Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ

 MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU..........................................................................................................2
 I. Lí do chọn đề tài ............................................................................................2
 II. Mục đích nghiên cứu...................................................................................2
 III. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................2
 IV. Phương pháp nghiên cứu...........................................................................3
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.................................................3
 I. Cơ sở lí luận...................................................................................................3
 II. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN.......................................4
 III. Các thí dụ minh họa...................................................................................5
 IV. Hiệu quả bước đầu của SKKN.................................................................18
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ......................................................................19
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................20
 1 IV. Phương pháp nghiên cứu
 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về phương trình, bất phương 
trình ở chương trình toán Trung học phổ thông.
 Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực học sinh trong vấn đề tiếp cận và 
giải các phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều 
kiện phụ.
 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học 
sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
 B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. Cơ sở lí luận
1. Định lí Vi-et cho phương trình bậc hai và ứng dụng
 Cho phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm (phân biệt hoặc 
 b
 S x x 
 1 2 a
không) x1, x2 , ta có: 
 c
 P x x 
 1 2 a
 2
 Điều kiện để phương trình ax bx c 0 a 0 có các nghiệm x1, x2 
thỏa mãn:
 c
 i) x 0 x P 0 
 1 2 a
 0
 ii) 0 x1 x2 P 0 
 S 0
 0
 iii) x1 x2 0 P 0
 S 0
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
 Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c a 0 có b2 4ac 
 3 rút a theo hàm số của biến x rồi sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên và suy ra 
kết quả. Nhưng, với các em học sinh lớp 10 thì chưa thể giải bằng cách này, vì 
nội dung ứng dụng đạo hàm xét chiều biến thiên của hàm số đến lớp 12 mới học.
 Thực tế trong học tập và giảng dạy môn toán lớp 10, có rất nhiều bài toán 
tương tự như bài toán nêu trên. Có một số tài liệu toán cũng có đưa ra một số ví 
dụ về các phương trình, bất phương trình chứa tham số có thể quy về phương 
trình, bất phương trình bậc hai chứa điều kiện phụ và giải nó không sử dụng 
định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai. Nội dung này đưa ra chưa thành hệ 
thống, khó cho học sinh học tập, hơn nữa, việc tìm tài liệu học tập liên quan đến 
vấn đề này tại khu vực trường THPT Tống Duy Tân là khó khăn.
 Thực tế đó đòi hỏi phải có một hệ thống các ví dụ cụ thể cho dạng toán 
này để học sinh và giáo viên có điều kiện học tập và giảng dạy chủ đề phương 
trình, bất phương trình chứa tham số ở lớp 10 được tốt hơn.
III. Các thí dụ minh họa
Thí dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 2m x 3 m2 1 0 
Phân tích: 
 Đặt x 3 t, khi đó ta có phương trình: t 2 2mt m2 2 0. Ta thấy, 
với t 0, ta tìm được nghiệm x của phương trình đã cho. Do đó bài toán trở 
thành: Tìm m để phương trình t 2 2mt m2 2 0 có nghiệm t 0.
 Ta có hai lời giải cho bài toán này như sau:
Lời giải 1: 
 Xét bài toán ngược: Tìm m để phương trình t 2 2mt m2 2 0 1 
không có nghiệm t 0.
 Trường hợp 1: Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi 
 ' 2 m2 1 0 1 m 1 
 Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm t1,t2 và t1 t2 0 . Điều 
kiện cho trường hợp này là:
 5 Phân tích: 
 Ta có: 
 2 2x2 2 a 4 x 5a 10 x 3
 x 3
 2 2
 2x 2 a 4 x 5a 10 x 3 
 x 3
 2
 x 2 a 1 x 5a 1 0 2.1 
 Đến đây, bài toán trở thành: Tìm a để phương trình (2.1) có nghiệm x 3 
 Ta có hai lời giải sau:
Lời giải 1: 
 Ta tìm a để phương trình (2.1) không có nghiệm x 3. Có hai trường 
hợp:
 Trường hợp 1: Phương trình (2.1) vô nghiệm, điều này xảy ra khi và chỉ 
khi ' a 1 2 5a 1 0 a2 3a 0 0 a 3 
 Trường hợp 2: Phương trình (2.1) có hai nghiệm x1, x2 và x1 x2 3. 
Điều kiện này là:
 ' 0 ' 0
 x1 3 x2 3 0 x1x2 3 x1 x2 9 0 
 x x 6 0
 x1 3 x2 3 0 1 2
 a2 3a 0 a ;0 3; 
 5a 1 3.2 a 1 9 0 a 4 a 0
 a 2
 2 a 1 6 0 
 Kết hợp hai trường trên trên, ta có điều kiện để phương trình (2.1) không 
có nghiệm x 3 là a 3 
 Do đó, điều kiện để phương trình (2.1) có nghiệm x 3 là a 3. 
