Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ
 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIấN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Toỏn học là mụn học rốn luyện khả năng tư duy, logic trong giải quyết vấn đề. Đặc biệt là 
mụn hỡnh học đũi hỏi học sinh phải tư duy, liờn kết cỏc giải thiết và phỏt hiện cỏc tớnh 
chất đặc biệt mà đề bài cũn ẩn từ đú đưa ra hướng giải quyết bài toỏn.
 Vectơ là chương đầu tiờn của hỡnh học lớp 10, vectơ cú nhiều ứng dụng thực tế như là 
tớnh cụng trong vật lý. Ngoài ra vectơ cũn là cụng cụ hữu hiệu để giải cỏc bài toỏn khú 
như giải phương trỡnh, giải bất phương trỡnh chứng minh bất đẳng thức. Một trong những 
ứng dụng của vectơ trong hỡnh học là chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Núi đến hỡnh học 
đa số học sinh đều sợ vỡ hỡnh học đũi hỏi học sinh phải tuy duy nhiều và mỗi bài lại cú 
những điểm khỏc nhau mà học sinh gặp khú khăn trong việc quy lạ về quen. Cú những bài 
hỡnh học đũi hỏi học sinh phải vẽ hỡnh phụ khiến học sinh gặp khỏ nhiều khú khăn. 
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là dạng toỏn hay gặp trong cỏc đề thi học sinh giỏi và cú 
thể phỏt triển thành cỏc bài trắc nghiệm sử dụng trong cỏc đề thi khảo sỏt chất lượng lớp 
10 .
Sỏng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ” tụi 
chia bài tập theo cỏc mức độ nhận thức của học sinh giỳp học sinh làm những bài toỏn 
chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cỏch dễ dàng. Học sinh sẽ khụng con thấy lo sợ khi 
gặp cỏc bài toỏn hỡnh học. 
Sỏng kiến kinh nghiệm tụi viết do nhiều yếu tố khỏch quan nờn vẫn cũn nhiều tồn tại. Rất 
mong nhận được sự đúng gúp của đồng nghiệp và học sinh để sỏng kiến của tụi hoàn 
thiện hơn.
2. Tờn sỏng kiến: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ.
3. Tỏc giả sỏng kiến
 - Họ và tờn: Phan Thị Kim Sang
 - Địa chỉ: xó Thổ Tang - Vĩnh Tường – Vĩnh Phỳc
 1 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ
 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ CHỨNG MINH 3 ĐIỂM 
 THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ”
Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ thỡ điều qua trọng cỏc em 
học sinh phải biết phõn tớch 1 vectơ qua 2 vectơ khụng cựng phương. Vỡ vậy phần đầu 
tiờn tụi đưa ra bài tập về phõn tớch một vectơ qua hai vectơ khụng cựng phương.
Phần 1: Phõn tớch 1 vectơ qua 2 vectơ khụng cựng phương
Cơ sở lớ luận: Cho 2 vectơ khụng cựng phương a và b . Khi đú mọi vectơ x đều cú thể 
phõn tớch duy nhất qua hai vectơ a và b , nghĩa là cú duy nhất cặp số m và n sao cho 
 x ma nb .
Bài 1. Cho ABC cú trọng tõm G. Cho cỏc điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của cỏc 
   
cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u AE; v AF . Hóy phõn tớch 
     
cỏc vectơ AI ,AG,DE,DC theo hai vectơ u,v .
 Hướng dẫn giải
 Ta cú 
  1  1   1 1 
 AI AD ( AE AF ) u v )
 2 2 2 2
  2  2 2 
 AG AD u v
 3 3 3
    
 DE FA AF 0.u ( 1)v
     
 DC FE AE AF u v
Bài 2. Cho tam giỏc ABC. Điểm M nằm trờn cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hóy phõn tớch 
    
vectơ AM theo hai vectơ u AB, v AC .
 Hướng dẫn giải
     2  
 Ta cú AM AB BM AB BC
 3
 3 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ
 uuur 3 uuur uuur 5 uuuur
a) Theo giả thiết ta cú: BM = BC và AN = AM 
 4 7
 A
 uuuur uuur uuur uuur 3 uuur
suy ra AM = AB+ BM = AB+ BC 
 4
 N
 uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
 = AB+ AC - AB = AB+ AC B M C
 4 ( ) 4 4
 uuur uuur uuur uuur 5 uuuur
 BN = BA + AN = - AB+ AM
 7
 uuur 5 ổ1 uuur 3 uuurử 23 uuur 15 uuur
 = - AB+ ỗ AB+ ACữ= - AB+ AC
 7 ốỗ4 4 ứữ 28 28
 uuur uur uuur r uuur uuur uur
b) Vỡ G là trọng tõm tam giỏc ABC nờn GA + GB+ GC = 0 suy ra GC = - GA- GB
 uuuur 2 uuuur 2 ổ1 uuur 3 uuurử
Ta cú MN = - AM = - ỗ AB+ ACữ
 7 7 ốỗ4 4 ứữ
 1 uur uuur 3 uuur uuur
 = - GB- GA - GC - GA
 14 ( ) 14 ( )
 1 uur uuur 3 uuur uur uuur
 = - GB- GA - - GA- GB- GA
 14 ( ) 14 ( )
 1 uuur 1 uur
 = GA + GB
 2 7
Bài 5. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trờn hai cạnh AB 
và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tõm tam giỏc MNB . Phõn tớch cỏc 
 uuur uuuur uuur uuur uuur
vectơ AN, MN, AG qua cỏc vộc tơ AB và AC
 5 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ
 uuur uuur
 c) Gọi I là điểm thỏa: MI = CM . Chứng minh I, A,N thẳng hàng. 
 Hướng dẫn giải
 uuuur 1 uuur
 a) Vỡ AM = AB suy ra M thuộc cạnh AB và 
 3
 1 uuur uuur
 AM = AB ; CN = 2BC , suy ra N thuộc tia BC 
 3
 và CN = 2BC .
 b) Ta cú: 
 uuur uuur uuuur uuur 1 uuur 1 r r
 CM = CA + AM = - AC + AB = a- b
 3 3
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r
 AN = AB+ BN = AB+ 3BC = AB+ 3(AC - AB) = - 2a + 3b
 uuuur uuur uuur 1 r r r 7 r r
 MN = MA + AN = - a- 2a + 3b = - a + 3b .
 3 3
 uur uuuur uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r r 1 r r
c) Ta cú: AI = AM + MI = AB+ CM = a + a- b = - (- 2a + 3b) 
 3 3 3 3
 uur 1 uuur
 ị AI = - AN ị A, I, N thẳng hàng.
 3
    
