Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh cách sáng tạo một bài toán hình học tọa độ phẳng từ bài toán hình học sơ cấp

 MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài .....02
2. Mục đích nghiên cứu ..02
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ..02
4. Phương pháp nghiên cứu ....................03
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 04
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.05
3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã được sử dụng đề giải quyết vấn 
đề...06
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng 
 nghiệp và nhà trường...16
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận ...18
2. Kiến nghị .18
Tài liệu tham khảo, phụ lục.....19
 1 - Do bước đầu thực hiện đề tài nên đối tượng nghiên cứu chủ yếu là học sinh các 
 lớp do tôi phụ trách trong năm học 2015-2016 gồm: 10C2, 10C3, 12A1
 - Phạm vi của đề tài phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học 
 sinh trong môn hình học ở trường THPT Hoằng Hóa 2, Huyện Hoằng Hóa.
4. Phương pháp nghiên cứu
 - Nghiên cứu nội dung sách giáo viên và các tài liệu liên quan khác.
 - Phương pháp điều tra.
 - Phương pháp phân tích.
 - Phương pháp phỏng vấn, thống kê, phiếu học tập.
 - Quan sát tìm hiểu thực tế học tập của học sinh.
 3 + Với giáo viên: Việc liên hệ kiến thức hình học sơ cấp vào hình học tọa độ 
phẳng lớp 10 còn hạn chế, chưa lập ra kế hoạch bổ sung lại kiến thức cho các học 
sinh, một số giáo viên chưa tâm huyết trong giảng dạy.
 + Với học sinh: Đa số các em học sinh có kiến thức hình học sơ cấp còn yếu nên 
các em không hứng thú học phần này.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Khái quát phạm vi
 Đây là lần đầu tiên tôi nghiên cứu đề tài này nên mới chỉ áp dụng cho học sinh 
những lớp tôi dạy: 10C2. 10C3, 12A1.
2.2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
- Hiện nay trong chương trình giảng dạy môn toán chiếm thời lượng giảng dạy 4 
tiết trên tuần. Điều đó chứng tỏ môn Toán đóng vai trò hết sức to lớn trong việc phát 
triển trí tuệ và sự sáng tạo của học sinh. Cho nên là giáo viên giảng dạy môn Toán 
phải nghiên cứu, tìm tòi những phương pháp giảng dạy cho phù hợp thì mới nâng 
cao chất lượng môn học.
- Tuy nhiên một số giáo viên áp dụng phương pháp đổi mới giáo dục còn chậm và 
chưa khoa học. Việc kết nối kiến thức từ cấp 2 để giảng dạy còn hạn chế.
- Với học sinh thì đa số các em sợ khi học phần phương trình đường thẳng và 
phương trình đường tròn
- Để đánh giá một cách khách quan thực tế tham gia học tập ở một số phần học 
trong bộ môn Toán từ lớp 10 cho đến lớp 12 trong nhà trường của học sinh, tôi đã 
điều tra và phỏng vấn số lượng 130 học sinh, trong đó có 70 học sinh nam và 60 học 
sinh nữ để tìm hiểu thực trạng học tập của các em.
 Kết quả
 Nam (70) Nữ (60) Tổng cộng
STT Nội dung phỏng vấn
 SL % SL % SL %
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ 65 92,85 58 96,67 123 94,62
 đồ thị hàm số.
2 Hình học không gian lớp 11 33 47,14 24 40 57 43,85
3 Xác suất 45 64,29 43 71,67 88 67,69
4 Phương pháp tọa độ trong 18 25,71 13 21,67 31 23,84
 mặt phẳng
5 Số phức 55 78,57 43 71,67 98 75,38
6 Lượng giác 42 60 38 63,33 80 61,54
 5 Chứng minh: 
 A
 
 P
 K
 
 
 N F
 S  H 
 S 
  
 C I J
     B
 M E
 1
 Hình 1
 2
Gọi , , 3푃 là chân đường cao từ đỉnh , , .
 4
 , 퐹, 푆 là trung điểm cạnh , , 
 3
 là trực tâm3 tam giác và , 퐽, 퐾 là trung điểm các đoạn , , .
 e
 0
Dễ dàng chứngr minh được KFE = KSE = KME = KJE = KIE = 90
 r
Do ∆ APH là tam giác vuông tại 푃 có 퐾 là trung điểm của AH nên KAP = KPA
 1
Tương tự 1 EPB = EBP
 1
 0 0 0
 mà KAP +1 EBP = 90 ⇒KPA + EPB = 90 ⇒KPE = 90
Tương tự 퐾1 NE = 900. Vậy 9 điểm trên thuộc đường tròn đường kính 퐾 .
