Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh THPT qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO 
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT QUA CHỦ ĐỀ 
 GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ VÀ 
 TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
 Người thực hiện: Lương Bá Tính
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HÓA NĂM 2016 1. MỞ ĐẦU
- Lý do chọn đề tài
 Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục 
được coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với 
nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát 
triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được 
kiến thức trong tình huống công việc.
 Để làm được điều này, với lượng kiến thức và thời gian được phân phối 
cho môn toán bậc THPT, mỗi giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù 
hợp thì mới có thể truyền tải được tối đa kiến thức cho học sinh, mới phát huy 
được tư duy sáng tạo của học sinh, không những đáp ứng cho môn học mà còn 
áp dụng được kiến thức đã học vào các khoa học khác và chuyển tiếp bậc học 
cao hơn sau này.
 Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo 
điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trường phổ thông.
 Phương pháp vectơ và toạ độ cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức 
hình học phổ thông một cách gọn gàng và có hiệu quả một cách nhanh chóng, 
tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ. Nó có tác dụng tích cực trong việc 
phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp...
 Từ vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp toạ độ theo tinh 
thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học và cung cấp công cụ 
giải toán, cho phép đại số hoá hình học.
 Thực tế giảng dạy áp dụng vectơ và toạ độ để giải toán ở phổ thông hiện 
nay đa số còn rất sơ sài. Sách giáo khoa, với lý do sư phạm cũng chỉ dừng lại ở 
mức độ cơ bản, do vậy học sinh cũng chưa thực sự nắm được nhiều ứng dụng 
của phương pháp này.
 Với các lý do nêu trên, tôi đã tìm hiểu và nghiên cứu: "Góp phần phát 
triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh THPT qua chủ đề giải toán bằng 
phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng".
- Mục đích nghiên cứu
 - Nghiên cứu quá trình rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo toán học ở học 
sinh bậc THPT.
 - Trên cơ sở lý thuyết vectơ, toạ độ trong mặt phẳng ở chương trình 
THPT, cùng với các kiến thức hình học tổng hợp khác, các dạng bài tập ứng 
dụng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng, góp phần phát triển tư 
duy sáng tạo toán học cho học sinh.
- Đối tượng nghiên cứu
 - Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo, quá trình rèn luyện và phát 
triển loại hình tư duy này ở bậc THPT.
 - Đưa ra hệ thống các bài tập ứng dụng, hướng dẫn học sinh khai thác và 
phát triển các bài toán đó theo hướng sáng tạo.
 - Đưa ra một số biện pháp sư phạm nhằm thực hiện mục đích nghiên cứu.
 1 những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản 
chất.
+ Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, 
những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại 
các yếu tố cần thiết cho tư duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây 
chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
- Khái niệm tư duy sáng tạo, thành phần của tư duy sáng tạo
 Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo 
và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn 
đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới 
thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất.
 Tư duy sáng tạo gồm các thành phần sau:
+ Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống 
tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định 
nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương 
pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan 
hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán. Tính mềm dẻo gạt bỏ sự sơ 
cứng trong tư duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhau 
của chủ thể nhận thức.
+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa 
các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng 
mới. Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi khả năng tạo ra 
số các ý tưởng mới khi nhận thức vấn đề.
+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tư duy trong quá trình xác định mục đích 
cũng như giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lý, tính 
tối ưu của giải pháp.
+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, 
phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu 
thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu...và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra 
cái mới.
- Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông
- Vai trò của việc giải bài tập toán
 - Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn toán ở 
nhà trường phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán 
học. Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt động như: 
Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc-phương pháp, 
những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí 
tuệ phổ biến trong toán học. 
 - Vị trí bài tập toán: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán 
học, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ 
xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
 - Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra.
 3 - Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó 
không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp? Có cần 
phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?
 - Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? 
Quay về định nghĩa.
 - Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán 
có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không? Một 
bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có 
thể giải được một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua 
phần kia. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như 
thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố không? Có thể thay đổi ẩn 
hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và các dữ kiện mới được 
gần nhau hơn không?
 - Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện 
hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
 Qua các phần dẫn dắt của bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thể 
hiện ở mức độ cao hơn. Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan, hay 
tổng quát hơn...chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo.
+ Bước 3: Thực hiện chương trình giải 
 Hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng 
chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?
 Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và chứng 
minh được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sáng tạo 
đã được thể hiện đầy đủ.
+ Bước 4: Trở lại cách giải
 - Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình 
giải bài toán không?
 - Có tìm ra được kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trực tiếp 
kết quả không?
 - Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nào 
khác không?
 Trong quá trình giải toán rất nên làm cho học sinh biết các nội dung của
 lôgic hình thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng để làm 
việc với toán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục, thường 
xuyên. Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần có phần nhìn 
lại phương pháp đã sử dụng để giải. Dần dần những hiểu biết về lôgic sẽ thâm 
nhập vào ý thức của học sinh.
 Rất nên hệ thống hoá các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô 
hình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các chủ 
đề và mô hình đó, cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong 
quá trình học tập và nghiên cứu.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiêm.
