Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy

 MỤC LỤC:
 Phần1 : MỞ ĐẦU Trang 1
 1.1. Lý do chọn đề tài Trang 1
 1.2. Mục đích nghiên cứu Trang 1
 1.3. Đối tương nhiên cứu Trang 1
 1.4. Phương pháp nghiên cứu Trang 1
 Phần 2 : NỘI DUNG
 2.1. Cơ sở lý luận Trang 2
 2.2. Thực trạng Trang 2
 2.3. Giải quyết vấn đề Trang 2
 2.4. Hiệu quả Sáng kiến Trang 19
Phần 3: KẾT LUẬN Trang 20
 1 PHẦN II: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
 Ở chương tình toán THCS học sinh đã được làm quen với hệ trục tọa độ Oxy 
trong mặt phẳng, đến lớp 10 cấp THPT học sinh được tiếp thu kiến thức một cách 
hoàn chỉnh. Để đảm bảo tính kế thừa các kiến thức đã học ở cấp THCS cũng như 
để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với 
đặc trưng bộ môn; bồi dưỡng năng lực tự học, tự rèn luyện; kỹ năng vận dụng 
kiến thức vào thực tiễn. Các bài toán về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng, Kỳ thi THPT Quốc gia và kỳ 
thi học sinh giỏi những năm gần đây thường ở mức độ vận dụng cao vì vậy đòi 
hỏi học sinh phải có năng lực tư duy và kỹ năng giải toán tương ứng từ đó yêu 
cầu giáo viên cũng phải có cách truyền thụ thích hợp.
2.2. Thực trạng 
 Qua thực tiễn giảng dạy và quá trình học tập của học sinh ở phần này, tôi nhận 
thấy khi giải các bài toán hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy học sinh thường 
không tự tin, đôi khi lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải 
bài toán như thế nào”. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa 
kỹ đã vội làm ngay, dẫn đến hiệu quả giải toán như thế là không cao. Đồng thời 
nhiều học sinh không chú ý đến bản chất hình học phẳng của bài toán; nên mặc 
dù làm nhiều bài toán hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy nhưng vẫn không 
nhớ, không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của các bài toán. 
 Với thực trạng ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải các 
bài toán hình học trong trong mặt phẳng toạ độ Oxy, theo tôi giáo viên cần tạo 
cho học sinh kỹ năng xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố 
đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải và quan trọng là chia dạng toán để 
học sinh có định hướng áp dụng khi tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho 
học sinh khả năng tư duy theo các các dạng toán là một điều cần thiết. Việc rèn 
luyện qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng tìm 
lời giải bài toán. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ nêu ra một số dạng toán 
của: “ Các bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy”.
 2.3 Giải quyết vấn đề
 Để giải các bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy thông thường ta 
 làm theo hai bước:
 Bước 1: Vẽ hình và khai thác các tính chất hình học phẳng có trong giả thiết 
của bài toán, trong hình vẽ trực quan, chú ý đến các tính chất đặc biệt của hình 
vuông .
 Bước 2: Sử dụng các công cụ toạ độ gồm: Toạ độ của điểm, toạ độ của véc tơ, 
các công thức tính góc, tính khoảng cách, phương trình đường thẳng, phương 
trình đường tròn,  để giải bài toán . 
Để thuận lợi cho quá trình học tập cũng như hệ thống hoá kiến thức của học sinh 
tôi chia các bài toán liên quan đến hình vuông trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy 
thành 5 dạng toán cơ bản như sau: 
 3 A B
 I
 D C
Bước 2: Do điểm I thuộc đường thẳng d ta có I(a;5-a) với a 0 , AI2 2a 2 6a 9 .
 7
 a (loai)
 5 2 2 25 2
Do AI 2a 6a 9 . 
 2 2 1
 a (tm)
 2
 1 1 9 
Với a ta có tọa độ tâm I ; , vi I trung điểm AC nên tọa độ đỉnh C 4;4 .
 2 2 2 
  
