh thi Đại học , bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh. 
 PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG 
I. Khảo sát tình hình thực tế 
 Năm học 2012 – 2013, tôi được BGH nhà trường phân công giảng dạy môn toán 
lớp 10A1. Đây là một cơ hội rất tốt để tôi thực hiện đề tài này.Bài toán tìm giá trị lớn 
nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những dạng bài toán khó. Trong quá trình giải toán học 
sinh còn rất lúng túng, kể cả những học sinh đã đạt giải học sinh giỏi cấp tỉnh ở cấp 
THCS. Sau khi học sinh học xong bài bất đẳng thức và một số ứng dụng tìm giá trị lớn 
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Tôi tiến hành khảo sát trên 46 học sinh ở lớp 10A1 và 
kết quả đạt như sau: 
 11/46 HS đạt điểm trên trung bình 
 35/46 HS đạt điểm dưới trung bình 
 3 3 1
Từ (3) và (1) Ta có P . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = . 
 4 3
 3 1
Vậy Max P = khi và chỉ khi x = y = z = . 
 4 3
Bài 2: Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : xy2z2 + x2z +y = 3 z2 
 z4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 
 1 z4 ( x 4 y 4 )
 14 4 1
Lời giải: Ta xét x y 4 
 P z
 2
 2 x y
Từ giả thiết suy ra xy + 3. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : 
 z z 2
 1 x8 x 2
 1 x4 x 4 44 4 (1) 
 z4 z 4 z
 1 1 y4 y
 1+ y4 44 4 (2) 
 z4 z 4 z 8 z 2
 4 4 4 4 4 8 2
 1+ x + y +y 4 x y = 4xy (3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta được 
 2
 1 4 4 x y 2 1 1
 3 +3( 4 x y ) 4 2 xy 12 3 P . Dấu 
 z z z P 3
bằng xảy ra khi x =y = z = 1. 
 1
Vậy Max P = khi và chỉ khi x =y = z = 1. 
 3
Bài 3 Cho a, b, c là các số thục dương thỏa điều kiện abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 
 1 1 1
biểu thức P = 
 a2 2 b 2 3 b 2 2 c 2 3 c 2 2 a 2 3
Lời giải : Do a2+b2 2ab, b2 + 1 2b khi đó : 
 1 1 1
 a2 2 b 2 3 a 2 b 2 b 2 1 2 2( ab b 1)
 1 1 1 1
 Tương tự và 
 b2 2 c 2 3 2( bc c 1) c2 2 a 2 3 2( ac c 1)
 1 1 1 1 
Khi đó P 
 2 ab b 1 bc c 1 ca a 1 
 1 1ab b 1 1
 P . ( Do c và ac = 
 2 ab b 1 ab b 1 ab b 1 2 ab
1
 ) 
b
 Dấu bằng trong BĐT trên xảy ra khi a = b = c = 1 
 1
Vậy Max P = khi và chỉ khi a = b = c = 1 
 2
Bài 4 ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên) 
 5 1
Vậy P 3 . Dầu bằng xảy ra khi a = b =c = . 
 4
 1
Kết luận : Min P = 3 khi a = b = c = . 
 4
 2 2 2
Bài 6 Cho các số không âm x , y, z thỏa mãn x + y +z 3 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 1 4 8
biểu thức P = 
 (x 1)2 ( y 2) 2 ( z 3) 2
 2 2 2
Lời giải : Ta có 2x + 4y + 2z ( x + 1) + ( y + 4) + (z + 1) 3y + 6 
 y
Suy ra x + y + 2z 6 Dấu bằng xảy ra khi x = = z = 1. 
 2
 1 1 8
Với a và b là các số dương ta có : ( 1) 
 a2 b 2() a b 2
Áp dụng BĐT (1) ta được : 
 1 1 8 8 8
 2 2 2 2 2
 (x 1) y ( z 3) y ( z 3)
 1 x 1 1 
 2 2 
 64 64.4 64.4
 2 2 2 1
 y (2x y 2 z 10) (610) 
 x 2 z 3 
 2 
Vậy Min P = 1 khi x = 1, y = 2 , z = 1 
Bài 7 Cho x,y,z dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P = 3x2 + 3y2 + z2 
Lời giải: Ta có 2P = ( 4x2 + z2) + (4y2+ z2) +(2x2+ 2y2) 
Áp dụng BĐT Cô si ta có 4x2 + z2 4xz , 4y2 + z2 4yz, 2x2 + 2y2 4xy 
Khi đó 2P 4( xy + yz + zx) = 20 hay P 10 . 
