Sáng kiến kinh nghiệm Giải một số bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về đường thẳng trong mặt phẳng

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I
 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
KHI LUYỆN TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 TRONG HỆ TRỤC OXY
 Người thực hiện : Mai Thị Hà 
 :
 Chức vụ: Giáo viên
 Sáng kiến thuộc lĩnh vực: Toán học
 THANH HÓA NĂM 2016 Sáng kiến kinh nghiệm 
hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức đường thẳng vào giải bài toán về tìm 
giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong mặt phẳng với mong 
muốn học sinh nắm được hệ thống kiến thức cơ bản vững chắc về đường thẳng, về 
phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, biết vận dụng các kiến thức về đường thẳng 
vào giải toán hình học nói chung và giải bài toán về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ 
nhất của hình học tọa độ trong mặt phẳng nói riêng.
B. Giải quyết vấn đề.
I.Các biện pháp thực hiện.
1. Cách thức thực hiện:
 Do thời gian dạy học trên lớp còn hạn chế, nên để áp dụng nội dung này thì 
giáo viên cần phải: 
 - Cung cấp đầy đủ các kiến thức cơ bản cho học sinh.
 - Phải lựa chọn các kiến thức đưa ra cho học sinh, dự đoán được các tình 
huống xảy ra trong từng tiết học để học sinh chủ động tiếp thu kiến thức. 
 - Chọn phương pháp dạy học, phương tiện phù hợp với nội dung bài.
 - Khắc sâu kiến thức kết hợp với luyện tập, ngoài ra phải đưa ra bài tập tự 
giải đưa ra bài tập tự giải cho học sinh tự giác làm.
 - Tham khảo ý kiến của đồng nghiệp, của học sinh để chọn lựa phương pháp 
truyền đạt kiến thức phù hợp.
2. Phương pháp vận dụng các kiến thức vectơ vào việc giải bài toán về tìm giá 
trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong không gian.
 Dạng 1:
Bài toán:
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(a; b); B(a’; b’) và đường thẳng 
(d): x y  0 . Tìm toạ độ điểm E thuộc (d) sao cho m EA n EB đạt giá trị 
nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
 + Tìm toạ độ điểm P sao cho mPA nPB 0 . 
 + Tìm mối liên quan giữa điểm E và điểm P vừa tìm được.
 + Tìm toạ độ điểm E thỏa mãn điều kiện bài toán.
 Chú ý: Bài toán trên còn được mở rộng với 3 điểm A, B, C hoặc 4 điểm A, 
B, C, D thì ta cũng có phương pháp giải tương tự như trên.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1; -2), B(0; 3) và đường thẳng (d) 
có phương trình: x - y + 1 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho: 
 2 MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: 
GV: Mai Thị Hà 2 Sáng kiến kinh nghiệm 
 MA 2 MB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ME đạt giá trị nhỏ 
nhất tức M là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với đường thẳng (d) 
và đường thẳng (d).
 Gọi (d’) là đường thẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng (d). 
 1 1
(d’) có vectơ chỉ phương là u d ' (1;1) và đi qua điểm E ( ; ) . Phương trình tham 
 3 3
 1
 x t
 3
số của đường thẳng (d’) là: 
 1
 y t
 3
 Khi đó: M là giao điểm của (d) và (d’) nên
 1 1
Gọi toạ độ M ( t; t) . M thuộc (d) do đó ta có:
 3 3
1 1 1 1 5
 t ( t) 1 0 t suy ra M ( ; ) .
3 3 2 6 6
 1 1 5 1 2
Khi đó: MA 2 MB = 3 ME = 3 ( ) 2 ( ) 2 
 6 3 6 3 2
Bài 3:
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; -1), B(1; 4), C(-2; - 5) và đường 
thẳng (d) có phương trình x - 3y + 2 = 0.
Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho MA 2 MB 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
 Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA 2EB 2EC 0 .
 Ta có: EA (3 a; 1 b)
 EB (1 a;4 b)
 EC ( 2 a; 5 b)
 EA 2EB 2EC (9 a;17 b)
 9 a 0 a 9
 EA 2EB 2EC 0 E(9;17)
 17 b 0 b 17
 Khi đó: MA 2 MB 2 MC = ME EA 2EB 2EC ME
 MA 2 MB 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ME đạt giá 
trị nhỏ nhất tức M là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với (d) và 
đường thẳng (d).
GV: Mai Thị Hà 4 Sáng kiến kinh nghiệm 
 b) MA2 2MB 2 đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
 a) Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA EB 0 . Khi đó E là trung điểm của AB 
nên tọa độ điểm E(2; - 3). Ta có: 
 2 2
MA2 MB 2 MA MB (ME EA) 2 (ME EB) 2
 2 2 2
 2ME EA EB 2ME(EA EB) 2ME 2 EA2 EB 2
 MA2 MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi ME đạt giá trị nhỏ nhất tức M là giao điểm 
của đường thẳng đi qua E vuông góc với (d) và đường thẳng (d).
 Gọi (d’) là đường thẳng đi qua E và vuông góc với (d). (d’) có vectơ chỉ 
 x 2 t
phương là ud ' (1;1) . Do đó (d’) có phương trình tham số là 
 y 3 t
M là giao điểm của (d) và (d’) nên gọi toạ độ của M(2 + t; - 3 + t), mà M thuộc (d) 
nên ta có phương trình:
2 + t – 3 + t – 3 =0 t = 2 hay M(4; -1).
