Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh lớp 10 rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

 Sáng kiến kinh nghiệm - 1-
 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM
 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN
 
 ĐỀ TÀI:
 GIÚP HỌC SINH LỚP 10 RÈN LUYỆN
 KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
 VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
 
 Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Lam
 Tổ Toán 
 Trường THPT Lê Quý Đôn
 Năm học: 2010 - 2011
 ------------------
GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng kiến kinh nghiệm - 3-
kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học 
là việc làm rất cần thiết. 
 Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học 
ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt 
vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi 
học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy, ttrong quá trình 
dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn 
Toán một cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết phân 
dạng bài tập và giải một bài tập với nhiều cách khác nhau. 
IV. CƠ SỞ THỰC TIỄN: 
 Bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ học sinh chỉ được 
học trong chương trình Đại số 10. Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này 
này rất ít, học sinh không được tiếp cận nhiều dạng toán khác nhau. Trong 
SGK Đại số lớp 10 nâng cao chỉ đưa ra ba dạng cơ bản: A B, A B và 
 A B , phần bài tập cũng chỉ nêu những bài tập nằm trong ba dạng này. Tuy 
nhiên, trong thực tế phương trình và bất phương trình vô tỉ rất đa dạng và 
phong phú. Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp phải những bài 
toán đưa về phương trình và bất phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng 
túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải. Đặc biệt, các đề thi 
Đại học - Cao đẳng các em sẽ gặp phương trình và bất phương trình vô tỉ ở 
nhiều dạng khác nhau chứ không chỉ nằm trong khuôn khổ ba dạng trên. Vì 
vậy, việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương 
pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng 
nhu cầu thực tế hiện nay. Một điều rất quan trọng là trong quá trình giải 
phương trình và bất phương trình vô tỉ, giáo viên cần phải lưu ý cho học sinh 
các sai lầm thường mắc phải và phân tích nguyên nhân sai lầm để các em hiểu 
sâu hơn nhằm có được một bài giải tốt sau này.
V. NỘI DUNG:
 A. Phương pháp biến đổi tương đương:
 Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các 
phép biến đổi tương đương của phương trình, bất phương trình nhằm đưa các 
phương trình và bất phương ban đầu về phương trình và bất phương trình đã 
biết cách giải.
 1) Dạng f (x) g(x) :
 Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 1 3x 1
Hướng dẫn giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương 
 1
trình vô nghiệm, nên ta chỉ cần giải phương trình khi 3x 1 0 x . Khi 
 3
đó hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương 
đương.
GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng kiến kinh nghiệm - 5-
 2(x2 16) 7 x
Ví dụ 4: Giải bpt: x 3 (ĐH Khối A - 2004)
 x 3 x 3
Giải: ĐK: x 4
 x2 16 0
 10 2x 0
bpt 2(x2 16) x 3 7 x 2(x2 16) 10 2x 
 10 2x 0
 2 2
 2(x 16) (10 2x)
 x 5
 x 10 34
 10 34 x 5
Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x 6x2 1 x 1
 x 1 0 x 1 x 1
Giải: pt 2 2 2 2 2 2 2
 2x 6x 1 (x 1) 6x 1 x 1 6x 1 (x 1)
 x 1
 4 2 x 0, x 2
 x 4x 0
Ví dụ 6: Giải phương trình: x(x 1) x(x 2) 2 x2 .
 x 2
Hướng dẫn giải: ĐK: x 1 (*) .
 x 0
Pt 2x2 x 2 x2 (x 1)(x 2) 4x2 2 x2 (x2 x 2) x(2x 1)
 x 0
 4x2 (x2 x 2) x2 (2x 1)2 x2 8x 9 0 9
 (do đk (*)) x (thỏa (*)).
 8
Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau:
1) Bài toán trên còn có cách giải như sau: 
* x = 0 là một nghiệm của phương trình.
* x 1 pt x 1 x 2 2 x 2 x2 x 2 2x 1
 9
 4x2 4x 8 4x2 4x 1 x (nhận)
 8
* x 2 pt x(1 x) x( x 2) 2 ( x)( x)
 9
 1 x x 2 2 x 2 x2 x 2 2x 1 x (loại)
 8
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0 và x = 9
 8
GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng kiến kinh nghiệm - 7-
 4x 1 3x 2 0
 x 2
 4x 1 3x 2 0
Nhận xét: *Với phương trình (1) ta có thể giải như sau: 
 y2 x 7
 y x 7
Đặt ta có hệ phương trình: 2 , trừ vế theo vế hai phương 
 x y 7
trình trên ta được: (y x)(y x 1) 0 . Giải ra ta tìm được x.