 7 Ta có: m 2 2 4 m2 1 3m2 4m 
 Xét 3 trường hợp:
 m 0
 2
 Trường hợp 1: 0 3m 4m 0 4 . Khi đó f x 0, 
 m 
 3
 4
x R nên f x 0 với mọi x 1. Do đó m 0 hoặc m thỏa mãn.
 3
 m 0
 2
 Trường hợp 2: 0 3m 4m 0 4 . Khi đó f x 0, 
 m 
 3
 b m 2
x .
 2a 2
 • Nếu m 0, thì f x 0,x 1. Vậy f x 0 với mọi x 1, suy ra 
 m 0 thỏa mãn.
 4 5 5
 • Nếu m , thì f x 0,x . Do đó x 1 không là nghiệm 
 3 3 3
 4
 của f x 0, suy ra m không thỏa mãn.
 3
 4
 Trường hợp 3: 0 3m2 4m 0 0 m . Khi đó f x 0 có 
 3
hai nghiệm x1 x2. Nên f x 0 x x1 hoặc x x2 .
 Đến đây, ta tìm điều kiện để f x 0 có hai nghiệm x1 x2 1 
 Ta có:
 x1 1 0 x1 1 x2 1 0
 x1 x2 1 
 x 1 0
 2 x1 1 x2 1 0
 m 2 2
 x1 x2 2 
 x x x .x 1 m 2 m2 1 1
 1 2 1 2 
 9 • Từ định lí dấu của tam thức bậc hai, ta suy ra (I) có nghiệm nếu 
 2 2
 f x x 2x m m 1 0 có hai nghiệm x1 x2 và m x2 . Do đó 
 2
 m m 0 1
 (I) có nghiệm khi và chỉ khi: 1 m . 
 2
 m 1 m m 2
 • Tương tự, (II) có nghiệm nếu g x x2 2x m2 5m 1 0 có hai 
 nghiệm x1 x2 và x1 m . Do đó (II) có nghiệm khi và chỉ khi: 
 2
 m 5m 0 1
 1 m 
 2
 1 m 5m m 2
 1
 Vậy, bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 
 2
NHẬN XÉT:
 1) Để tìm điều kiện tam thức bậc hai f x ax2 bx c a 0 có nghiệm 
 x ta có thể làm theo hai cách:
 Cách 1. Ta giải bài toán ngược lại là: Tìm điều kiện để tam thức 
 f x ax2 bx c a 0 không có nghiệm x , sau đó kết quả của 
 bài toán ban đầu là phần bù của kết quả của bài toán ngược trong ¡ .
 Cách 2. Ta đặt điều kiện để tam thức có hai nghiệm x1, x2 và x1 x2 , khi 
 đó f x có nghiệm x cần thêm điều kiện x2 .
 2) Tương tự, để tìm điều kiện tam thức bậc hai f x ax2 bx c a 0 có 
 nghiệm x ta có thể làm theo hai cách:
 Cách 1. Ta giải bài toán ngược lại là: Tìm điều kiện để tam thức 
 f x ax2 bx c a 0 không có nghiệm x , sau đó kết quả của 
 bài toán ban đầu là phần bù của kết quả của bài toán ngược trong ¡ .
 Cách 2. Ta đặt điều kiện để tam thức có hai nghiệm x1, x2 và x1 x2 , khi 
 đó f x có nghiệm x cần thêm điều kiện x1 .
Thí dụ 5: Tìm m để mọi x  4;6 là nghiệm của bất phương trình: 
 4 x 6 x x2 2x m 5 
 11 Bởi vậy, (5a) đúng với mọi t 0;5khi và chỉ khi:
 1 4m 97
 t1 0
 2 4m 97 0
 m 6
 1 4m 97 4m 97 11
 t 5 
 2 2
 Vậy, giá trị cần tìm là m 6.
 Chú ý: Ta có thể tìm m để (5a) đúng với mọi t 0;5bằng phương pháp 
hàm số như sau: Xét hàm số f t t 2 t 24 m , ta có bảng biến thiên sau:
 1
 t 0 5 
 2
 f t 
 Từ bảng biến thiên suy ra (5a) đúng với mọi t 0;5 khi và chỉ khi 
 f 5 0 6 m 0 m 6 
 2
 3x 4mx 4 0
Thí dụ 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
 x 1
Lời giải: 
 f x 3x2 4mx 4 0
 Ta tìm điều kiện để hệ sau vô nghiệm: 
 1 x 1
 c 4
 Vì với mọi m thì f x luôn có hai nghiệm trái dấu (do 0) nên 
 a 3
hệ trên vô nghiệm khi và chỉ khi hai nghiệm x1, x2 của f x thỏa mãn điều kiện 
 x1 1 1 x2 
 2m 4m2 12 2m 4m2 12
 Ta có: x ; x , do đó:
 1 2 2 2
 13