Khi đó: MA2 MB 2 2ME 2 EA2 EB 2 2.(22 22 ) (12 32 ) (12 32 ) 36 .
b) Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA 2EB 0 . Khi đó B là trung điểm của EA nên 
tọa độ điểm E(- 1; - 12). Khi đó: 
 2 2
MA2 2MB 2 MA 2MB (ME EA) 2 2(ME EB) 2
 2 2 2
 ME EA 2EB 2ME(EA 2EB) ME 2 EA2 2EB 2
 MA2 2MB 2 đạt giá trị lớn nhất khi ME đạt giá trị nhỏ nhất tức M là giao điểm 
của đường thẳng đi qua E vuông góc với (d) và đường thẳng (d).
 Gọi (d’) là đường thẳng đi qua E và vuông góc với (d). (d’) có vectơ chỉ 
 x 1 t
phương là ud ' (1;1) . Do đó (d’) có phương trình tham số là 
 y 12 t
M là giao điểm của (d) và (d’) nên gọi toạ độ của M(- 1 + t; - 12 + t), mà M thuộc 
(d) nên ta có phương trình:
 - 1 + t – 12 + t – 3 =0 t = 8 hay M(7; - 4). Khi đó: 
MA2 2MB 2 ME 2 EA2 2EB 2 .(82 82 ) (42 122 ) 2(62 22 ) 48 
Bài 2:
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: 
x 1 y 1
 và 3 điểm A(1; - 2), B(-1; 2), C(-2;5). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao 
 1 3
cho 
 a) MA2 2MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 b) MA2 3MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
 a) Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA 2EB EC 0 . Khi đó:
GV: Mai Thị Hà 6 Sáng kiến kinh nghiệm 
 2 2 2
MA2 3MB 2 MC 2 MA 3MB MC (ME EA) 2 3(ME EB) 2 (ME EC) 2
 2 2 2 2
 ME EA 3EB EC 2ME(EA 3EB EC) ME 2 EA2 3EB 2 EC 2
MA2 3MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất khi ME đạt giá trị nhỏ nhất tức M là giao 
điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với (d) và đường thẳng (d).
 Gọi (d’) là đường thẳng đi qua E và vuông góc với (d). (d’) có vectơ pháp 
tuyến là nd ' (1;3) . Do đó (d’) có phương trình tổng quát là:
 (x 2) 3(y 3) 0 x 3y 7 0
 x 1 t
(d) có phương trình tham số là: 
 y 1 3t
M là giao điểm của (d) và (d’) nên gọi toạ độ của M(1 + t; - 1 + 3t), mà M thuộc 
(d) nên ta có phương trình:
 9 19 17
1 t 3( 1 3t) 7 0 t hay M( ; ).
 10 10 10
Khi đó:
MA2 3MB 2 MC 2 ME 2 EA2 3EB 2 EC 2
 39 2 13 2 2 2 2 2 2 2 169 151
 . ( ) ( ) 3 5  31 ( 1)  0 2  34 6 4 
 10 10 10 10
Bài tập đề nghị:
Bài 1:
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho mặt phẳng (d) có phương trình: x + 
y + 3 = 0 và các điểm A(3;1), B(7;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc 
(d) sao cho:
a) MA2 2MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
b) MA2 3MB 2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2:
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: 
x 1 y 1
 và 3 điểm A(0; 2), B(-1; 5), C(-2;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao 
 2 1
cho 
 a) MA2 2MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
b) MA2 3MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 
 x t
 và 3 điểm A(2; 1), B(2; -1), C(1; 0). Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho:
 y 2t
a) MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
b) MA2 2MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất.
 Dạng 3:
GV: Mai Thị Hà 8 Sáng kiến kinh nghiệm 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x 
+ 3y – 1 = 0 và 2 điểm A(1; 2), B(-1; -1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho 
MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
 Thay tọa độ A và B vào đường thẳng d ta có:
 (1 + 3.2 – 1)( - 1 + 3( - 1 ) – 1 ) = 6.( - 5 ) = - 30 < 0 do đó A, B nằm về hai phía 
đối với đường thẳng d.
 A d
 M
 M’ B
Ta chứng minh M AB  d là điểm cần tìm.
Thật vậy giả sử M’ là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d và M ' M.
 Xét tam giác M’AB có: M’A + M’B > AB
Mặt khác, AB = MA + MB do đó M’A + M’ B > MA + MB hay M là điểm cần 
tìm.
Ta có: AB ( 2; 3) n AB (3; 2) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB. Do đó 
AB có phương trình: 3(x – 1 ) – 2(y – 2 ) = 0 3x – 2y + 1 = 0.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
 1
 x 
 3x 2y 1 0 11 1 4
 M ( ; )
 x 3y 1 0 4 11 11
 y 
 11
Khi đó MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 13 .
 Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình 
x + 3y – 1 = 0 và 2 điểm A(1; 2), B(0; 3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho 
MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải :
 Thay tọa độ A và B vào đường thẳng d ta có:
 (1 + 3.2 – 1)( 0 + 3.3 – 1 ) = 6.8 = 48 > 0 do đó A, B nằm về cùng một phía đối 
với đường thẳng d.
 A B d
GV: Mai Thị Hà 10