Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh bất đẳng thức đại số bằng phương pháp

 MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................3
CHƯƠNG I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
 CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC.............................................................4
CHƯƠNG II MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC
 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC..................5
CHƯƠNG III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
 BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ..........................................6
 I. DẠNG 1: SỬ DỤNG HỆ THỨC SIN2X + COS2X = 1 .....................................................................................6
 II. DẠNG 2: SỬ DỤNG ĐÁNH GIÁ ...........................................................................9
 III. DẠNG 3: SỬ DỤNG CÔNG THỨC ......................................10
 IV. DẠNG 4: SỬ DỤNG CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI THEO HÀM TANG .....................................................13
 V. DẠNG 5: ĐỔI BIẾN SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC. ........................................................14
 VI. MỘT SỐ VÍ DỤ ĐẶC SẮC.........................................................................................................................16
BÀI TẬP THAM KHẢO.............................................................................................19
KẾT LUẬN.....................................................................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................................22 CHƯƠNG I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 
 CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 
 I. Một số công thức lượng giác cơ bản
 1. sin2x + cos2x = 1
 2. tanx.cotx = 1 , x ≠ , k 
 3. 1 + tan2x = , x ≠ + kπ, k 
 4. 1 + cot2x = , x ≠ kπ, k 
 5. sin2x = ; cos2x = 
 6. sinx = ; cosx = ; tanx = , với t = tan 
II. Tính chất 
 1. Hàm số y = sinx và y = cosx xác định với mọi x và 
 , x 
 , x 
 2. Nếu x [-1;1] thì tồn tại a sao cho x = sina và tồn tại b sao cho 
 x = cosb.
 3. Nếu x [0;1] thì tồn tại a sao cho x = sina và tồn tại b sao cho 
 x = cosb.
 4. Với mỗi số thực x, có một số a sao cho x = tana.
 5. Với mọi x, y thỏa x2 + y2 = 1 thì tồn tại a [0;2π] sao cho x = cosa và y = sina
 4 
CHƯƠNG III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
 BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
 Dựa vào mối tương quan giữa bất đẳng thức đại số và bất đẳng thức lượng giác, 
chúng tôi xin trình bày một số hướng lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng thức đại 
số nhằm giúp độc giả có thể định hướng được phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
đại số hiệu quả hơn.
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2x + cos2x = 1
1. Phương pháp
 a. Nếu bài toán có x2 + y2 = 1 thì ta đặt x = sinu và y = cosu, với u [0;2π]
 b. Nếu bài toán có x2 + y2 = r2 (r > 0) thì ta đặt x = rsinu và y = rcosu, với u [0;2π]
 c. Nếu hai biến tham gia có ràng buộc a2x2 + b2y2 = c2, a, b, c > 0, ta đặt 
 x = sinu và y = cosu , u [0;2π]
2. Ví dụ minh họa 
Ví dụ 1 (Đề thi đại học năm 1972 – Khối A)
Cho 4 số thực u, v, x, y sao cho u2 + v2 = x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng 
 ≤ u(y – x) + v(x + y) ≤ 
Nhìn vào giả thiết “4 số thực u, v, x, y” rồi lại “u2 + v2 = x2 + y2 = 1”, chúng ta liên tưởng 
rất nhanh đến bất đẳng thức lượng giác “lợi hại” : sin2A + cos2A = 1. Và nảy ra ý định 
chuyển bài toán này qua lượng giác.
Cách 1: Đặt u = cosα, v = sinα với α [0;2π]
 x = cosβ, y = sinβ với β [0;2π]
Khi đó P = u(y – x) + v(x + y) = cosα(sinβ – cosβ) + sinα(cosβ + sinβ)
 6 Khi đó A = = 
 = 2 = 2 ≤ 2
Ví dụ 3 [8] Cho a, b thỏa mãn 
Chứng minh rằng a2 + b2 + 2(b – a) ≥ - 1 
Nhận xét: Khác với các ví dụ trên, để giải quyết ví dụ này ta cần biến đổi bất đẳng thức 
cần chứng minh về dạng lượng giác quen thuộc.
 a2 + b2 + 2(b – a) ≥ - 1 (a – 1)2 + (b + 1)2 1
Từ đó hình thành nên cách đặt
 với R ≥ 0
Ta có 
 1 = R
Suy ra (a – 1)2 + (b + 1)2 = R2 ≥ 1 
 a2 + b2 + 2(b – a) ≥ - 1 
Ví dụ 4[3] Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh 
 (1)
Nhận xét: x + y = 
Từ đó ta nảy ra cách đặt và với t .