Bài 2. Cho 4 điểm O, A, B, C thỏa món OA 2OB 3OC 0 . Chứng minh 3 điểm A, B, C 
thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải
Ta cú
    
 OA 2OB 3OC 0
     
 OA OC 2OB 2OC 0
   
 CA 2CB 0
   
 CA 2CB
Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng
 7 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ
 Hướng dẫn giải
 a) ta cú 
    
 AB AC 2AI
    
 AD AE 2AI
     
 AB AC AD AE
       
b) AS AB AC AD AE 4AI 
     
Vỡ AS 4AI nờn hai vectơ AS, AI cựng phương nờn 3 điểm A, I, S thẳng hàng
     
Bài 5. Cho tam giỏc ABC, lấy cỏc điểm M, N, P sao cho: MB 2MC , NA 2CN ,
   
 PA PB 0 
     
a) Hóy phõn tớch PM , PN theo hai vectơ AB, AC 
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
 Hướng dẫn giải
 a) Ta cú 
    
 PM PB BM
 1  2  
 AB AC
 2 3
 1  2  2  
 AB AB AC
 2 3 3
 1  2  
 AB AC 1 
 6 3
    
 PN PA AN
 1   
 AB 2AC 2 
 2
 9 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ
 Hướng dẫn giải
 Vỡ M là trung điểm của BC ta cú 
  1  
 AM AB AC 1 
 2 
 Theo bài ra 4EI=3FI
  3  
 IE IF
 4
   3   
 IA AE IA AF
 4 
 7   3  
 IA AE AF
 4 4
  4  3  
 AI AE AF
 7 7
  4 1  3 2  
 AI . AB . AC
 7 2 7 3
  2  2  
 AI AB AC 2 
 7 7
  4  
Từ (1) và (2) ta cú AI AM vậy 3 diểm A, I, M thẳng hàng.
 7
Bài 3. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trờn đoạn BI 
sao cho BM=2MI. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, C thẳng hàng. 
 Hướng dẫn giải
 Theo bài ra ta cú
   
 BM 2MI
     
 AM AB 2 AI AM 
    
 3AM 2AI AB 1 
    
Vỡ I là trung điểm của CD nờn 2AI AC AD thế vào (1) ta được
 11 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ
   
 AC kCB
     
 OC OA k OB OC 
    
 1 k OC OA kOB
   
  OA kOB 
 OC k 1 
 1 k
III. Mức độ vận dụng thấp
Bài tập phần này độ khú tăng nờn rừ ràng, bài tập phần này thường chưa tham số, và yờu 
cầu bài toỏn thường là tỡm điều kiện của tham số để 3 điểm nào đú thẳng hàng
  2  
Bài 1: Cho tam giỏc ABC. Gọi D, E lần lượt là cỏc điểm thỏa món BD BC , 
 3
  1  
 AE AC . Tỡm vị trớ điểm K trờn AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
 4
 Hướng dẫn giải
   
 Giả sử AK mAD 
     1  
 Ta cú BE BA AE AB AC 1 
 4
      
 BK BA AK AB mAD
     2m  
 AB m AB BD m 1 AB BC
 3
  2m   
 m 1 AB AB AC 
 3 
 m  2m  
 1 AB AC 2 
 3 3
 m 2m 1 1
Để 3 điểm B, E, K thẳng hàng thỡ từ (1) và (2) ta cú 1 : m . 
 3 3 4 3
 13 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương phỏp vectơ
 3
Bài 3. Cho DABC, gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho BM = BC , I là trung điểm đoạn 
 4
 uur uuur
AM, N là điểm thỏa món NA = k NB. Tỡm k để 3 điểm C, I, N thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải
 Ta cú
     1  
 CI CA AI AC AM
 2
  1    1  3  
 AC AB BM AC AB BC
 2 2 8
  1  3   
 AC AB AB AC
 2 8 
 1  5  
 AB AC (1)
 8 8
       k  
Mà NA k NB NA k NA AB NA AB 
 1 k
      k   
 CN CA AN AC AN AB AC 
 1 k
Vậy để 3 điểm C, I, N thẳng hàng thỡ theo (1) và (2) ta cú
 k 1 8 1
 : k 
 1 k 8 5 4
 1
Vậy với k thỡ 3 điểm C, N, I thẳng hàng
 4
   
Bài 4. Cho tam giỏc ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho MA 2MC , N là điểm 
     
thuộc BM sao cho NB 3NM , P là điểm thuộc BC sao co PB k PC . Tỡm k để 3 điểm 
A, N, P thẳng hàng
 15