 1
Từ bài toán1 trên giáo viên gợi ý cho học sinh suy nghĩ theo chiều hướng ngược lại 
như sau: 1Nếu cho trước hai cạnh AB, AC và đường tròn ơle thì ta sẽ dựng được 
các điểm A,1 B, C, H hay không? Giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra cách dựng 
hình để tìm1 các điểm trên.
 1
Học sinh sử dụng kiến thức đã được học từ cấp 2 đưa ra các bước dựng: 
 - Tìm được điểm S, N là giao điểm của AC và đường tròn ơle
 - Từ đó tìm được điểm C do S là trung điểm của AC.
 7 Bài 1.2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho tam giác trọng tâm 
(1;2). Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân 
đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC là ( ): ( ― 3)2 + ( ― 2)2 = 25. Viết phương 
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Giải: 
 A
 F
 G
 S
 B
 M
 E
 C
 Hình 2
Gọi , 퐹, 푆, lần lượt là trung điểm của , , và hình chiếu của lên .
Theo bài toán về đường tròn ơle thì đường tròn ( ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 푆퐹. Gọi 푃(3;2) và 푄 lần lượt là tâm đường tròn (T) và đường tròn ngoại tiếp tam 
giác ABC.
Do là trọng tâm tam giác nên = ― 2 푆; = ― 2 퐹; = ― 2 
Do đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh , và chân đường cao hạ từ đỉnh 
 đến cạnh cũng đi qua trung điểm của nên
Xét phép vị tự tâm tỉ số vị tự là = ― 2 biến ba điểm 푆, 퐹, lần lượt thành ba 
điểm , , . Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ảnh của đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ESF qua phép vị tự tâm G , tỉ số vị tự bằng = ― 2
 푅 = 2푅 = 10 푅 = 10
Do đó ( ) ( 푆퐹) ⇔ ( )
 푄 = ―2 푃 푄( ― 3;2)
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác là
 ( + 3)2 + ( ― 2)2 = 100
 9 Vậy (2;2); ( ― 1;5); (4; ― 1).
 Ví dụ 2: Cho hình vuông , trên đoạn thẳng và lấy điểm và sao 
cho = . Chứng minh vuông góc với .
Giải: 
 A B
 I M
 D C
 N
 Hình 3
Gọi là giao điểm của và 
Dễ dàng chứng minh được ∆ = ∆ ⇒ = 
Mà + = 900⇒ + = 900⇒ ⊥ 
Dễ dàng nhận thấy nếu biết điểm A, điểm I, một ít dữ kiện điểm B ta sẽ dựng 
đuợc hình vuông ABCD. Từ đó ta có bài toán 2.1 
Bài toán 2.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông có ( ― 2;6) ; 
điểm thuộc đường thẳng ∆: ― 2 + 6 = 0 trên đoạn thẳng BC và CD lần lượt lấy 
 2 14
điểm M và điểm sao cho . Gọi I là giao điểm của và , biết . 
 = (5; 5 )
Tìm tọa độ điểm B, C, D.
Giải:
 12 16
Theo bài toán trên thì nên đường thẳng BN đi qua I và nhận 
 ⊥ ( 5 ; ― 5 )
Làm véc tơ pháp tuyến. phương trình BN là : 3 ― 4 + 10 = 0
 11 Do đó ⫽ .
Hoàn toàn tương tự cũng chứng minh được ⫽퐹 
Suy ra ba điểm , , 퐹 thẳng hàng. Gọi là giao điểm của và 
Theo bài toán số 6 thì ⊥ và ⊥ nên H là trực tâm tam giác 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 퐹 
Giáo viên phân tích bài toán trên:
- Ta có tam giác AEF vuông tại A, điểm C là chân đường phân giác trong góc A.
- Hai điểm B và D lần lượt là hình chiếu của điểm C lên AF, AE và tứ giác 
 ABCD là hình vuông.
Vậy nếu cho biết đường thẳng AH và đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD 
thì sẽ tìm được các điểm A, B, C, D, E, F.
Bài toán 2.2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác 퐹 vuông tại . là 
chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A, B và D lần lượt là hình chiếu của C lên 퐹 
và . Gọi là giao điểm của và 퐹, phương trình là 3 ― + 10 = 0, 
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác là : ( ): ( + 2)2 + ( ― 1)2 = 9, 
hoành độ của A là số nguyên và hoành độ của B dương. Tìm tọa độ điểm A, E, F.
