Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi biến đổi biểu thức lượng giác trong chương trình toán 10

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG 
 GẶP KHI BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG 
 CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 10
 Người thực hiện: Lại thị Hương Lan
 Chức vụ: Giáo Viên
 SKKN thuộc môn: Toán 
 THANH HÓA NĂM 2016
 - 0 - 1. MỞ ĐẦU
* LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
 Trong chương trình giảng dạy đại số 10, chương VI : “ Góc lượng giác và 
 công thức lượng giác” mặc dù chỉ có 15 tiết song nó đóng một vai trò và có ý 
 nghĩa hết sức quan trọng đối với kết quả học tập của học sinh. Trong quá trình 
 giảng dạy tôi nhận thấy khi học chương này (đây là chương mới mở đầu phần 
 lượng giác mà các em sẽ được học tiếp ở lớp 11) nhiều học sinh tỏ ra bỡ ngỡ, 
 lúng túng và thường mắc phải một số sai lầm, từ đó dẫn đến lời giải sai, chính vì 
 thế mà kết quả học tập chưa cao.
 Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy rõ yếu điểm này của học sinh và hiện tại 
 chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào vấn đề này, đồng nghiệp, nhà 
 trường chưa có kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục. Vì vậy tôi mạnh dạn đề 
 xuất sáng kiến: “ Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi 
 biến đổi biểu thức lượng giác trong chương trình toán 10”. Trong phạm vi 
 đề tài này tôi chỉ đề cập đến một phần nhỏ trong chương trình sách giáo khoa 
 nâng cao 10, chương trình ôn thi THPT Quốc gia năm 2015 trong phạm trù biến 
 đổi biểu thức lượng giác.
* MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Với đề này, tôi mong muốn phần nào giúp học sinh khắc phục một số sai lầm 
 thường mắc phải và có kỹ năng tốt khi biến đổi biểu thức lượng giác. Và đặc 
 biệt tạo tiền đề tốt để sau này lên lớp 11, các em sẽ dễ dàng giải quyết tốt bài 
 toán về biến đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác, đây là bài toán 
 không thể thiếu trong các kỳ thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, thi thử 
 THPH Quốc giaTừ đó giúp học sinh đạt được kết quả tốt trong quá trình học 
 tập và thi cử.
* ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
 Đề tài này sẽ nghiên cứu, tổng kết về một số sai lầm thường mắc phải của học 
 sinh khi biến đổi biểu thức lượng giác trong chương trình toán 10.
*PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 + Để thực hiện đề tài này tôi đã lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể, phân tích 
 tỉ mỉ những sai lầm của học sinh thường mắc phải, vận dụng hoạt động năng lực 
 tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh, để từ đó đưa ra lời giải đúng 
 của bài toán.
 + Thực nghiệm sư phạm.
 - 2 - 3sin 2cos 
Cho tan 3. Tính giá trị của biểu thức M ;
 5sin 3 4cos3 
2. Đề thi thử kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 trường THPT Hàn Thuyên (Bắc Ninh)
 1
 Cho cos 2 . Tính giá trị của biểu thức P 1 tan 2 ;
 5
 4
Ví dụ 2: Cho , , sin . Tìm cosα , tan α , cot α 
 2 5
*Lời giải sai lầm thường gặp
Ta có: sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 
 16 3
 cos 1 sin2 1 .
 25 5
 sin 4 3 4 1 3
Do đó tan : và cot .
 cos 5 5 3 tan 4
*Nguyên nhân sai lầm
Đa số học sinh đều cho rằng từ cos2 1 sin2 cos 1 sin2 .
Cần lưu ý rằng: a 2 b 0 a b a b
*Lời giải đúng
Ta có: sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 
 16 3
 cos 1 sin2 1 .
 25 5
 Vì nên cos 0. 
 2
 3
 Vậy cos 
 5
 sin 4 3 4
Do đó tan : ( ) 
 cos 5 5 3
 1 3
 và cot .
 tan 4
*Chú ý với học sinh
 + Lưu ý phép biến đổi a 2 b 0 a b .
 - 4 - 
TH1: Với x (0; ] thì cos x 0 .
 2
 Ta có A = 2(cos x sin x) 2sin(x ) .
 4
TH2: Với x ( ; ) thì cos x 0 .
 2
 Ta có A = 2( cos x sin x) 2sin(x ) .
 4
Vậy: 
 2 sin( x ) khi x (0; ]
 A 4 2
 .
 2 sin( x ) khi x ( ; )
 4 2
 *Chú ý đối với học sinh: 
 2 a khi a 0
 a = a = 
 a khi a 0
Bài tập tương tự
 Rút gọn các biểu thức
 1
 A = 2 2 2cos x với x [0; ] ;
 2
 1 sin x 1 sin x
 B = ;
 1 sin x 1 sin x
 C = sin2 x(1 cot x) cos2 x(1 tan x) .
Ví dụ 4: Đơn giản biểu thức 
 A = cos x .cosx.cos2x.cos4x.
 2
*Lời giải sai lầm thường gặp
 Ta có sin x . A = sin x . cos x .cosx.cos2x.cos4x
 2 2 2
 = 1 sinx.cosx.cos2x.cos4x
 2
 = 1 sin2x.cos2x.cos4x
 4
 = 1 sin4x.cos4x
 8
 = 1 sin8x.
 16
 - 6 - A = sinx + sin2x + sin3x+ + sin2016x.
 B = cosx.cos2x. cos4xcos2nx.
