Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ

 SKKN: Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ 
 I. M Ở Đ ẦU
 1. Lí do chọn đề tài. 
 Giải phương trình là nội dung kiến thức quan trọng, cơ bản đối với học sinh 
 trung học phổ thông, đối với những phương trình bậc nhất, bậc hai hoặc phương trình 
 quy về bậc nhất, bậc hai đơn giản hầu hết học sinh đều nắm được cách giải cơ bản. 
 Tuy nhiên khi gặp các phương trình vô tỷ thì phần lớn học sinh bị lúng túng, ngỡ 
 ngàng, không tìm được hướng giải. 
 Thực tế cho thấy trong những năm gần đây(từ 2002 đến 2013) phương trình vô 
 tỷ xuất hiện hầu hết trong các đề thi cao đẳng, đại học, đặc biệt là khối A và B 
 gây khó khăn khá nhiều cho học sinh. Trong khi đó chương trình học của sách 
 giáo khoa lại không đề cập đến các dạng phương trình này hoặc nếu có thì chỉ 
 dừng lại ở mức độ quá đơn giản, không đáp ứng được trong các kì thi cao đẳng, 
 đại học.
 Vậy làm thế nào để có thể giúp các em học sinh lớp 10 tiếp cận với các phương 
 trình đó và dần đi đến giải được các phương trình đã nêu ở trên. 
 Cùng với xu hướng của nhà trường là cho học sinh chọn khối thi đại học từ cuối 
 năm lớp 10 và kết hợp với khả năng của học sinh trường THPT Duy Tân , tôi 
 muốn cung cấp, bổ sung thêm cho các em một số cách giải những phương trình 
 dạng này bằng cách dùng ẩn phụ. Đây là một cách giải đòi hỏi phải có tư duy chặt 
 chẽ, lôgic và có hiệu quả cao.
 Ở đây tôi không tham vọng là các em có thể giải được hết các phương trình này 
 tuy nhiên phần nào đó học sinh biết cách định hướng, nhận biết, để đặt được ẩn phụ 
 và giải được một số dạng tương đối đơn giản.
 Với mong muốn đó, tôi xin trình sáng kiến kinh nghiệm “ Giúp học sinh lớp 10 
 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ ”.
 2 Mục đích của đề tài.
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Phương 1 SKKN: Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ 
 nhiều em rất ham thích, tìm tòi các cách giải các phương trình. Tuy nhiên khi đối 
 mặt với các phương trình vô tỷ thì các em đều gặp khó khăn, không định hướng 
 được cách giải, một số ít cũng đã tìm được cách giải nhưng lời giải quá cồng kềnh, 
 phức tạp. Nếu biết đặt ẩn phụ một cách thích hợp đưa về giải hệ phương trình 
 quen thuộc thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều và cách giải cũng rõ ràng, chặt 
 chẽ.
 Sáng kiến này chủ yếu áp dụng cho đối tượng học sinh học khá, giỏi của khối 10 
 trường THPT Duy Tân đặc biệt là lớp bồi dưỡng 10A.
 4. Phương pháp nghiên cứu
 4.1.Phương pháp chính
 Từ suy nghĩ, nghiên cứu, tổng hợp kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, quan 
 sát sai lầm, khó khăn của học sinh trong quá trình học tập, kiểm tra.
 4.2.Phương pháp bổ trợ.
 Điều tra, thống kê và tham khảo các sách báo.
 Nội dung sáng kiến này là một kinh nghiệm nhỏ xin trình bày cùng các đồng 
 nghiệp, chắc hẳn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến 
 đóng góp của các thầy cô giáo.
 II. NỘI DUNG
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Phương 3 SKKN: Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ 
 đưa về phương trình hoặc hệ phương trình quen thuộc để giải, hầu hết các em không 
 hề nghĩ bài toán sẽ được giải theo cách này và không định hướng được cách giải.
