Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH 
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH 
 Sáng kiến kinh nghiệm 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN 
 Giáo viên thực hiện: LÊ THỊ TỴ 
 Tổ : TOÁN 
 Năm học :2012-201 
 1 B. NỘI DUNG 
I. Các phương pháp giải phương trình bậc bốn. 
1. Phương pháp đưa phương trình về dạng tích. 
 Cho phương trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) (1) 
a) Phương pháp: 
Cách 1: Nhóm các hạng tử, sau đó đặt thừa số chung để đưa vế trái về dạng 
tích. 
Cách 2: 
- Bước 1: Đoán nghiệm x0 của phương trình dựa vào các kết quả sau: 
+ Nếu a+b+c+d+e=0 thì (1) có nghiệm x = 1. 
+ Nếu a-b+c-d+e=0 thì (1) có nghiệm x = -1. 
 p
+ Nếu a, b, c, d, e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ thì p, q theo thứ tự là 
 q
ước của e và a. 
- Bước 2: 
+ Bằng cách chia đa thức hoặc dùng lược đồ Hoócne, phân tích (1) thành: 
 x x
 3 2 0
(x- x0)(ax +b1x +c1x+d1) = 0 3 2 
 ax b1 x c 1 x d 1 0 (1.1)
+ Giải phương trình (1.1) bằng cách: 
 - Đoán nghiệm x1 của phương trình (1.1) dựa vào các kết quả sau: 
 + Nếu a+b1+c1+d1=0 thì (1.1) có nghiệm x = 1. 
 + Nếu a-b1+c1-d1=0 thì (1.1) có nghiệm x = -1. 
 p
 + Nếu a, b1, c1 ,d1 nguyên và (1.1) có nghiệm hữu tỉ thì p, q theo thứ 
 q
tự là ước của d1 và a. 
 3 3 c1
 + Nếu ac1 b 1 d 1( a , b 1 0) thì (1.1) có nghiệm x = . 
 b1
 3 Phương trình x3-3x2-4x+12=0 có một nghiệm x = 2 nên 
 x 1
 x 1 0 
 2 x 2
(1.3) (x-1)(x-2)(x -x-6)=0 x 2 0 
 x 2
 2
 x x 6 0 
 x 3
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt x =1, x= 2, x= -2, x= 3. 
* Nhận xét: Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là phương pháp 
thường được nghĩ đến đầu tiên khi giải phương trình. Nhưng nếu việc đưa 
về dạng tích gặp khó khăn, chúng ta nên nghĩ đến việc sử dụng các phương 
pháp khác. 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ. 
2.1. Dạng 1 (PT trùng phương): ax4 + bx2+c =0 (a 0) (2) 
a) Phương pháp: 
- Đặt t = x2 (t 0), đưa (2) về phương trình bậc hai: at2+bt+c=0 (2') 
 - Giải (2'), nếu (2') có nghiệm t0 0 thì (2) có nghiệm x t0 
* Chú ý: 
- (2) vô nghiệm (2') vô nghiệm hoặc (2') có nghiệm t1 t2<0 
- (2) có nghiệm duy nhất (2') có nghiệm t1 0 =t2 
- (2) có 2 nghiệm phân biệt (2') có nghiệm t1 0 
- (2) có 3 nghiệm phân biệt (2') có nghiệm 0=t1 <t2 
- (2) có 4 nghiệm phân biệt (2') có nghiệm 0< t1 <t2 
b) Ví dụ: 
Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số 
cộng: x4 -2(m+1)x2+2m+1 =0 (2.3) 
Giải: Đặt t = x2 (t 0) . Phương trình trở thành: 
 2
 t -2(m+1)t+2m+1 =0 (2.4) 
 (2.3) có 4 nghiệm phân biệt (2.4) có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn : 0< t1 <t2 
 5 * Đặc biệt: Khi a1=b1=c1=d1=1, phương trình có dạng : 
(x +a2)(x+b2)(x+c2)(x+d2) = m với b2 a 2 d 2 c 2 
ta cũng có cách giải tương tự. 
b) Ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: (x-1)(x+1)(x+3)(x+5)= 9 (3.1) 
Giải: Phương trình (3.1) (x-1)(x+5)(x+1)(x+3)= 9 
 ( x2 + 4x-5)(x2+4x+3) = 9 
Đặt t = x2 + 4x-5, phương trình (3.1) trở thành: t(t+8) = 9 
 2 t 1
 t + 8t – 9 = 0 
 t 9
 . Với t=1 thì x2 + 4x – 5 = 1 x2 + 4x - 6 = 0 x= 2 10 
 2 2
 . Với t= 9 thì x + 4x – 5 = -9 x + 4x + 4 = 0 x = - 2 
 Vậy phương trình có 3 nghiệm : x = 2 10 ; x = 2 10 ; x = -2 
2.3. Dạng 3 : Phương trình có dạng: 
 2
 4 3 2 e d 
 ax + bx +cx +dx+e =0 (a 0), với ;e 0 (4) 
 a b 
a) Phương pháp: 
- Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (4), chia hai vế cho x2 0, ta 
được: 
 e1 d 1
 a( x2 . ) b ( x . ) c 0 
 a x2 b x
 d e1 d
- Đặt t= x , suy ra x2 . t 2 2. , phương trình (4) trở thành: 
 bx a x2 b
 2 d
 at +bt +c - 2a =0. Đây là phương trình bậc hai quen thuộc. 
 b
* Đặc biệt: Khi a=e, phương trình có dạng: ax4 + bx3+cx2 bx+a =0 (a 0) 
ta cũng có cách giải tương tự. 
b) Ví dụ: 
 7 * Nhận xét: Phương trình ban đầu không phải là phương trình dạng 3 
nhưng với phép đặt ẩn phụ thích hợp, ta có thể đưa phương trình về dạng 3. 
2.4. Dạng 4 : Phương trình có dạng : ( x + a)4 + ( x + b)4 = c (5) 
a) Phương pháp: 
 a b
 - Đưa (5) về dạng phương trình trùng phương bằng cách đặt t= x + 
 2
b) Ví dụ: Giải phương trình : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 
(5.1) 
Giải: Đặt t = x + 2, phương trình (5.1) trở thành: 
 4 4 4 2
 ( t-1) + ( t+1) = 16 2t + 12t + 2 = 16 
 t4 + 6t2 – 7 = 0 ( Phương trình trùng phương) 
 t 2 1
 2
 t 7 (loại) 
 Với t2 = 1 thì t = 1 hoặc t = -1. Từ đó suy ra x= -1 hoặc x= -3 
 Vậy phương trình có 2 nghiệm là : x = - 1; x = -3 
2.5. Dạng 5: Phương trình có dạng : 
 m( x +a)(x+b)(x+c)(x+d) = nx2 , với ab = cd 0, m 0, n 0 (6) 
a) Phương pháp: 
 2
 - Nhận thấy x=0 không là nghiệm của (6), chia hai vế cho x 0, ta được: 
 ab cd
 m(x + a+b + ) (x + c+d + ) = n 
 x x
- Đặt t = x +a+b+ ab , ta đưa (6) về phương trình bậc hai ẩn t: mt(t-a-
 x
b+c+d)=n 
b) Ví dụ: Giải phương trình: 4(x+5)( x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 (6.1) 
Giải: (6.1) 4(x+6)( x+10)(x+5)(x+12) = 3x2 
 4(x2+16x+60)(x2+17x+60) = 3x2 
 Nhận thấy x=0 không là nghiệm của (6.1), chia hai vế cho x2 0, ta được: 
 9 1 x 1 1 3 13
 . Với t = thì = x2 3 x 1 0 x 
 2 x2 x 1 2 2
 3 13
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 
 2
2.7. Dạng 7: Phương trình có dạng tổng quát: ax4 + bx3+cx2+dx+e =0 
(a 0). 
a) Phương pháp: 
 2 2 2
- Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng a(x +b1x+c1) + B(x +b1x+c1) 
+C=0 
 2 2
- Bước 2: Đặt t= x +b1x+c1, phương trình trở thành: at +Bt+C=0. 
b) Ví dụ: 
 Giải phương trình: x4 -4x3+3x2+2x-20 =0 
(8.1) 
 4 3 2 2
 Giải: Phương trình (8.1) x -4x +4x -(x - 2x) -20 =0 
 2 2 2
 (x - 2x) -( x - 2x)-20=0 
 2
 Đặt t = x - 2x (t -1), phương trình trở thành: 
 2 t 4 (loại) 
 t - t -20 =0 
 t 5 (t/m) 
 Với t =5 thì x2- 2x =5 x 1 6 
 Vậy phương trình có 2 nghiệm : x 1 6 
3. Phương pháp đưa về hai luỹ thừa cùng bậc. 
a) Phương pháp: Đưa phương trình về dạng: [f(x)]2 = [g(x)]2 f(x) = 
 g(x) 
b) Ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 = 24x + 32 (9.1) 
Giải: Phương trình (9.1) x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36 
 11 b) Ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 + 4x3 +3x2 + 2x - 1 = 0 (10.1) 
 2 2
Giải: Giả sử (10.1) phân tích được thành : (x + a1x + b1)( x + a2x + b2) = 
0 
 a1 a 2 4 b 1 1
 a1 a 2 b 1 b 2 3 b 2 1
Khi đó: 
 a1 b 2 a 2 b 1 2 a 1 3
 b1 b 2 1 a 2 1
Phương trình (10.1) (x2 +3x -1)( x2 + x +1) = 0 
 3 13
 2 x 
 x 3x 1 0 2
 2
 x x 1=0 (VN ) 3 13
 x 
 2
 3 13
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 
 2
* Nhận xét: Từ b1b2=-1 ta thử ngay với b1=-1, b2=1, từ đây có thể dễ dàng 
tìm được a1=3, a2=1. 
Ví dụ 2: Tìm a, b để phương trình x4 - 4x3 +(4+a)x + b = 0 (10.2) 
có 2 nghiệm kép phân biệt. 
Giải: Phương trình (10.2) có 2 nghiệm kép phân biệt x1, x2 nên: 
 4 3 2 2
 x - 4x +(4+a)x + b = (x-x1) (x-x2) 
 4 3 4 3 2 2 2
 x - 4x +(4+a)x + b = x -2(x1+x2)x +(x1 +x2 +4x1x2)x -
 2 2 
2x1x2(x1+x2)x+x1 x2
Đồng nhất 2 vế, ta có: 
 13 +) Với x > 9, ta có x 8 1 x 8 4 1, x 9 4 0 
 Suy ra vế trái của (11.2) lớn hơn 1 nên (11.2) vô nghiệm. 
+) Với 8 (x-8)4< x-8 
 0 (x-9)4= (9-x)4 < 9-x 
 x 8 4 x 9 4 < x – 8 + 9 – x = 1 nên (11.2) vô nghiệm. 
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 8, x = 9. 
 II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
1) 2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0 2) x4 -8x3+7x2+36x-36=0 
3) x4 -4x2 + 12x -9 = 0 4) x4+(x-1)(x2+2x+2)=0 
5) (x2-4)(x2-2x)=2 6) (4x+1)(12x-
1)(3x+2)(x+1)=4 
7) 2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1) 8) x4 -4x3 + 8x =5 (Đề 38) 
9) x4+(x-1)4=97 10) x4 -5x3 + 8x2-10x+4 =0 
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: (x2-
1)(x+3)(x+5)=m. 
Bài 3: Tìm k để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4-k2x2+2kx-1=0 
Bài 4: Cho phương trình: x4 -4mx3 +(m+1)x2-4mx+1=0 
 a) Giải phương trình với m =1 
 b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 
Bài 5: Giải và biện luận phương trình: 2x4+mx2+2=0. 
 15