Đường thẳng vuông góc AI có n 7; 1 nên phương trình là : 7x y 1 0 . Vì 
điểm B thuộc : 7x y 1 0 nên B b;1 7b . Ta có 
 2 2
 1 9 25 b 1
 BI AI b 1 7b 
 2 2 2 b 0
Với b 0 B 0;1 do I trung điểm BD nên D 1;8 ;
Với b 1 B 1;8 và D 0;1 .
Vậy tọa độ các đỉnh B, C, D là: B 1;8 ,C 4;4 , D 0;1 hoặc B 0;1 ,C 4;4 , D 1;8 
Dạng 2. Sử dụng công thức tính độ dài, tính khoảng cách.
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung 
điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN=3NC. Viết phương 
trình đường thẳng CD biết M(1;2) và N(2;-1).
 Lời giải
Bước 1: 
 A M
 B
 N
 D I C
 Ta có MN 10 . Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD, 
 a 3AC 3a 2
 Ta có AM= và AN= theo định lý cosin ta có 
 2 4 4
 5a2 5a2
 MN 2 AM 2 AN 2 2AN.AM.cos M· AN 10 a 4
 8 Do đó 8
 5 x 2
 2 
 11 2 25 58
 x (y 3) x (loai) 5 
 Suy ra tọa độ E là nghiệm: 2 2 17 E 2; 
 2 
 19x 8y 18 0 5
 y 
 2
AC qua trung điểm I của EF và AC  EF AC: 7x y 29 0
Do P là giao điểm AC và EK toạ độ P là nghiệm của hệ phương trình : 
 10
 x 
 7x y 29 0 3 10 17 
 P ; 
 19 8y 18 0 17 3 3
 y 
 3
  9  
Ta xác định được: IC IP C(3;8) .Vậy toạ độ điểm C cần tìm là C(3 ;8)
 5
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm 
 N 1; 2 thoả mãn 2NB NC 0 và điểm M 3;6 thuộc đường thẳng chứa cạnh 
AD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống đường thẳng DN. Xác 
định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết khoảng cách từ điểm H đến cạnh 
 12 2
CD bằng và đỉnh A có hoành độ là một số nguyên lớn hơn -2.
 13
 Lời giải A .
 D M
Bước 1:
Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên CD E
 12 2 H
 HE 
 13
Giả sử cạnh hình vuông bằng a (a>0)
    2  B C
Ta có 2NB NC 0 CN CB N
 3
 2 2a a 13
nên N nằm giữa B và C sao cho CN CB . DN CD2 CN 2 
 3 3 3
 AD DH a 3 2a
Có ADH : DNC g.g DH 
 DN NC a 13 13 13
 3
 2a
 HE DH 13 6 13
 DHE : DNC g.g NC HE 2 2
 NC DN a 13 13 6
 3
 2a
 2 2 a 3 2
 3 
Bước 2: Giả sử véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AD là n a;b 
 Ta có phương trình đường thẳng AD: ax by 3a 6b 0
 2a 8b
 d N, AD 3 2 3 2 7a2 16ab 23b2 0
 a2 b2
 7 Bước 2: Do B thuộc đường thẳng BN ta có B(b; 8 - 2b) (b > 2)
 Với AB = 4 suy ra B(3; 2) Ta có phương trình đường thẳng AE: x + 1 = 0
Gọi E = AE  BN E(-1; 10) D(-1; 6) M(-1; 4). Gọi I là tâm của đường 
tròn ngoại tiếp tam giác BMK ta có I là trung điểm của BM, Suy ra I(1; 3) và 
 BM
 R 5 . 
 2
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 5.
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm 
M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BBC tại B và cắt BD 
tại N(6;2). Đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x-y-7=0. Tìm toạ độ các đỉnh của hình 
vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2.
 Lời giải
Bước 1: Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM thì I là trung điểm AM.
Ta có M· IN = sđ cung MN = 2M· BN 900 . Do đó tam giác MIN vuông cân tại I
 A
 B
 I
 M
 E
 H
 N
 D C
Bước 2: Do C thuộc đường thẳng d 2x-y-7=0 nên C(c;2c-7) 
 11 9
Gọi H là trung điểm của MN ta có H ( ; ) 
 2 2
Phương trình đường thẳng là đường trung trực của MN là x-5y+17=0 .
Do I thuộc ta có I( 5a-17; a).
 MN (1; 5) MN 26
 Ta có  
 IM (22 5a;7 a) IM (22 5a)2 (7 a)2
 2 a 5
Vì MIN vuông cân tại I và MN 26 IM 13 26a 234a 520 0 
 a 4
Với a=5 ta có I(8;5) suy ra A(11;9) ( loại). 
Với a=4 ta có I(3;4) suy ra A(1;1)
Gọi E là tâm hình vuông ta có E là trung điểm AC 
 c 1  11 c   
Nên E( ;c 3) EN ( ;5 c) . Do AC  BD AC.EN 0
 2 2
 c 7 
 11 c
 (c 1)( ) (2c 8)(5 c) 0 5c2 48c 91 0 13
 2 c (loai)
 5
 9 Bước 2: 
   5 7 11
Gọi N x;2x-9 ta có MN  DN MN.uDN 0 x 2 2x 9 0 x 
 2 2 2
 2
 11 2 45 5a
Suy ra, N ;2 , MN a 3 2 . 
 2 4 8
 AM 1
Do ·AMD ·AND và cos ·AMD .
 DM 5
Gọi vtpt của đường thẳng AN là n u;v ,u2 v2 0 
  
 2u v 1 2 u 0
Ta có cos n;nDN 3u 4uv 0 
 5 u2 v2 5 3u 4v
Với u 0 ta có phương trình của đường thẳng AN là y 2 0 
 2 2
 a 5 3 9 x 1 A 1;2 
Gọi tọa độ A x;2 vì AM x 
 2 2 2 2 x 4 A 4;2 
Với 3u 4v ta có ta có phương trình của đường thẳng AN là :
 11 28 4x 
 4 x 3 y 2 0 4x 3y 28 0 Gọi tọa độ A x; 
 2 3 
 14 14 28 
 2 2 x A ; 
 a 5 28 4x 7 9 5 5 5 
do AM x 
 2 2 3 2 2 23 23 16 
 x A ; 
 5 5 5 
 14 28 
Thử lại, ta có hai điểm thỏa mãn là A 1;2 và A ; 
 5 5 
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm 
 11 2 3 6
của AD và H ( ; ) là hình chiếu của B lên CE, M ( ; ) là trung điểm của BH. 
 5 5 5 5
Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A có hoành độ âm.
 Lời giải
Bước 1: 
 B
 C
 M
 H N
 F A E D
Gọi F là điểm đối xứng của E qua A. Ta có 
 BEF EBC F· BE B· EC BF / /EC
 11