Sáng kiến kinh nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG 
 TAM GIÁC 
 B. Đề tài 
 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
 Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và 
quan trọng của chương trình toán học phổ thông. Mặt khác, nó còn gắn liền 
với thực tế qua những bài toán tìm cạnh, góc, diện tích đơn giản,  trong 
một tam giác cho đến những bài toán khó đòi hỏi nhiều tính toán, suy luận. 
 Trong chương trình toán học lớp 10, sách giáo khoa giới thiệu cho học 
sinh một số bài toán khá thú vị cho thấy ứng dụng thực tế của hệ thức lượng 
trong tam giác. Đồng thời sách giáo khoa cũng cho học sinh giải một số bài 
tập về giải tam giác. Tuy nhiên những bài tập đó chủ yếu chỉ rèn cho học 
sinh khả năng sử dụng máy tính cầm tay, không có nhiều dạng bài tập đòi 
hỏi khả năng tư duy, suy luận. Bên cạnh đó, với thời lượng học toán 7 tiết/ 
1 tuần ở học kỳ II, tôi tin rằng việc cung cấp cho học sinh thêm một số bài 
tập về “ Hệ thức lượng trong tam giác” là điều cần thiết để các em trao dồi, 
rèn luyện thêm những kỹ năng, khả năng suy luận toán học. Đó cũng là lý 
do mà tôi chọn viết chuyên đề này. 
 Chắc chắn rằng chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, xin quý 
thầy cô đóng góp ý kiến để nội dung chuyên đề được hoàn thiện hơn. Tôi 
xin chân thành cảm ơn. 
 Người viết chuyên đề 
 Đặng Thị Hồng Vân 
2. Định lý sin: 
 abc
 2R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) 
 sinABC sin sin
3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến: 
 Cho tam giác ABC, gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến 
 ứng với các cạnh a, b, c. Ta có: 
 bc22 a 2
 m 2 
 a 24
 acb22 2
 m 2 
 b 24
 ab222 c
 m 2 
 c 24
4. Công thức tính diện tích: 
 111
 . Sahbhch ... 
 222acb
 111
 . SabCacBbcA sin sin sin 
 222
 abc
 . S ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ) 
 4R
 abc 
 . Spr ( với p ; r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ) 
 2
 . Sppapbpc ()()() (công thức Hê rông) 
 = BEAE22 = AB2 (đpcm) 
 Bài 3: Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a, BC = 
4a, BDC 900 . Tính AB, CD và AC. 
 Giải 
 Vẽ DH  BC ( H BC) A D
 Ta có ADHB là hình chữ nhật, nên: 
 BH = AD = 3a
 AB = DH
 B H C 
 BCD vuông tại D, nên: 
 DHHBHCHBBCBH2 . 
 = 34aa 3 a 3 a2 
 DH = a 3 AB = DH = a 3 
 Ta lại có: CD22 CH..44 CB a a a CD = 2a 
 Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có: 
 AC = AB22 BC31619 a 22 a a 
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ các đường cao AH, BK. Chứng minh 
 11 1
rằng: 
 BK22 BC4 AH 2
 Giải 
 Trong tam giác vuông AHC, dựng đường cao HI A 
 Tam giác vuông BKC có: 
 HI// BK 1
 HI = BK (1) 
 HB HC 2
 111
 Ta lại có: 222 (2) 
 HI AH HC K 
 ( HI là đường cao của tam giác vuông AHC) 
 I
 111
 Từ (1) và (2) 
 BK22AH 2 BC
 B H C 
 44
 11 1
 BK22 BC4 AH 2
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là đường phân giác trong của 
góc Bˆ (D AC). Tính chu vi của tam giác trong mỗi trường hợp sau: 
 a) AD = 4, DC = 5 
 b) AD = 1, BD = 10 
 AB 2
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , có , đường cao AH = 6. Tính 
 AC 3
HB, AB và AC. 
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có chu vi bằng 36. Tiếp điểm của đường 
 2
tròn nội tiếp tam giác với cạnh huyền chia cạnh huyền làm hai đoạn theo tỉ số . 
 3
Tính độ dài các cạnh. 
Bài 4: Một tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính 37 và ngoại tiếp 
đường tròn đường kính 10. Tính các cạnh của tam giác này. 
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong của góc A chia 
 15 20
cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng và . Tính các cạnh góc 
 7 7
vuông và đường cao AH . 
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, từ A kẻ đường bất kỳ cắt BC và CD lần lượt tại E 
 111
và F. Chứng minh rằng: 
 AE222 AF AB
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh huyền BC. 
Chứng minh rằng: MBMCMA22 2 2. 