 5 nâng dần tính tích cực theo mức độ từ thấp đến cao; Tính tích cực động não, độc 
lập suy nghĩ đến tích cực sáng tạo, người thầy cần rèn luyện học trò nâng dần 
các hoạt động từ dễ đến khó; Theo dõi cách chứng minh, đến hoạt động mò 
mẫm dự đoán kết quả và cuối cùng tự lực chứng minh. Việc dự đoán, mò mẫm 
kết quả không chỉ tập cho học sinh phong cách nghiên cứu khoa học, tập các 
thao tác tư duy tiền lôgic cần thiết, mà còn là biện pháp quan trọng nhằm nâng 
cao tính tích cực của học sinh. Khi tự đưa ra dự đoán, học sinh sẽ hào hứng và 
có trách nhiệm hơn trong quá trình tìm tòi lời giải cho kết quả dự đoán của 
mình.
2.3.2. Rèn luyện năng lực giải toán theo các thành phần cơ bản của tư duy 
sáng tạo
+ Tính mềm dẻo: Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:
 - Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận 
dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái 
quát hoá, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như: Quy nạp, suy diễn, tương 
tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời 
hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại.
 - Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh 
nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó 
có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những 
kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã có từ trước.
 - Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng 
mới của đối tượng quen biết.
 Qua cơ sở lý luận tính mềm dẻo trong tư duy, ta thấy để giải một bài tập 
cụ thể có vướng mắc, hoặc thấy cách giải còn chưa hay, thì gợi mở cho học sinh 
theo các hướng trên thì hiệu quả đạt được sẽ tốt hơn.
Ví dụ: Cho ABC, biết A(1;3) và hai trung tuyến có phương trình (d1): x-y+1= 0 và 
(d2): 3x+2y-2= 0. Xác định toạ độ các đỉnh B,C.
 Nếu theo suy nghĩ thông thường, từ giả thiết tính được trung điểm M của 
BC, viết phương trình BC qua M, cho MB=MC thì bài toán khá phức tạp, vì 
phương trình tổng quát một đường thẳng có 3 ẩn, một điểm thuộc một đường 
thẳng có 2 ẩn. Theo các sách hướng dẫn, đa số dùng cách đối xứng A qua trọng 
tâm G được A', thì có A'B, A'C song song (d2), (d1), tìm ra B, C. Nhưng việc nghĩ 
ra đối xứng A qua G không tự nhiên lắm. Nếu ta mềm dẻo hơn khi tư duy về 
phương trình đường thẳng dưới dạng tham số, thì từ một điểm trên đường thẳng 
phụ thuộc 2 ẩn, ta đưa về sự phụ thuộc một ẩn:
 Từ giả thiết A (d1), A (d2), gọi (d1) là trung tuyến qua đỉnh B, (d2) là
 trung tuyến qua đỉnh C. A
Gọi G là trọng tâm ABC thì toạ độ G là nghiệm của d2 d1
hệ:
 G
 B M C
 7 Đây là một bài toán thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh đại học. Rất 
nhiều học sinh lúng túng khi gặp loại toán này. Nhưng đây lại là bài toán khá 
phong phú về tư duy phương pháp. Sau đây là một số cách làm:
Cách 1: Ta có: | u.v | || u |.| v |.cos(u,v) | | u |.| v |.
 x y 
Xét u ( , ) và v (6, 2). Áp dụng bất đẳng thức trên có: 
 3 2
 x y x2 y2
| .6 ( 2) | . 62 ( 2)2 40 2 10 2x y 2 10 .
 3 2 9 4
Vậy: 5 2 10 P 5 2 10 .
 9 2
MinP=5 2 10 khi (u,v) x ,y 
 10 10
 9 2
MaxP=5 2 10 khi (u,v) 0 x ,y 
 10 10
 Trong cách trên đã thể hiện được khả năng phân tích bài toán theo phương 
diện vectơ và toạ độ, nhờ tính chất của tích vô hướng.
Cách 2: Sau khi đã có cách giải trên, loại bài toán là cho quan hệ các biến bậc 
hai, Biểu thức P có biến bậc nhất hoặc ngược lại, là một dạng tiêu biểu của bất 
đẳng thức Bunhiacôpski. Áp dụng ta có: 
 2 2 2 2 2
 x y 1 x y 2 2 1 x y 2
1= . (6) ( 2) .6 ( 2) (2x y)
 9 4 40 3 2 40 3 2 
 2 10 2x y 2 10 . Vậy: 5 2 10 P 5 2 10 .
 x y
 9
 3 2 x 
 10
Dấu bằng xảy ra khi 6 2 .
 2
 x2 y2 y 
 1 10
 9 4 
 9 2
Vậy: MinP=5-2 10 khi x ,y và MaxP=5 2 10 khi 
 10 10
 9 2
 x ,y 
 10 10
Cách 3: Dùng phương pháp miền giá trị
P=2x-y+5 y=2x+5-P, thay vào phương trình (E), phải có nghiệm:
 x2 (2x 5 P)2
 1 40x2 36(5 P)x 9P2 90P 189 0
 9 4
 ' = -9(P2-10P-15) > 0 5-2 10 < P < 5+2 10 .
 18(P 5) 9 2
MinP=5-2 10 khi x= ,y 
 40 10 10
 9