Sáng kiến kinh nghiệm Dạy phương pháp xét dấu để giải bất phương trình cho học sinh lớp 10A9 trường THPT Sáng Sơn

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC 
 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG SÁNG SƠN 
 =====***===== 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 
 Tên sáng kiến: Dạy phương pháp xét dấu để giải bất phương trình 
cho học sinh lớp 10A9 trường THPT Sáng Sơn năm học 2018-2019 
 Tác giả sáng kiến: Triệu Văn Hải 
 Mã sáng kiến: 18.52.01 
 Sông Lô, Năm 2019 
 0 
 có sử dụng phương pháp xét dấu giải một số bài toán khó thuộc phần bất phương 
trình. Sáng kiến hệ thống đầy đủ phương pháp xét dấu để giải bất phương trình đại 
số một cách chính xác, không phải phân chia nhiều trường hợp, giúp học sinh tránh 
được những sai lầm thường gặp và tiết kiệm được thời gian hơn các phương pháp 
khác khi giải các bài tập bất phương trình. 
 Điểm mới của sáng kiến ở chỗ: Chuyển việc giải bất phương trình fx( ) 0 
(hoặc fx( ) 0 ) về việc giải phương trình fx( ) 0, tìm ra các nghiệm, sắp xếp các 
nghiệm theo thứ tự nhỏ đến lớn trên trục số, xét dấu f(x) trên mỗi khoảng rồi chọn 
khoảng nghiệm thích hợp; nhờ kết hợp tính chất của hàm số liên tục của hàm số, cụ 
thể là: nếu hàm số f(x) liên tục trên một tập con của R là một đoạn (hoặc khoảng, 
nửa đoạn, nửa khoảng) mà phương trình f(x) = 0 vô nghiệm (tức không cắt trục 
hoành) thì f(x) giữ nguyên một dấu trên tập con đó (tức là luôn nằm phía trên hoặc 
phía dưới trục hoành theo cách diễn giải trực quan cho học sinh dễ hiểu). 
 Lớp 10A9 trường THPT năm học 2018-2019 tôi dạy có lực học môn Toán 
hơi yếu (điểm bình quân thi vào lớp 10 là 3,25 điểm). Nên trong quá trình dạy phần 
bất phương trình, nhờ sáng kiến này mà các em đã rất tự tin, nắm vững phương 
pháp giải phần bất phương trình. 
2. Tên sáng kiến: Dạy phương pháp xét dấu để giải bất phương trình cho học sinh 
lớp 10A9 trường THPT Sáng Sơn năm học 2018-2019. 
3. Tác giả sáng kiến: 
- Họ và tên: Triệu Văn Hải 
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Sáng Sơn, huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh 
Phúc. 
- Số điện thoại: 0987817908. E_mail: trieuvanhai.phtsonglo@vinhphuc.edu.vn 
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: là tác giả của sáng kiến 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 
 Phương pháp dạy học môn Toán cấp THPT, dành cho: 
 + Giáo viên dạy lớp 10,11,12, dạy ôn thi THPT quốc gia; dạy ôn thi học sinh 
giỏi. 
 + Học sinh lớp 10, học sinh lớp 11,12 ôn thi học sinh giỏi và ôn thi THPT 
quốc gia (các câu hỏi vận dụng). 
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/01/2019. 
7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 
 - Dạy học sinh sử dụng phương pháp xét dấu để giải nhanh các bất phương trình 
khó, phức tạp thuộc chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 10,11,12; 
chương trình dạy ôn thi THPT quốc gia môn Toán. 
 a) Về nội dung của sáng kiến: 
 2 
 a > 0 a < 0 
 y y
 y=ax+b
 y=ax+b +
 +
 b +
 - + O + x
 a + x
 b -
 - O -
 a -
 - -
 -
 b b
 x - x -
 - a + - a + 
 0 + 0 -
 f(x) - f(x) +
 2. Dấu của tam thức bậc hai 
 2.1. Định nghĩa : 
-Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng f() x ax2 bx c , trong đó 
a, b, c là những số cho trước và a 0. 
 2
-Số x0 (nếu có) thoả mãn ax00 bx c 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc 
hai nói trên. 
 2.2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai: 
Cho tam thức bậc hai f( x ) ax2 bx c , a 0 
Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x . 
 b
Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x 
 2a
Nếu 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 (x1< x2). Khi đó f(x) trái dấu với hệ số a với 
mọi x nằm trong khoảng (x1, x2) và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài 
đoạn xx12; . 