 1 3
Ví dụ 5: Biết x, y (0; ) và tan x , tan y . Tính x + y.
 2 7 4
*Lời giải sai lầm thường gặp
 1 3
 tan x tan y
 Ta có tan(x y) 7 4 1.
 1 tan x.tan y 1 3
 1 .
 7 4
 Suy ra: x + y = 450.
*Phân tích sai lầm
 1, Bài toán cho x, y (0; ) tức là đơn vị đo góc x, y là rađian. 
 2
 Do đó kết quả x + y = 450 là sai. Đây là một sai lầm rất đáng tiếc của học sinh.
 2, Ngoài ra trong lời giải trên còn thiếu một lập luận rất quan trọng. Đó là từ 
 tan(x + y) = 1 suy ra x + y = 450 lập luận đúng phải là từ tan(x + y) = 1 ta có 
 x y k ,k  (1)
 4
Do x, y (0; ) nên x y (0; ) (2). 
 2
Từ (1) và (2) suy ra x y .
 4
*Lời giải đúng
 1 3
 tan x tan y
 Ta có tan(x y) 7 4 1 
 1 tan x.tan y 1 3
 1 .
 7 4
 x y k ,k  (1).
 4
 Do x, y (0; ) nên x y (0; ) (2). 
 2
 Từ (1) và (2) suy ra x y .
 4
 Vậy x y .
 4
 Ví dụ 6: Cho góc lượng giác ,0 và tan cot m . Tính sin 2 ,cos 2 
 2
theo m.
*Lời giải sai lầm thường gặp
 - 8 - 
 m2 4 π
 khi 0 α 
 m 4
 cos2 
 m2 4 π
 khi α π
 m 4
Như vậy thông qua 2 cách giải trên, bản thân tự các em học sinh đều sẽ nhận ra sai 
lầm của mình đã không để ý đến giả thiết 0 và lời giải lập luận chưa chặt 
 2
chẽ từ đó các em học sinh cũng sẽ tự ra kinh nghiệm để gặp các bài toán tương tự 
các em sẽ không mắc phải và làm tốt hơn.
Bài tập tương tự
 3 
1, Cho sin2 = -4/5, . Tính các giá trị lượng giác của .
 2 4
 1 
2, Biết sin và ( ; ) . Tính các giá trị lượng giác của góc 2 và góc /2.
 3 2
Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn:
 sinA = cosB + cosC thì tam giác ABC vuông.
*Lời giải sai lầm thường gặp
 B C B C
Ta có sinA= cosB + cosC sinA 2cos .cos
 2 2
 A A B C
 2sin (cos cos ) 0
 2 2 2
 A B C A
 cos cos ( do 0 A nên sin 0 )
 2 2 2
 A B C 
 B A C B .
 2 2 2
Vậy tam giác ABC vuông tại B (ĐPCM).
*Lời giải đúng
Ta có 
 B C B C
sinA= cosB + cosC sinA 2cos .cos
 2 2
 A A B C
 2sin (cos cos ) 0
 2 2 2
 A B C A
 cos cos ( do 0 A nên sin 0 ) (1)
 2 2 2
 A B C A B C
Vì 0 ; nên (1) A B C .
 2 2 2 2 2 2
 - 10 - 1 C cos y 0 1 C cos y
 1 C sin y 0 1 C sin y
 C 2 (cos2 y sin2 y) 2 C 2 2 C 2 .
+ Nếu C 2 ta có 
 1
 sin y 
 2 
 y k2 ,k  .
 1 4
 cos y 
 2
+ Nếu C 2 ta có 
 1
 sin y 
 2 3 
 y k2 ,k 
 1 4
 cos y 
 2
 3 
Vậy C 2 , y k2 ,k  hoặc C 2 , y k2 ,k  .
 4 4
Bài tập tương tự
Tìm các số A và y sao cho: 
 sinx + cosx = Asin (x - y), với mọi x.
2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm
* Kết quả từ thực tiễn:
 Vì đây là phần kiến thức nằm ở chương đầu tiên của phần lượng giác mà các em 
sẽ tiếp tục được học ở lớp 11 nên bước đầu học sinh gặp phải khó khăn nhất định 
trong việc biến đổi các biểu thức lượng giác . Tuy nhiên dưới sự hướng dẫn tỉ mỉ và 
sự lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở đó giáo viên đưa ra những sai lầm mà 
học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận từ đó đã giúp các em khắc phục 
được những sai lầm đó và đi đến được lời giải đúng.
* Kết quả thực nghiệm:
 Sáng kiến này được áp dụng trong năm học 2015 – 2016 ở 2 lớp 10I và 10D tại 
trường THPT Ba Đình Nga Sơn .
 Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải các bài tập ở dạng 
này trong sách giáo khoa lớp 10 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ 
của các năm về trước thì các em đã thận trọng hơn khi tìm và trình bày lời giải và 
đã làm được một lượng lớn bài tập đó. Có nhiều em ban đầu tỏ ra rất ngại khi gặp 
đến các bài tập ở dạng này thì giờ đây đã tỏ ra rất thích thú, tự tin và say mê với 
những bài tập như thế.
 Trong quá trình dạy học bản thân nhận thấy rất rõ khi thực hiện sáng kiến này 
học sinh học tập rất tích cực và hứng thú, các em đã nhận thấy được một số sai lầm 
mà các bạn thường mắc phải và qua đó cũng đã tự rút ra được những chú ý quan 
 - 12 -