Sáng kiến kinh nghiệm Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức Cauchy

 MỤC LỤC
1. Mở đầuTrang 2
- Lí do chọn đề tài nghiên cứu.Trang 
2
- Mục đích nghiên cứu.Trang 
2
- Đối tượng nghiên cứuTrang 
2
- Phương pháp nghiên cứu...Trang 
3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệmTrang 3 
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .Trang 3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..Trang 4
2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn 
đề.Trang 4
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản 
thân, đồng nghiệp và nhà trường..Trang 19
3. Kết luận,kiến nghịTrang 19
- Kết luậnTrang 
19
- Kiến nghị.Trang 
19
Tài liệu tham khảoTrang 20
Phụ lục..Trang 23
 1 khác nhau, do đó tôi dung phép kiểm chứng T- Test để kiểm chứng sự chênh 
lệch giữa điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động. 
 Kết quả :
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
 Đối chứng(ĐC) Thực nghiệm(TN)
 TBC 5,5 5,5
 P= 0,43
P=0,43 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm 
TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
 Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu
 Nhóm Kiểm tra trước TĐ Tác động (TĐ) KT sau TĐ
 Thực nghiệm 01 Dạy học theo hệ thống 03
 bài tập liên quan
 Đối chứng 02 Dạy học theo hệ thống 04
 bài tập có nhiều loại
Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T- Test độc lập.
 - Phương pháp nghiên cứu: 
 + Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, báo Toán học và tuổi trẻ.
 +Thực hành thông qua quá trình giảng dạy.
 +Điều tra kết quả học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu quả đạt 
được của học sinh khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện tốt 
hơn trong quá trình xây dựng đề tài. 
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: 
 +) Dựa vào nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 10. 
 Cụ thể là :”bài 1: Bất đẳng thức” thuộc chương IV đại số 10.
 Khi giải các bài toán về bất đẳng thức trong chương trình sách giáo khoa 10 
sử dụng một số định lí và tính chất như sau:
 ) a b, b c a c.
 ) a b a + c b + c .
 ) a b ac bc (c > 0).
 ) a b ac bc (c < 0).
 ) a b ,c d a + c b + d..
 ) a b ,c d ac bd (a > 0, c > 0) .
 )a b a 2n+1 b2n 1 (n N* ) .
 3 1
MinA=2 x x 1 vô lý vì x 4
 x
+) Xác định điểm rơi: 
 1
Hàm số: f x x là hàm số đồng biến trên 4; .
 x
Vì x1 x2; x1, x2 4; :
 f x f x 1 1 15
 2 2 1 1 0
 x2 x1 x2.x1 4.4 16
 1 17
Nên MinA 4 x 4
 4 4
Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải 
 x 1
bằng nhau nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi x=4 thì cặp số và phải 
 x
bằng nhau.
Với x=4 cho cặp số:
 x 4
 4 1
 16
 1 1 4
 x 4
+) Lời giải đúng: 
 1 x 1 15x x 1 15.4 17
 A x 2 . 
 x 16 x 16 16 x 16 4
 x 1
 17 
 MinA 16 x x 4 x 4
 4
 x 4
 1 1
Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức A x 2 x. 2 . lời giải 1 tại 
 x x
sao sai?
 1 x 1 15x
Lời giải 2 tại sao lại táchA x ?..? Làm sao nhận biết được điều 
 x 16 x 16
đó?
Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề 
này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các 
bài toán cực trị.
 A. PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI 
 5 Ta phải tách làm sao để khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì sẽ khử hết biến và 
dấu '' '' xảy ra.
+) Lời giải:
 1 x x 1 25x x x 1 25x 1 25.3 28
 A x 33 . . 
 x2 27 27 x2 27 27 27 x2 27 3 27 9
 x x 1
 28 
 MinA 27 27 x2 x 3
 9
 x 3
 18
Bài toán 3: Cho x 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2x 2 +
 x
Sơ đồ điểm rơi :
 18 18
 x 4 32 18 32
x=4 
 2x2 32 4 9
 2 2
 2 18 9x 18 9 2 9x 18 23 2
Lời giải: S=x + = + 2 x 2.  + x
 x 16 x 16 16 x 16
 9 23 9 23
 = 2x x + x2 . 2.4 4 + . 4 2 =41
 2 16 2 16
 Vậy với x=4 thì Min S = 41
 x, y 0
Bài toán 4 : Cho . 
 x y 3
 1 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x y 
 x y
 +) Xác định điểm rơi: 
 Do A là biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A tại
 3
 x y 
 2
+)Sơ đồ điểm rơi: 
 x y 3
 3 2 3 2 4
 x y 
 2 1 1 2 2 3 9
 x y 3
+) Lời giải:
 7 1 1 1 7 4 1 7 13
 P xy xy 
 2 2 2 2 . 2
 x y 2xy xy 2xy (x y) xy x y 2
 2 
 2 
 x2 y2 2xy
 13 2 2
Min P = x y 1 x y 1. 