 2.2 Về sách giáo khoa.
 Sách giáo khoa chỉ đơn thuần đưa ra các ví dụ về giải các phương trình bậc 
 hai, phương trình chứa căn bậc hai, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản. 
 Ngay cả các phương trình chứa căn bậc hai, chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản cũng 
 không đề cập đến cách giải tổng quát, vì vậy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi đối 
 mặt với các phương trình vô tỷ.
 2.3 Về phía giáo viên.
 Với sức ép của chương trình, qui chế chuyên môn, thời lượng thực hiện 
 chương trình sát sao, đã làm cho giáo viên chỉ đủ thời gian chuyển tải các nội dung 
 trong sách giáo khoa, ít có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần mở rộng 
 chủ yếu ở các tiết phụ đạo, bồi dưỡng.
 2.4. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
 a. Biện pháp 1: Trang bị cho học sinh các kiến thức cần thiết.
 Giáo viên trang bị cho học sinh dưới dạng bảng hệ thống các kiến thức để học dễ 
 nhớ, dễ vận dụng.
 * Các kiến thức cơ bản về giải phương trình, hệ phương trình.
 Các kiến thức cơ bản về giải phương trình chứa căn bậc hai.
 • Các phương trình có chứa căn bậc hai.
 f (x) 0(hay g(x) 0)
 1. f (x) g(x) 
 f (x) g(x)
 g(x) 0
 2. f (x) g(x) 2
 f (x) g(x)
 Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta cần đặt ẩn phụ để giải.
 • Các hệ phương trình cơ bản.
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Phương 5 SKKN: Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ 
 hệ có nghiệm duy nhất(x 0; y0) thì nghiệm đó cũng là nghiệm (y 0; x0) suy ra: 
 x0 = y0
 f (x, y) 0
 5. Hệ đối xứng loại 2: cho hệ 
 g(x, y) 0
 trong đó: f(x, y) = f(y,x) ; g(x, y) = g(y,x) 
 Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ ta được phương trình có dạng:
 (x -y) h(x; y) = 0
 f (x; y) 0
 x y 0
 Hệ đã cho tương đương với hệ: 
 f (x; y) 0
 h(x; y) 0
 b. Biện pháp 2: Phân tích cách đặt ẩn phụ và hướng dẫn giải qua một số bài 
 toán.
 Dạng 1: Đặt một ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ.
 Bài toán 1 : Giải phương trình : 3 x2 4x 5 x2 4x 7 0 
 Đặt t x2 4x 5, t 0 ta được phương trình : 
 2 t 1
 t - 3t + 2 = 0 (tm)
 t 2
 +) với t = 1 ta được : 1 x2 4x 5, x2 4x 4 0 x 2
 +) với t = 2 ta được : 2 x2 4x 5, x2 4x 1 0 x 2 3
 Vậy phương trình có tập nghiệm : S = S 2; 2 3
 Nhận xét : Để ý rằng : - x2 + 4x – 7 = -(x2 - 4x + 5) – 2 do đó ta có thể biểu diễn 
 - x2 + 4x – 7 theo t (với t x2 4x 5, t 0 )
 Bài toán 2: Giải phương trình: x3 – 3x2 + 3x = 3 – (x - 1) x 1
 Chú ý: ta biến đổi phương trình để tìm ra cách đặt ẩn phụ
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Phương 7 SKKN: Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ 
 Khi đó do x 5 nên x + 4 > 0, chia 2 vế của phương trình cho x + 4 ta được: 
 x2 4x 5 x2 4x 5
 2 3 5
 x 4 x 4
 x2 4x 5
 Đến đây ẩn phụ xuất hiện, đó là: u , phương trình theo ẩn u là: 
 x 4
 u 1
 2u2 -5u + 3 = 0 3
 u 
 2
 5 61 5 61
 +) u = 1 => x 
 2 2
 3 7
 +) u = => x 8; x 
 2 4
 5 61
 Kết hợp với điều kiện x 5 ta được nghiệm của phương trình: x = 8; x 
 2
 Dạng 2: Đặt nhiều ẩn phụ và đưa về giải hệ phương trình nhiều ẩn.