Bài 8: Cho tam giác ABC, có A, B, C là các góc nhọn. Gọi AA’là đường cao hạ 
từ A, H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC.. 
 AA'
 a) Chứng minh: tanB. tanC = 
 HA'
 b) Chứng minh: HG // BC tanB.tanC = 3 
 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a và Â = 
 a) Tính BC theo a và . 
 a.sin 
 b) Gọi r là bán kínnh đường tròn nội tiếp ABC . CM: r 
 2(1 sin )
 2
 Giải 
 a) BCABACABACA222 2..cos A 
 = aa22 2os ac 2 
 = 2(1cos)a2 
 b) Ta có: BC = 2BH = 2asin 
 2
 1
 Diện tích ABC là S = a2.sin 
 2
 B H C
 Mặt khác: S = p.r 
 1
 a2.sin 
 S
 Do đó: r = = 2 
 p aa 2.sin a
 2
 1
 a2.sin 
 a.sin 
 = 2 = (đpcm) 
 2(1sin)a 2(1 sin )
 2 2
Bài 2: Cho góc xOy 600 . Từ điểm M trong góc xOy , ta dựng MA  Ox và 
MB  Oy. Biết AB = 5. Tính OM. 
 Giải 
 Vì MA  Ox và MB  Oy y 
 Nên tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM 
 Do đó OAB nội tiếp đường tròn đường kính OM 
 Áp dụng định lý sin cho OAB, ta có: A 
 AB 510 M 
 0 OM OM 
 sin 60 33 5 
 0
 2 O 60
 B x
 bc b c b22 c 
 bc 
 r = 2 
 bcbc22 bc b22 c
 22
 bc b c b c 1
 = bc b22 c 
 22bc 
 c) Ta có: SSSABC ABM ACM 
 11 1
 b...sin60..sin30 c AB AM00 AC AM 
 22 2
 31
 bc... cAM bAM .. 
 22
 2.bc 3. c b AM 
 2bc
 AM (đpcm) 
 bc 3
Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 3, c = 2. Gọi M là trung điểm của AB. 
Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. 
 Giải 
 Xét tam giác ABC, ta có: A
 ba222 c 9164 23
 CM 2 = 
 24 242
 M
 23 46
 CM = 
 22
 acb222 16 4 9 11 B C
 Mặt khác cos B 
 21616ac
 O
 121
 sinBB 1 cos2 1 
 256
 135 3 15
 = 
 256 16
 Áp dụng định lý sin cho tam giác BCM, ta có: 
 Giải 
 a) Để tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán, điều kiện là: 
 1
 x 
 210x 2
 2 
 x 10 xhayx 11
 22 
 xx 32 x 1 x 1 x > 1 
 221xx2 x 1
 x hay x 1
 22 2
 x 21xx x 
 x 1
 Vậy: Khi x = 1 thì tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán. 
 b) Đặt a = x2 x 1 
 b = x2 1 
 c = 2x + 1 
 22222
 bca222 xxxx 121 1 
 Ta có: cosA = 
 2.bc 21.21 xx2 
 2
 221x32xx 211xx 1
 = = 
 21.21 xx2 22 xx 1 2 1 2
 Â = 1200. 
Bài 7: Cho tam giác ABC có cạnh a = 9, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC 
 2
tại D sao cho AD = DC, cosC = . 
 3
 a) Đặt AD = x. Tính b, c theo x. 
 b) Suy ra giá trị của b và c. 
 A
 Giải 
 a) Đường tròn tâm O nội tiếp ABC và tiếp xúc H
 x
 với cạnh BC tại D, nên: O
 abc 
 x = - c 
 2 C
 B x
 b – c = 2x – a D
 Tam giác CDH vuông tại H, có: 
 CH b b 2 4
 cosC = b = x (2) 
 CD2. x 2.x 3 3
 2
 Thay (2) vào (1), ta được c = 9 - x 
 3
 b) Áp dụng định lý côsin cho ABC, ta có: 
 222
 cab 2..cos abC 
 2
 216422
 9812.9.. x xx 
 3933
 416
 81 12x xxx22 81 16 
 99
 2 x 0
 12xx 36 0 
 x 3
 Vậy: b = 4 và c = 7. 
Bài 8: CMR với mọi tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện abc222 , 
 r
ta luôn có : 0, 4 0,5 trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, h là dộ dài 
 h
đường cao hạ xuống cạnh c. 
 Giải 
 11
 Diện tích của tam giác: S = ()..abcr ch 
 22
 rc
 habc 
 rc c
 Vì a + b > c, nên < 0,5(1) 
 h abc cc 
 cab222 
 Mặt khác: 
 22
 ab 2 ab
 222cababab22222 2 
 22cab222 ab 
 2()cab22 
 cab2