Sáng kiến kinh nghiệm Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức cô-si để tim GTNN, GTLN và chứng minh bất đẳng thức

 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI 
 SỞ GIÁOĐơn vDị ỤTrưC VÀờng ĐÀO THPT T ẠNgôO Đ QuyỒNGền NAI 
 Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền 
 Mã số: ................................ 
 Mã số: ................................ 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 DÁPỰ DĐOÁNỤNG 
 DẤU BẰNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI 
 ĐỂ TÌMKĨ GTNN,THUẬ GTLNT TÌM VÀ CHĐIỨỂNGM MINHRƠI BẤT 
 TRONG BĐẲẤNGT ĐTHẲỨNGC THỨC 
 CAUCHY 
 Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG. 
 Lĩnh vực nghiên cứu: 
 Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG. 
 Quản lý giáo dục  
 Lĩnh vực nghiên cứu: 
 Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN  
 Quản lý giáo dục  
 Phương pháp giáo dục  
 Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN  
 Lĩnh vực khác: .........................................................  
 Phương pháp giáo dục  
 Có đính kèm: Lĩnh vực khác: .........................................................  
  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác 
 Có đính kèm: 
  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác 
 Năm học: 2012-2013 
 - 1 - Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ 
TÀI 
 Một là, qua thực tế dạy học và từ ghi nhận trên chúng tôi nhận thấy trong 
chương trình lớp 10 phần BĐT, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời 
lượng dành cho nó rất ít. 
 Hai là, trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số và hình học ban nâng cao và 
ban cơ bản đều không có hoặc rất ít bài BĐT yêu cầu dấu “=” xảy ra khi nào? Do đó, 
thông thường khi làm bài BĐT thì HS không có thói quen thử lại dấu “=” có xảy ra 
hay không? Đây chính là sai lầm HS thường gặp phải. 
 Do đó, tôi mạnh dạn làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu nhỏ giúp HS 
đỡ khó khăn hơn khi gặp một số bài BĐT có dạng trên. 
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
A) Cơ sở lí thuyết 
 Theo chương trình sách giáo khoa ban nâng cao và cơ bản hiện hành, HS chỉ 
được học BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm. Do đó, chúng tôi cố gắng biên soạn hệ 
thống bài tập, kĩ thuật giải dựa trên BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm, mục đích cho 
HS dễ hiểu nhất có thể. 
 Bất đẳng thức Cô-si 2 số không âm 
 a b
 ab
Cho a, b 0, ta có: 2 . Dấu "=" xảy ra a = b. 
 Từ BĐT Cô-si 2 số không âm ta có thể dễ dàng chứng minh được các BĐT Hệ 
quả sau: 
 11
 () 4 , 0
 a b với a b 
 ab 
 114
 với a, b 0 
 ab(a b)
 1111
 , 0
 4 với a b 
 ab ab 
Dấu “=” xảy ra a=b 
 Bất đẳng thức Cô-si 3 số không âm 
 a b c
 3 abc
Cho a, b, c 0, ta có: 3 . Dấu "=" xảy ra a = b = c. 
 Từ BĐT Cô-si 3 số không âm ta có thể dễ dàng chứng minh được các BĐT Hệ 
quả sau: 
 - 3 - 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
Sai lầm HS thường gặp: 
Gọi x (cm), 0 x 25 là độ dài hình vuông được cắt. 
 1
Do đó V (80 2)(50x 2)xx  (80 2 x )(50 2x )4 x 
 4
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số 80 2x 0,50 2x 0,4x 0 
 (80 2)x (50 2)x 4x 130
Ta có: 3 (80 2x )(50 2x )4 x 
 33
 33 3
 130 1 130 1 130 
 (80 2x )(50 2xx )4 V . Vậy MaxV 
 3 4 3 4 3 
Nguyên nhân sai lầm: 
+Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” của BĐT xảy ra khi nào? 
 3
 1 130 
MaxV khi 802 x 502 x 80 50 (Vô lý). Do đó, dấu “=” không xảy ra. 
 4 3 
 1
 Bài 2. Cho x 2 . Tìm GTNN của A x 
 x
Sai lầm HS thường gặp: 
 11
Áp dụng BĐT Cô-si 2 số không âm ta có A x 2x. 2 . Vậy Min A= 2. 
 xx
Nguyên nhân sai lầm: 
+HS ngộ nhận Bài 2 với hệ quả 1 của BĐT Cô-si cho 2 số không âm trang 73 sách 
giáo khoa đại số 10 ban cơ bản có phát biểu: 
 1
 Tổng một số dương và nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. a 2, a>0 . 
 a
+Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” của BĐT xảy ra khi nào? Cụ thể 
 1
Min A= 2 x x 1 (vô lý) vì x 2 . Do đó, dấu “=” không xảy ra. 
 x
 1
 Bài 3. Cho số thực x 2 . Tìm GTNN của A x 
 x2
Sai lầm HS thường gặp: 
 xx1x x 113
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số không âm ta có A 33 33 . 