 2.3. Minh hoạ bằng đồ thị và bảng xét dấu: 
 4 
 * Nếu 0 
 a > 0 a<0 
Đồ thị 
 y y
 O x
 O x x1 x2
 x1 x2
Bảng xét dấu 
 - x2
 x - x1 x2 + x x1 + 
 -
 f(x) + 0 - 0 + f(x) 0 + 0 -
 6 
 x 1
 2
Cho x 1 0 x 1; 3 x 7 x 4 0 4 
 x 
 3
Ta có trục xét dấu 
 4
 - -1
 - 3 1
 + 
 - + - +
 4
 x 1
Từ trục xét dấu suy ra x 1 3 x2 7 x 4 0 3 
 x 1
 4
Nghiệm của bất phương trình là ; 1  1;  
 3
Lưu ý: Có thể thể hiện kết quả xét dấu dưới dạng dòng như sau: 
 4
 - -1 + 
 x - 3 1
 f (x) - + - +
Nhận xét: 
 Nếu các đa thức P(x), Q(x) có các nghiệm x12, x ,..., xn đôi một khác nhau và 
 x12 x ... xn (nghĩa là không có nghiệm bội) thì trên mỗi khoảng 
 Qx 
 ;x , x ; x ,..., x ; tích P x . Q x hoặc thương giữ một dấu 
 1 1 2 n Px 
 Qx 
không đổi. Áp dụng khẳng định trên, muốn xác định dấu của trên mỗi 
 Px 
khoảng trên, ta chỉ cần tính giá trị của phân thức tại một điểm nào đó của khoảng. 
Chẳng hạn, trong ví dụ trên, f( x ) x 1 3 x2 7 x 4 có các nghiệm là 
 4 4 4
 1; 1; . Các nghiệm này chia tập thành các khoảng (- ; ), ( ; -1), 
 3 3 3
(-1; 1) và (1; + ). Trên mỗi khoảng, f(x) chỉ nhận một dấu xác định. Ta lấy 
 8 
 x 2 2 x 0 x 0  x 0 
Nhận xét: 
1. Có thể kẻ trục xét dấu cho bài này như sau (dấu dùng để chỉ các số là nghiệm 
nằm ở mẫu số, làm cho f(x) không xác định, khi lấy nghiệm loại các số này): 
 x 2
 Điều kiện .Các nghiệm của tử thức và mẫu thức của f(x) chia R thành các 
 x 0
 11 11 
khoảng ;0,0;2,2; , ; 
 33 
 3 11
Ta có f 1 7 0 nên fx 0 trên khoảng (0; 2). Khi x qua điểm 0 
 1 4 4
thì f(x) đổi dấu nên f(x) > 0 trên khoảng ;0 . Vì x 2 2 bằng 0 tại x = 2 
nhưng nó luôn dương với mọi x khác 2 nên khi x qua điểm 2, f(x) không đổi dấu, 
 11 11
vậy f(x) 0 trên 
 3 3
 11
khoảng ; . Vậy ta có trục xét dấu sau: 
 3
 11
 x 0 + 
 - 2 3
 f(x) + - - 0 +
 3x 11 11
Dựa vào trục xét dấu suy ra 32 0 x 0;2  2; . 
 x 4 x 4 x 3 
 1
d) Điều kiện: xx 1; 
 2
 3 5 3(2x 1) 5(1 x ) 11 x 2
Khi đó, 00 
 1 x 2 x 1 (1 x )(2 x 1) (1 x )(2 x 1)
 11x 2
Xét dấu fx() , 
 (1 xx )(2 1)
 2 1
 Ta có: 11xx 2 0 ; (1 x )(2 x 1) 0 x 1  x 
 11 2
Từ đó dấu f(x) như sau: 
 1 2
 x 1 
 2 11 
 12 
Nghiệm của bất phươngf(x) trình là+ ; -  0 ;1 + - 
 2 11 
 10 
 -1 1 2 3 5 7 10 21
 152
 xx 3 0 1 
b) 22 
 2
 x 1 3 x 8 x 4 0 2 
 1 1 x 5. Tập nghiệm của (1) là S1 1;5 
 2
Ta có x 1 3 x2   8 x 4 0 x 1 x 2 x 
 3
Ta có trục xét dấu: 
 2
 2 + 
 x - -1 3
 f(x) - 0 + 0 - 0 +
 2
Suy ra tập nghiệm của (2) là S2 1;  2; 
 3
Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là: SSS 12  2;5 . 
2. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÉT DẤU GIẢI NHANH BẤT PHƯƠNG 
TRÌNH VÔ TỶ 
* Phương pháp xét dấu thể hiện hiệu quả cao đối với các bài bất phương trình vô tỷ. 
* Khi giải bất phương trình vô tỷ bằng phương pháp xét dấu, ta phải chú ý đặt điều 
kiện xác định của bất phương trình và khi lập trục xét dấu (hay kẻ trục xét dấu) ta 
phải thể hiện điều kiện đó trên bảng (hay trên trục đó). 
Trong mỗi ví dụ dưới đây, tác giả trình bày lời giải bất phương trình bằng cả hai 
phương pháp: “ Phương pháp biến đổi tương đương và phương pháp xét dấu” 
để so sánh, đối chiếu và thấy rõ ưu việt của phương pháp xét dấu. 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình x2 6 x 5 8 2 x 
Giải: 
Cách 1: (Dùng phương pháp biến đổi tương đương) 
 xx2 6 5 0
 I 
 8 2x 0
 x2 6 x 5 8 2 x 
 8 2x 0
 2 II 
 2
 x 6 x 5 8 2 x 
 15 x
 Ix 4 5 (1) 
 x 4
 12