* Dạng tổng quát của pt (1) là: x2 x a a .
*Với pt (2) ta còn có cách giải khác như sau:
 x 2 4(x 2) 3(x 2) x 2
(2) 4x 1 3 3x 2 2 
 5 4x 1 3 3x 2 2 5
 x 2
 2
 3x 2 4x 1 1 1 . Vì VT(*) < 0 (do x ) nên (*) vô nghiệm.
 (*) 3
 ( 4x 1 3)( 3x 2 2) 5
Ví dụ 9: Giải các bất phương trình sau:
 x2
a) x 4 (1) b) (x2 3x) 2x2 3x 2 0 (2)
 (1 1 x)2
Hướng dẫn giải: 
a) ĐK: x 1.
*Với x = 0 ta thấy bất phương trình luôn đúng.
*Với x 0 1 x 1 0 . Nhân lượng liên hợp ở vế trái của bpt ta được:
 x2 (1 1 x)2
 x 4 (1 x 1)2 x 4 x 1 3 x 8 .
 (1 1 x)2.(1 1 x)2
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: T [ 1;8)
b) Ta xét hai trường hợp: 
 1
TH 1: 2x2 3x 2 0 x 2 V x , khi đó bpt luôn đúng.
 2
 2 1
 2x 3x 2 0 x Vx 2 1
TH 2: BPT 2 x Vx 3 .
 x2 3x 0 2
 x 0Vx 3
 1
Vậy nghiệm của bpt đã cho là: T ( ; ]{2}[3; ) .
 2
Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau:
*Ở bài toán (2) ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà 
chúng ta thường gặp trong giải phương trình và bất phương trình vô tỉ.
GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng kiến kinh nghiệm - 9-
Phương trình đã cho có nghiệm (*) có nghiệm t [0; 6], hay:
 0 m 5 6 5 m 6 5
 .
 0 m 5 6 5 m 6 5
Dạng 2: m[ f (x) g(x)] 2n f (x).g(x) n[ f (x) g(x)] p 0.
Với dạng này ta đặt:t f (x) g(x). Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn 
được những đại lượng còn lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban đầu về 
phương trình (bpt) bậc hai đối với t.
Ví dụ 3: Cho phương trình: 3 x 6 x m (3 x)(6 x).
 a) Giải phương trình khi m 3 .
 b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
Hướng dẫn giải: Đặt: t 3 x 6 x t 2 9 2 (3 x)(6 x) (*).
Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 (3 x)(6 x) 9nên từ (*) 3 t 3 2.
 t 2 9
Phương trình đã cho trở thành: t m t 2 2t 9 2m (1)
 2
a) Với m 3 , ta có pt: t 2 2t 3 0 t 3 thay vào (*) ta được: 
 x 3
 (3 x)(6 x) 0 .
 x 6
b) Phương trình đã cho có nghiệm (1) có nghiệm t [3;3 2].
Xét hàm số: f (t) t 2 2t 9 với t [3;3 2], ta thấy f (t) là hàm đồng biến 
 6 f (3) f (t) f (3 2) 9 6 2,t [3;3 2].
 6 2 9
Do vậy (1) có nghiệm t [3;3 2] 6 2m 9 6 2 m 3.
 2
 6 2 9
Vậy: m [ ;3] là những giá trị cần tìm.
 2
Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh điểm sau:
Nếu hàm số xác định trên D và có tập giá trị là Y thì phương trình f (x) k có 
nghiệm trên D k Y.
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x 3 x 1 3x 2 (2x 3)(x 1) 16
Hướng dẫn giải: ĐK: x 1
Đặt: t 2x 3 x 1,t 0 t 2 3x 2 (2x 3)(x 1) 4(*)
Khi đó phương trình trở thành: t t 2 20 t 2 t 20 0 t 5
GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng kiến kinh nghiệm - 11-
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 3 x 1 m x 1 24 x2 1 (ĐH Khối A - 2007)
Hướng dẫn giải: ĐK: x 1
* x 1 là nghiệm phương trình m 0.
 x 1 x 1
* x 1, chia hai vế phương trình cho 4 x2 1 ta được: 34 m4 2 .
 x 1 x 1
 x 1 2
Đặt: t 4 4 1 0 t 1,t 1 và phương trình trở thành:
 x 1 x 1
 m
3t 2 3t 2 2t m (*).
 t
Phương trình đã cho có nghiệm (*) có nghiệm t (0;1)
 1
Vì 3t 2 2t 1,t (0;1) (*) có nghiệm t (0;1) 
 3
 1 1 1
 m 1 1 m . Vậy 1 m là giá trị cần tìm.
 3 3 3
Qua ví dụ trên ta thấy việc đặt biểu thức nào bằng ẩn phụ là mấu chốt của 
bài toán. Để chọn được biểu thức đặt ẩn phụ thích hợp thì sau khi đặt ta phải 
biểu diễn được các biểu thức chứa x khác trong phương trình, bất phương 
trình đã cho qua ẩn phụ vừa đặt. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp chúng ta 
không thể biểu diễn được hết các biểu thức chứa x có mặt trong phương trình, 
bất phương trình qua ẩn phụ được. Đối với loại này ta xét dạng sau đây:
Dạng 4: a. f (x) g(x). f (x) h(x) 0. Với phương trình dạng này ta có thể đặt 
t f (x) , khi đó ta được phương trình theo ẩn t: at 2 g(x)t h(x) 0 . Ta giải 
phương trình này theo t, xem x là tham số (tức là trong phương trình vừa có t, 
vừa có x) nên ta gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để.
Ví dụ 8: Giải phương trình: 2(1 x) x2 2x 1 x2 2x 1
Hướng dẫn giải: Đặt: t x2 2x 1 , ta được pt: t 2 2(1 x)t 4x 0 . Đây là 
phương trình bậc hai ẩn t có ' (x 1)2 , do đó phương trình này có hai 
nghiệm: t 2,t 2x.
*t 2 x2 2x 1 2 x2 2x 5 0 x 1 6.
 2 x 0
*t 2x x 2x 1 2x 2 hệ này vô nghiệm.
 3x 2x 1 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 1 6 .
Đặt ẩn phụ các hàm lượng giác:
GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn