Sáng kiến kinh nghiệm Chuyên đề Giải phương trình hàm bằng phương pháp thế

 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
 LỜI NÓI ĐẦU
 Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy, người học 
và cả người nghiên cứu. Qua việc dạy và học toán, con người được rèn luyện năng lực 
phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, 
nhân cách cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Muốn học giỏi toán, học sinh 
phải luyện tập, thực hành nhiều, tức là phải học giải toán. Học giải toán là một cách tư 
duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu tượng và khá khó đối với học sinh, 
nhưng đó lại là điều cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường THPT 
và nhất là học sinh ở các lớp chuyên của trường THPT chuyên.Vì vậy, để nâng cao chất 
lượng dạy và học toán, người thầy giáo cần truyền cho học sinh sự ham thích học toán và 
giải toán, bằng những phương pháp khác nhau.
 Ngày nay trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế ta thường thấy xuất hiện 
bài toán về phương trình hàm. Thông thường đây là một dạng toán khó không chỉ với học 
sinh tỉnh ta mà với cả học sinh các tỉnh, thành phố lớn, các tỉnh có bề dày truyền thống 
trong các cuộc thi học sinh giỏi.
 Với mục đích trang bị cho các em học sinh giỏi thêm một số kiến thức cơ bản về 
phương trình hàm nên trong bài viết này tôi xin trình bày “ Chuyên đề : Giải phương 
trình hàm bằng phương pháp thế ”. Tôi hy vọng nhận được nhiều sự phản hồi, đóng 
góp, trao đổi của quý thầy cô để chuyên đề này ngày một hoàn thiện hơn.
I. HIỆN TRẠNG
 Trong chương trình Toán THPT dành cho học sinh lớp 10, 12 chuyên toán , tôi thấy 
các bài tập phương trình hàm là phần kiến thức khó, một trong những nội dung quan trọng 
là phải biết dùng phương pháp thế để giải phương trình hàm , vì đây là phần kiến thức đòi 
hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt. Chính vì vậy tôi biên soạn chuyên đề “ Giải 
phương trình hàm bằng phương pháp thế ” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, 
rèn luyện kĩ năng vận dụng phương pháp thế giá trị đặc biệt, thế biến trong việc giải các 
bài toán phương trình hàm cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là 
học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia.
 Sau đây là nội dung của chuyên đề:
 - Cơ sở lý thuyết.
 - Các bài tập tổng hợp.
II. GIẢI PHÁP THAY THẾ 
1. Cơ sở lý thuyết 
1.1. Định nghĩa phương trình hàm.
 Phương trình hàm là phương trình mà trong đó ẩn phải tìm là một hàm số. Mỗi một 
hàm số thỏa phương trình hàm được gọi là nghiệm của phương trình hàm.
Cấu trúc của một phương trình hàm gồm 3 phần:
 - Tập xác định và tập giá trị của hàm số.
 1 2. Giải pháp khả thi và hiệu quả khi giãi phương trình hàm bằng phương pháp thế
 Phương pháp thế là phương pháp thường hay sử dụng khi giải các phương trình 
hàm, đặc biệt là phương trình hàm với cặp biến tự do. Nội dung cơ bản của phương pháp 
này là ta thay các biến bởi các giá trị đặc biệt. Điều quan trọng lưu ý là giá trị các biến 
này phải thuộc tập xác định của hàm số và phải thỏa mãn các điều kiện ràng buộc giữa 
các biến nếu có. Trong phương pháp này khi thay biến x, y,... bởi các giá trị đặc biệt thì 
việc chọn các giá trị đặc biệt đòi hỏi phải có sự nhạy cảm nhất định, nó giúp ta tìm được 
hàm f (x) từ một phương trình đã cho.
III. VẤN ĐỀ NGUYÊN CỨU, GIẢ THUYẾT NGUYÊN CỨU
1. Các bài toán phương trình hàm
Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn
 f x y y f x , x, y R (1)
 Giải.
Giả sử hàm số f thỏa mãn các yêu cầu đề bài. 
Đặt f 0 C . 
Trong (1) cho x 0 ta được f y y C,y R . 
Vậy f x x C,x R (với C là hằng số). (2)
Thử lại thấy (2) thỏa mãn (1). 
Vậy hàm số cần tìm là f x x C,x R (với C là hằng số).
Nhận xét: phương trình trên có 2 biến tự do là x, y nên ta cho x 0 thì được 
f y y f (0),y R , lại đặt f 0 C ta được hàm số cần tìm.
Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn f xy y2017 f x , x, y R
 Giải.
Giả sử hàm số f thỏa mãn các yêu cầu đề bài. 
Đặt f 1 C . Trong (1) cho x 1 ta được f y Cy2017 , y R. Vậy f x có dạng
f x Cx2011, x R (với C là hằng số). (2)
Thử lại thấy (2) thỏa mãn (1). 
Vậy hàm số cần tìm là f x Cx2011, x R (với C là hằng số).
Bài toán 3. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn
f (x y) f (x y) f (x) 2 f (y) x2 ,x, y R. 
 Giải.
Giả sử f là hàm số thỏa mãn các yêu cầu đề bài.
Đặt f (0) C. Trong (1) cho y 0 ta được: f (x) x2 2C,x R. (2)
Thử lại: Thay (2) vào (1) ta được :
 3 1
Thay f 1 2 vào 2 ta được: f x 1 , x 0; .
 x
 1 1
Thử lại với f x 1 thỏa (1) . Vậy f x 1 , x 0; là hàm số cần tìm
 x x
Nhận xét : Bài 6 này tập xác định và tâp gái trị là 0; nên khi giải phải lưu ý lấy 
x 0; f (x) 0,x 0
Bài toán 7. (Japan Mathematical Olympiad Final – 2012)
Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ sao cho f f x y f x y x2 yf y , x, y ¡ (1)
 Giải
Từ 1 cho x y 0 ta được f f 2 0 0 . 