 Bài toán 1: Giải hệ phương trình x2 3 10 x2 = 5 (1) 
 Nhận xét: Tổng của hai biểu thức dưới dấu căn không phụ thuộc vào x 
 (x2 + 3 + 10 – x2 = 0) nên bài toán được giải như sau.
 Giải
 Điều kiện: 10 – x2 0 10 x 10
 u x2 3 u 3
 Đặt (*) 
 2
 v 10 x 0 v 0
 u v 5
 Khi đó, (1) trở thành hệ: 2 2 (2)
 u v 13
 u v 5 u v 5 u 2 u 3
 (2) 2 hoặc 
 u v 2uv 13 uv 6 v 3 v 2
 (cả hai nghiệm đều thoả mãn *)
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Phương 9 SKKN: Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ 
 Thay vào (*) ta được x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
 Bài toán 3: Giải phương trình. 3 24 x 12 x 6
 Nhận xét: Lập phương của biểu thức thứ nhất cộng với bình phương của biểu thức 
 thứ hai là một số không đổi (không phụ thuộc vào x). 
 u 3 24 x u3 24 x
 Do đó ta đặt:
 (*) 2
 v 12 x 0 v 12 x
 u v 6
 Từ đó ta có hệ: 3 2 (2)
 u v 36
 v 6 u v 6 u v 6 u
 (2) 3 2 3 2 
 u (6 u) 36 u u 12u 0 u(u 3)(u 4) 0
 u 0 u 3
 hoặc 
 v 6 v 3
 u 3 24 x 0
 a) => x = -24
 v 3 12 x 36
 u 3 24 x 27
 b) x = -88
 v 3 12 x 100
 Bài toán 4: Giải phương trình: 3 x 7 x 1 (1)
 Hướng dẫn: Bài toán này tương tự bài toán 3. 
 u 3 x 7 u 3 7 u v 1
 Ta đặt: . Ta thu được hệ sau: 3 2 (2)
 v x v 0 u v 7
 u 2 u3 8 x 7 8
 Bằng phương pháp thế ta được (2) 
 2 x 1
 v 1 v 1 x 1
 Bài toán 5: Giải phương trình: 
 4
 x 1 x 2 x(1 x) 2 x(1 x) 1 (1)
 4 4
 Nhận xét:Tổng hai biểu thức dưới dấu căn của x và 1 x 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Phương 11 SKKN: Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ 
 Như vậy việc giải phương trình đã cho chuyển về giải hệ hai phương trình hữu tỉ đơn 
 giản:
 2 2
 u v 2
 2 2
 u v 2
 Từ đây ta có: u2 = 1- x = 1 + 2 => x = - 2
 2 2
 v2 = 1 + x = 1- 2 => x = - 2
 2 2
 Vậy phương trình có nghiệm x = - 2
 2
 3 7 x 3 x 5
 Bài toán 7: giải phương trình: 6 x (1)
 3 7 x 3 x 5
 Giải: 
 Điều kiện 3 7 x 3 x 5 0 x R.
 3 3 3
 u 7 x 3 3 u v
 Đặt (*) . Suy ra: u + v = 2; 6 x .
 3
 v x 5 2
 3 3
 u v 2 3 3
 u v 2
 Từ đó ta có hệ: 
 u v 1 3 3 2 2
 (u v ) (u v) 2 u v u uv v 0
 u v 2 
 3 3
 u3 v3 2 u v 2
 hoặc 2 2
 u v 0 2 u v u uv v 0
 u3 v3 2 u3 1 7 x 1
 a) 
 3 x 6
 u v 0 v 1 x 5 1
 3 3 3 3
 u v 2 u v 2
 b) 2 2 2 2 
 2 u v u uv v 0 u v u uv v 2
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Phương 13