Giải: (Sử dụng hình vẽ số 3)
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 
 = ―2 19
 3 ― + 10 = 0 = 3 + 10 ―
 ( + 2)2 + ( ― 1)2 = 9⇔ ( + 2)2 + (3 ― 9)2 = 9⇔ = 5 (푙)
 = 3 + 10
⇒ ( ― 2;4).
Do tứ giác là hình vuông nên đường tròn ngoại tiếp tam giác cũng ngoại 
tiếp tứ giác với là đường kính nên tâm ( ― 2;1) của (T) thuộc 
Phương trình : + 2 = 0. Điểm là giao điểm của với ( ). Nên ( ― 2; ― 2)
.Theo bài toán trên thì ⊥ 퐹 nên phương trình 퐹 : + 3 + 8 = 0.
 13 Xét tam giác vuông 퐹 2 thì 퐹 = 2 = 푅2 표푠훼⇒ = 2푅2 표푠훼
 0
Xét tam giác vuông 1 thì = 1 = 푅1cos(90 ― 훼) = 푅1푠푖푛훼
⇒ = 2푅1푠푖푛훼
 1
Do tam giác ABC vuông tại A nên 
 푆∆ = 2 . = 2푅1.푅2푠푖푛훼. 표푠훼 = 푅1.푅2푠푖푛
2훼 ≤ 푅1.푅2
 0
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 푅1.푅2 khi 훼 = 45 . Hay 1 ⊥ 1
Thay vì phải đi tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC giáo viên có thể hình 
thành cho học sinh cách tư duy ngược với đổi kết luận thành giả thiết để được 
một bài toán tương đương. Ví dụ: Có thể đưa diện tích tam giác ABC lớn nhất 
thành giả thiết và đi tìm điểm B, điểm C.
Bài toán 3.1: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn 
 2 2 2 2
( 1): ( ― 2) + ( ― 1) = 9; ( 2): ( + 1) + ( ― 5) = 4 tiếp xúc ngoài tại A. 
Điểm B thuộc đường tròn ( 1) và điểm C thuộc đường tròn ( 2) sao cho tam giác 
ABC vuông tại A và diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tìm tọa độ điểm B biết điểm 
B có hoành độ dương.
Giải:
Đường tròn ( 1) có tâm 1(2;1) bán kính 푅1 = 3
Đường tròn ( 1) có tâm 2( ― 1;5) bán kính 푅2 = 2
 1 17
Dễ dàng tìm được tọa độ 
 (5; 5 )
Theo bài toán trên thì diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 푅1.푅2 = 6
 0 0
Và đạt giá trị lớn nhất khi 푠푖푛2훼 = 1⇔훼 = 45 ⇒ 1 = 90 ⇒ 1 ⊥ 1 
 9 12 3
Khi đó phương trình 1 đi qua 1(2;1) và nhận véc tơ ; ― = (3; ― 4) 
 1 5 5 5
làm véc tơ pháp tuyến. phương trình I1B là :3 ― 4 ― 2 = 0
 15 - Về kiến thức: Học sinh được củng cố lại kiến thức hình học sơ cấp, biết phân tích 
đề bài từ đó chiếm lĩnh được kiến thức một cách nhanh chóng và chắc chắn.
- Về kĩ năng: Kĩ năng giải các bài toán cùng dạng được thuần tục, chính xác. Qua đó 
hình hành khả năng tư duy và thái độ học tập tốt hơn ở học sinh. Đồng thời học sinh 
vận dụng các kiên thức toán vào thực tiễn cuộc sống một cách dễ dàng và hiệu quả.
4.2 Đối với giáo viên, đồng nghiệp và nhà trường
- Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào các lớp tôi đang giảng dạy tôi nhận thấy 
học chất lượng giảng dạy của từng tiết học đã được nâng lên đáng kể, học sinh đã 
hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo hơn trong giờ học.
- Tạo cho học sinh sự thích thú khi các em tự “sáng tác” được một bài toán của riêng 
mình, cảm giác giống như mình là một tác giả hay một giáo viên làm cho học sinh 
thấy các em thông minh hơn. Từ đó kích thích sự tò mò sự cạnh tranh giữa các học 
sinh và ham muốn sáng tác ra nhiều bài toán hơn nữa. Làm cho tiết dạy học của giáo 
viên không còn nhàm chán và khô khan nữa.
- Thông qua các kì thi thử THPT trong trường THPT Hoằng Hóa tôi nhận thấy số 
lượng các em học sinh làm được bài toán hình học tọa độ phẳng tăng lên đáng kể. Từ 
đó thúc đẩy phong trào học tập của nhà trường đi lên. Tạo nên hiệu ứng kích thích 
học sinh đua nhau học tiến bộ hơn.
 17