 22x222x2 4 3 4
 3
Vậy MinA 
 3 4
 - 5 - 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
B2: Định hướng cách giải: Từ giá trị của các biến tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu, 
ta suy ra giá trị của các biến và các BĐT tham gia đánh giá tại các thời điểm dấu “=” 
xảy ra. Mỗi phép đánh giá phải tuân theo nguyên tắc gía trị của các biến thuộc biều 
thức tại các thời điểm dấu “=” xảy ra của các BĐT vẫn không thay đổi. Nghĩa là, dấu 
“=” ở mỗi lần đánh giá đều phải giống như dấu “=” ở dự đoán ban đầu. 
Mục đích: Lập sơ đồ dấu “=”1 xảy ra gồm các giá trị của các biến tại dấu “=” ở dự 
đoán ban đầu, tại mỗi thời điểm đánh giá, từ đó suy ra các BĐT đánh giá. 
Để hiểu hơn chúng ta hãy áp dụng vào một số bài toán cụ thể sau: 
 1
 Bài 1. Cho số thực x 2 . Tìm GTNN của A x 
 x
B1 : Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra: 
Ta có 2 lưu ý: + Một là, biều thức có điều kiện x 2 
 1
 + Hai là, hàm số fx() x hàm số đồng biến trên 2; 
 x
Thật vậy xx1,2 (2; ): x1 x2 2 
 1 1 x1. x2 1 
 fx()1 fx()2 x1 - x2 x1 x2 0 fx()1 f() x2 
 x1 x2 x1. x2 
 5
Do đó x càng nhỏ thì A càng nhỏ. Dự đoán dấu “=” xảy ra tại x 2 và Min A= . 
 2
 1
B2:Định hướng cách giải: Biểu thức A có chứa tổng x và , để tìm GTNN của A 
 x
ta phải dùng BĐT nào mà khi đánh giá các biến x phải triệt tiêu. Do đó, nghĩ ngay 
đến phép đánh giá tổng thành tích BĐT Cô-si 2 số không âm. 
 1
+Không thể áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm x và vì dấu “=” không xảy ra 
 x
(nguyên tắc dấu “=” không đảm bảo). 
1 Sơ đồ dấu “=”: Theo Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, Trần Phương, NXB Tri thức thì 1 được 
gọi là “Sơ đồ điểm rơi”. Nhưng thuật ngữ “Sơ đồ điểm rơi” không được định nghĩa trong chương trình. Nên chúng tôi 
tạm gọi là Sơ đồ dấu “=” với mục đich cho HS dễ hiểu. 
 - 7 - 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
B2: Định hướng cách giải 
 1 1 1 
+ Từ Bài 1 và dấu “= “ xảy ra tại x y , ta phân tích A x y 
 2 x y 
 1 1 
rồi đánh giá x , y theo như Bài 1. 
 x y 
 xy 1
 1 2 11
Do đó ta có Sơ đồ dấu “=” như sau: x y 2 
 211 2 4
 2
 xy
 Lời giải 
Áp dụng BĐT Cô-si 2 số không âm 
 1 1 11
A 4x 4y 3 xy 24. x 24.y 3 x y 8 3 5 
 x y xy
 1
Vậy MinA 5 . Dấu “=” xảy ra x y 
 2
Nhận xét: Để giải bài toán trên có thể dùng BĐT Cô-si 4 số không âm, nhưng do 
giới hạn chương trình nên chúng tôi chỉ dùng BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm. 
 3 111
 Bài 3. Cho xyz,, 0: x y z . Tìm GTNN của A x y z 
 2 xyz
B1 : Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra 
 1
Do A là biểu thức đối xứng với x, y, z nên MinA đạt tại x y z 
 2
B2:Định hướng cách giải 
 xyz 1
 1 2 11
Sơ đồ : x y z 2 
 2111 2 4
 2
 xyz
 Lời giải 
 - 9 - 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
 1
+Tách x hoặc để khi áp dụng BĐT Cô-si 3 số thì dấu “=” xảy ra . 
 x2
 x x 1 xx 1
+Sử dụng BĐT Cô-si cho bộ số ,, 2 sao cho tại x 2 thì 2 . 
 x x
 xx 1
 x2 21
Ta có sơ đồ dấu ‘=’ : x 2 8 
 11 4
 x2 4
 xx 16
Vậy A +x và ta có lời giải sau. 
 88x2 8
 Lời Giải: 
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số không âm ta có 
 xx16xxx16 x 36.2 9
 3
 A 2 3. .. 2 
 88x 888x 8484
 9
Dấu “=” xảy ra x 2 . Vậy Min A= MinA tại x 2 . 
 4
Nhận xét: Tương tự kĩ thuật giải và BĐT Cô-si 3 số ta có bài toán tổng quát hơn: 
 Mở rộng Bài 4: Cho xxx1,2 ,3 ,... xn 0:x1 x2 x3 ... xn . 
 1111 3
 A x x x ... x  ... 2 n
 123 n 2222 với  3 0 ( ,, 0 là 
 x1x2x3 xn 
  3  n3 
 hằng số cho trước, n N * ) thì MinA khi x x x ... x 
 2 123 n n
 18
 Bài 5. Cho số thực x 6 . Tìm GTNN của A x2 
 x
B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra 
 18
Do hàm số fx() x2 đồng biến trên 6; nên x càng nhỏ thì A càng nhỏ. Ta 
 x
dự đoán MinA 39 khi x 6 . 
B2: Định hướng cách giải 
 - 11 -