Từ 1 cho x 0, y f 2 0 , kết hợp với kết quả f f 2 0 0 ta suy ra f 0 0 . 
Từ 1 cho x y ta được: x2 xf x 0 f x x, x 0
Với f 0 0 f x x, x ¡ . Thử lại đúng.
Vậy f x x, x ¡ là hàm số cần tìm
Bài toán 8. Tìm tất cả các hàm số f : 0; ¡ thỏa:
 y x 
f x f y xf yf , x, y 0; 
 2 2 
 Giải
Giả sử f là hàm số thỏa đề bài. 
 2 x 
Trong 1 chọn x y ta được: f x 2xf , x 0; 
 2 
 2
 x f x 
 f 
 2 2x
 2 2
 f y f x 
 1 f x f y x y , x, y 0; 
 2y 2x
 2 2 2
 x f y y f x x f y y f x 
 f x f y 0
 2y 2x 2y 2x 
 x f y y f x f x f y 
 , x, y 0; 
 2y 2x x y
 f x 
Bởi vậy: là hằng số, do đó: f x ax, x 0; ( a là hằng số). 
 x
 y x
Thay vào 1 ta được: ax.ay ax ay axy, x, y 0; . Hay a 0;1.
 2 2
Thử lại thấy thỏa. 
Vậy có hai số thỏa đề bài: f x 0, x 0; và f x x, x 0; . 
Bài toán 9. (Banglades MO – 2012)
 2 2
Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn f x y x y f x f y , x, y R. (1)
 5 Giải
Từ (1) cho y 0 ta được xf f 2 x f 3 x , x R. 
 f 3 x 
Suy ra f f 2 x , x R. (2)
 x
Thay (2) vào (1), suy ra với mọi x 0 và y 0 ta có:
 3 3
 f x f y 2 2
 x y f x f y f x f y 
 x y 
 xf 3 y yf 3 x 
 f x f 2 y f y f 2 x 
 y x
 xf 3 y yf 3 x 
 f x f 2 y f y f 2 x 0 
 y x
 x2 f 3 y xyf x f 2 y y2 f 3 x xyf y f 2 x 0
 2 2
 xf y yf x xf y yf x 0. (3)
Từ (3) cho y 1, ta được
 2 2
 2013x f x 2013 x f x 0, x 0. (4)
Từ (4) suy ra f x 2013x, x 0. Bởi vậy, từ (3) cho y 1 ta được 
 2 2
 2013x f x 2013 x f x 0, x 0.(5)
Từ (5) suy ra f x 2013x, x 0. 
Như vậy f x 2013x, x R. Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy có duy nhất một hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là : f x 2013x, x R.
Bài toán 12. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên 0; , nhận giá trị trong 0; và thỏa 
 1
mãn f x f y f y f xf y , x, y 0; . 
 xy
 Giải.
 1 1 
Trong (1) thay x; y bởi ; ta được :
 x y 
 1 1 1 1 1 
f f f f f xy, x, y 0; . (2)
 x y y x y 
 1 
Đặt f g x . Từ (2) ta có 
 x 
 x 
g x g y g y g xy, x, y 0; . (3)
 g y 
Từ (3) thay x bởi xg y ta được : 
g xg y g y g y g x xyg y , x, y 0; .
 g xg y g x xy, x, y 0; (do g y 0 ). (4)
Từ (4) cho x 1 ta được
 7 V. KẾT QUẢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
Trong những năm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên và học sinh đã cùng nhau tìm 
hiểu, nghiên cứu thật nhiều tài liệu tham khảo, sách bồi dưỡng chuyên môn, sách bài tập 
nâng cao....Giáo viên đã chỉ những phương pháp, cách thức trình bày và hướng dẫn học 
sinh tự nghiên cứu tài liệu, gặp những trường hợp khó, nan giải thì giáo viên gợi ý, hướng 
dẫn giải tiếp học sinh. 
Giáo viên đã giao cho học sinh nhiều dạng bài tập tương tự để học sinh nắm vững cách 
thực hiện, tiến trình giải bài tập, cách trình bày như thế nào cho phù hợp.
Ngoài những dạng bài tập trên, giáo viên sẽ giao tiếp các dạng bài tập nâng cao hơn, hoặc 
khác dạng hơn để học sinh sẽ linh hoạt hơn trong cách giải các bài tập.
Chính vì những điều trên, mà trong những năm qua học sinh đều đạt được những thành 
tích khá cao và đều được dự thi HSG cấp quốc gia
VI. TÍNH THỰC TIỄN CỦA CHUYÊN ĐỀ
Chuyên đề “ Giải phương trình hàm bằng phương pháp thế ” có thể nêu lên một số 
điểm chính sau đây:
1. Những điểm mới trong chuyên đề 
 - Giúp học sinh có cách nhìn và hướng giải tốt hơn đối với phương trình hàm.
 - Định hướng cho học sinh biết phương pháp giải các bài tập về phương trình hàm 
bằng phương pháp thế đối với cặp biến là tự do.
 - Học sinh có thể kết hợp các phương pháp khác để giải các bài toán phương trình 
hàm phức tạp.
 - Chuyên đề này có thề áp dụng trong việc học của học sinh và việc dạy của giáo 
viên khi tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp Quốc gia.
2. Đối với giáo viên
 - Có thể sử dụng chuyên đề để thiết kế bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi .
 - Vận dụng sáng tạo chuyên đề để khai thác các kiến thức liên quan và phát triển 
chuyên đề có hiệu quả phù hợp với đối tượng học sinh. 
3. Đối với học sinh
 9