P =10 khi x = y = 1 , z =2 
Kết luận Min P = 10 khi và chỉ khi x = y =1 , z= 2 
Bài 8 Cho x 0 , y 0 và x y 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
 x2 y 2
P = + . 
 y +1 x +1
 x2 y 2 x3 + y 3 + x 2 + y 2
Lời giải : Ta có: P = + = 
 y +1 x +1 x + y + xy +1
 x+y x2 -xy+y 2 +x 2 +y 2 2 x2 + y 2 - xy
= = (vì x+y =1) 
 x + y + xy +1 2 + xy
 2
 2 x + y -5xy 2 -5xy
= = 
 2 + xy 2 + xy
 2
 x y 1 1
Đặt t = xy . Khi đó 0 xy hay 0 t 
 4 4 4
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P chính là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu 
 2 5t 1 12
thức f() t với 0 t . Ta có f(t) = -5 + . 
 2 t 4 t 2
 7 6 x6 y 6 z 6
P 33 3 3 3 3 
 42 162 162 162
 3 3 9
hay P () x2 y 2 z 2 
 2 223 2 2 26 8
 9 3 9 3 3
Suy ra P 
 26 23 2 2 2 2 2 2 2
 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Vậy MinP = 
 2
Bài 11 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện: 
 xy + yz + zx 2xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). 
 1 1 1
Lời giải: Ta có xy yz xz 2 xyz 2 nên 
 x y z
 1 1 1y 1 z 1 (1)(1) y z 
 1 1 2 (1) 
 x y z y z yz
 1 1 1x 1 z 1 (1)(1) x z 
 Tương tự ta có 1 1 2 (2) 
 y x z x z xz
 1 1 1x 1 y 1 (1)(1) x y 
 1 1 2 (3) 
 y x y x y xy
 1 1
 Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được (x 1)( y 1)( z 1) . Suy ra A 
 8 8
 1 3
Vậy MaxA = x y z 
 8 2
 Bài 12 Với mọi số thực dương x;; y z thỏa điều kiện x y z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất 
 1 1 1 
của biểu thức: P x y z 2 . 
 x y z 
 2 1
Lời giải: Áp dụng BĐT Cô-si : 18x 12 (1). Dấu bằng xảy ra khi x . 
 x 3
 2 2
 Tương tự: 18y 12 (2) và 18z 12 (3). 
 y z
 Mà: 17 x y z 17 (4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P 19 . 
 1 1
 P 19 x y z . Vậy MinP = 19 x = y = z = 
 3 3
 1 1 1
Bài 13 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
 P 1 1 1
thức: 
 2x y z x 2 y z x y 2 z
 1 1 1 1 
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức: . Dấu bằng xảy ra khi a = b . 
 a b4 a b 
 1 1.( 1 1 ) 1 1 1 1 
Ta có : x y z x y z x y z 
 2 4 2 8 16 
 9 1 x3 y 3 3
 1 x3 y 3 33 1. x 3 . y 3 3 xy 
 xy xy
 1 y3 z 3 3 1 z3 x 3 3
Tương tự: ; 
 yz yz zx zx
 1 x3 y 3 1 y 3 z 3 1 z3 x 3 3 3 3
Suyra: S 
 xy yz zx xy yz zx
 3 3 3
 3 . . 3 3 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1. 
 xy yz zx
Vậy MinS = 3 3 khi x = y = z = 1. 
Bài 17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất 
 1 1 1
của biểu thức: P 
 1 xy 1 yz 1 zx
 1 1 1 
Lời giải: Ta có: (1 xy ) (1 yz ) (1 zx ) 9 
 1 xy 1 yz 1 zx 
 9 9
 P 
 3 xy yz zx 3 x2 y 2 z 2
 3
 Mà P = khi x = y = z= 1 
 2
 3
Vậy Min P = x = y = z= 1 
 2
Bài 18 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. 
 x(y2 z) y(z 2 x) z(x 2 y)
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
 yz zx xz
 x2 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2
Lời giải: Ta có : P (*) 
 y z z x x y
Nhận thấy : x2 + y2 – xy xy x, y  
 x2 y 2
Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0 hay x y x, y > 0 
 y x
 2 2
 y z z2 x 2
Tương tự, ta có : y z y, z > 0 và z x x, z > 0 
 z y x z
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được: 
 P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 
 1
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy Min P = 2. 
 3
Bài 19 Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x 2 y 2 z 2 xyz . Hãy 
 x y z
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P . 
 x 2 yz y 2 zx z 2 xy
 Lời giải: Vì x; y; z 0 , Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
 11