Khi đó,(1) trở thành:
 + + (
 8 Từ đó, đặt a – 2 = cost
Ta có A = 
 = 
Ví dụ 3 [2] Cho . Chứng minh (1)
Chứng minh 
 (1) ≤ 1
 (2)
Theo giả thiết,ta có Đặt ,với 0 ≤ u, v ≤ 
(2) trở thành 
 sinv.cosu + sinu.cosv ≤ 1
 sin(u+v) ≤ 1 (hiển nhiên)
Ví dụ 4 [4] Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn a = c
 Chứng minh rằng 
Chứng minh
 Điều kiện dể a, b xác định là -1 ≤ d ≤ 1, -1 ≤ c ≤ 1
 ≤ 1, ≤ 1
Đặt với 0 ≤ u, v ≤
Khi đó, ta có và 
 ≤ 1 (hiển nhiên)
 10 Ta có 
 = 
(1) trở thành:
Ta có 
 ≤ 
Do đó,
 (đpcm)
Ví dụ 3 [8] Chứng minh rằng 
Chứng minh 
 (1) 
 (2)
Đặt 
(2) trở thành cosu.cosv + tanu.tanv.cosu.cosv
 cosu.cosv + sinu.sinv 1
 cos(u - v) ≤ 1 (hiển nhiên)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u = v 
Ví dụ 4 [3] Cho các số thực x,y không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng
 2
 12 = =
IV. Dạng 4: Sử dụng công thức sin2t = 
1.Phương pháp:
 Nếu bài toán có chứa biểu thức dạng thì đặt x = tant, với x
 Nếu bài toán có chứa biểu thức dạng thì đặt x = tant,với x
2.Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 [4] Chứng minh rằng , ta có
 (1)
Nhận xét (1) (2)
Các phân thức làm ta nhớ đến công thức nhân đôi biểu diễn của sinx và cosx 
theo tan .
Đặt a = tan với 
 = 
Với , ta có 
Suy ra đpcm.
Ví dụ 2 [4] Cho 0 < x, y, z < 1 và xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
 14 hoặc 
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1[6] Cho .Chứng minh rằng S= 
Chứng minh
 Đặt ; với u, v, w 
Do = x+y+z = 1 nên 
 = u + v + w =
Khi đó S =
 = =
 = 
 ≤ + = 
Ví dụ 2[9] Cho a, b, c > 0, ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng
Nhận xét: + Đẳng thức liên quan : tan tan tan tan tan tan
 + Lượng giác hóa
 16 
 Hay 2npcosα + 2pmcosβ + 2mncosγ (*)
Ta có 
 p2 + m2cos2β + sin2β + n2(cos2α + sin2α) ≥ 2mncosβ + 2npcosα – 2mncos(α + β)
 p2 + m2 + n2 ≥ 2mpcosβ + 2npcosα + 2mncosγ (Vì α + β + γ = 1800)
Bất đẳng thức (*) được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Đặt ta có 
Suy ra m = ksinα = ; n = ksinβ = 
 p = ksinγ = 
Ví dụ 2[5] Chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh
Với ta có bất đẳng thức sinα < α < tanα
Hay (1)
Dễ thấy các số ;  ; là n nghiệm của đa thức bậc n sau
 18 a)
 b) – 2 ≤ (a – b)(c + d) + (a + b)(c – d) ≤ 2
Bài 2[2] Cho x, y thỏa mãn 3x + 4y = 7. Chứng minh rằng 
Bài 3[6] Chứng minh rằng 
Bài 4 [2] Chứng minh rằng 
 S = 
Bài 5[1] Chứng minh rằng 
Bài 6[4] Chứng minh rằng 
Bài 7[2] Chứng minh rằng với mọi a, b 
Bài 8[2] Chứng minh rằng với mọi cặp số thực x, y ta đều có
Bài 9 [6] Cho 3 số thực x, y, z sao cho xyz > 0 và 3 số thực a, b, c sao cho 
 a + b + c ≤ , 
Chứng tỏ 
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 10[8] Cho x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1, với x, y, z > 0. Chứng minh rằng
 a) xyz b) xy + yz + zx ≤ 
Bài 11[8] Cho x + y + z = xyz và x, y, z > 0. Chứng minh rằng
 20 KẾT LUẬN
 Trong toàn bộ đề tài chúng tôi đã hệ thống lại một số bất đẳng thức đại số có 
thể dùng phương pháp lượng giác để chứng minh. Chúng tôi đã phân loại chúng theo 
từng dạng, trình bày cụ thể phương pháp để chứng minh và có những ví dụ minh họa kèm 
theo mỗi phương pháp. Những ví dụ đó được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp với lời 
giải khá chi tiết, đa dạng, bao quát mọi khía cạnh lí thuyết và dễ hiểu, có thể giúp bạn đọc 
nắm bắt nhanh và hiệu quả phương pháp lượng giác trong chứng minh bất đẳng thức đại 
số. Sau khi đọc đề tài, bạn đọc sẽ có thêm một phương pháp mới để chứng minh một số 
bài toán bất đẳng thức đại số một cách hiệu quả hơn.
 Tuy nhiên vì trong thời gian ngắn và kiến thức chưa sâu rộng nên có những 
bài toán bất đẳng thức dùng lượng giác hóa để chứng minh nhưng không theo một 
phương pháp đặt ẩn phụ cụ thể nào mà dựa vào những tính chất đặc biệt của các hàm số 
lượng giác và những yếu tố trong bài toán để chứng minh không được chúng tôi trình bày 
cụ thể và chi tiết trong đề tài này. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp, nhận xét 
của bạn đọc về nội dung đề tài.
 22