 2
 x y 2
 x, y 0 1 2 2
 S 
Bài toán 7: Cho , tìm GTNN của biểu thức 3 3 2 2 .
 x y 2 x y x y xy
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán 
 MinS đạt tại x y 1và ta thấy: x3 y3 3x2 y 3xy2 (x y)3 vì thế ta muốn 
xuất hiện (x y)3 , ta áp dụng bất đẳng thức 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 cho 9 số ta có:
 x3 y3 2x2 y 2xy2 2x2 y 2xy2 2x2 y 2xy2 2x2 y 2xy2
 +) Lời giải : 
 Áp dụng bất đẳng thức cho 9 số:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 S 
 x3 y3 2x2 y 2xy2 2x2 y 2xy2 2x2 y 2xy2 2x2 y 2xy2
 81 81 9
 S 
 5(x y)3 5(x y)3 2
 (x y)3 (x y)3 
 4 4
Dấu bằng xảy ra khi x y 1. 
 x, y, z 0
Bài toán 8 : Cho . 
 x y z 6
 1 1 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x y z 
 x y z
 +) Xác định điểm rơi: 
 Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A 
tại x y z 2
+)Sơ đồ điểm rơi: 
 x y z 2
 2 1
 x y z 2 4
 1 1 1 1 2
 x y z 2
+) Lời giải:
 9 Bài toán 10:
Cho x, y, z,t 0.Tìm giá trị nhỏ của biểu thức:
 x y z t y z t x z t x y t x y t
 S 
 y z t x z t x y t x y z x y z t
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo a,b ,c,d nên ta dự 
đoán MinS đạt tại x y z t 0 .
Sơ đồ điểm rơi :
 x y z t 1
 y z t x z t x y t x y z 3 3 1
 9
 y z t x z t x y t x y t 3 3
 x y z t 
+) Lời giải : 
 x y z t 8 y z t
 S   .
 x,y,z,t y z t 9x x,y,z,t 9 9x
 x y z t y z t x z t x y t x y t
 S 8 8 . . . . . . .
 y z t x z t x y t x y z x y z t
 8 y z t x z t x y t x y z 
 9 x x x y y y z z z t t t 
 8 8 y z t x z t x y t x y z 8 8 40
 .1212 . . . . . . . . . . . .12 
 3 9 x x x y y y z z z t t t 3 9 3
 40
 MinS x y z t 0
 3
 x, y, z 0
Bài toán 11: Cho 3 , tìm GTNN của biểu thức 
 x y z 
 2
 1 1 1
 S x2 y2 z2 .
 x y z
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo a,b ,c nên ta dự đoán 
 1
 MinS đạt tại x y z .
 2
 2 2 2 1
 x y z 
 4 2 1
Sơ đồ điểm rơi : 8
 1 1 1 2 4
 x y z 
+) Lời giải :
 11 1 1 1 8
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S x y z 2 
 xy yz zx xyz
 x, y, z 0
+Dự đoán giá trị nhỏ nhất của đạt được khi xy 12 tại x 3, y 4, z 2
 yz 8
+ Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta có:
 x y 2 x y 2 1
 33 . . 
 18 24 xy 18 24 xy 2
 x z 2 x z 2
 33 . . 1
 9 6 xz 9 6 xz
 x z 2 x z 2 3
 33 . . 
 16 8 yz 16 8 yz 4
 x z y 8 x z y 8
 4 4 . . . 1
 9 6 12 xyz 9 6 12 xyz
 13x 13y 13x 13y 13 13 13
 2 . 2 . .xy 
 8 24 8 24 8 24 3
 13x 13y 13x 13y 13 13 13
 2 . 2 . .xy 
 48 24 48 24 48 24 4
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được :
 1 1 1 8 1 3 13 13 121
 S x y z 2 1 1 
 xy yz zx xyz 2 4 3 4 12
 x, y, z 0
 Bài toán 14 : Cho 1 1 1 . 
 1
 x y z
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 1 1 1
 A 
 x 2y 3z 2x 3y z 3x 2y z
 +) Định hướng cách giải: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự 
đoán giá trị nhỏ nhất của A tại x y z 3.
 1 1 1
 Để A có thể xử dụng gỉa thuyết 1thì :
 x y z
 1 1 1
 , , phải được tách thành tổng các số hạng 
 2x 3y z x 2y 3z 3x y 2z
 13