Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh hệ thống & chủ động trong việc giải các bài toán tam giác lượng

 Tên đề tài: HƯỚNG DẪN 
 HỌC SINH CÁCH HỆ THỐNG, CHỦ ĐỘNG TRONG VIỆC 
 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TAM GIÁC LƯỢNG
1.MỞ ĐẦU 
1.1.Lí do chọn đề tài:
 Trong công tác giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT và thực tế trong hoạt 
động dạy và học của học sinh trong nhà trường, quá trình tìm tòi đúc kết chọn ra 
các bài toán “gốc” , từ đó phát triển lên hệ thống bài tập theo hướng bài toán 
“gốc” .Qua đó giúp người dạy định hướng được phương pháp giải cụ thể lô gic, 
người học rễ tiếp thu và có cơ hội sáng tạo của bản thân xây dựng bổ sung lớp 
các bài toán trên cơ sở bài toán gốc, đó cũng là đổi mới phương pháp dạy và học 
trong trường THPT.
 Trong quá trình học lượng giác , phần tam giác lượng học sinh thường gặp 
khó khăn trong việc hệ thống kiến thức và chủ động giải cá bài toán tam giác 
lượng
Với nội dung đề tài này, tôi đề cập đến vấn đề : Hướng dẫn học sinh chọn một 
số bài toán làm “gốc” để sử dụng chúng để “khai triển “ nên hệ thống các bài 
tập, trên cơ sở là các ước lượng đối xứng trong tam giác.
 Vì vậy tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh hệ thống & chủ động 
trong việc giải các bài toán tam giác lượng”
1.2.Mục đích nghiên cứu:
+ Trao đổi với đồng nghiệp trên cơ sở vận dụng ước lượng đối xứng trong tam 
giác lượng, chọn được các bài toán “gốc” ,hệ thống thành các dạng bài tập giảng 
dạy cho học sinh. 
+ Hướng dẫn học sinh giải được các bài tập dựa trên cơ sở suy luận từ bài toán 
“gốc”, và tư duy từ bài toán “gốc” chủ động phát triển thành chuỗi các bài tập 
cùng dạng, cùng cơ sở lí luận, tự tin trong học bộ môn toán.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Hệ thức lượng trong tam giác.
- Nội dung phần hệ thức lượng trong tam giác trong chương trình SGK. 
- Một số bài toán liên quan trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - TCCN.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp: 
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
 1 +S = 
 1 1 abc
 ah bc.sin A 2R 2 .sin A.sin B.sin C pr ( p a)r p( p a)( p b)( p c)
 2 a 2 4R a
(Bảy công thức tính diện tích là “cầu nối “ thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố 
trong tam giác với nhau.)
2.1.3. Các hệ thức cơ bản:
 A B C
1) sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 
 2 2 2
2) sin2A + sin2B + sin2C = 4sin2A.sin2B .sin2C
3) sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) = (-1)n+14sin(nA).sin(nB).sin(nC)
 A B C
4) cosA+ cosB +cosC = 1+ 4sin sin sin
 2 2 2
 A B B C C A
5) tan tan tan tan tan tan 1
 2 2 2 2 2 2
6) tanA +tanB +tanC = tanA tanB tanC
 A B C A B C
7) cot + cot + cot = cot cot cot
 2 2 2 2 2 2
8) cotA.cotB +cotB.cotC + cotC.cotA = 1
2.1.4.Bất đẳng thức
-Bất đẳng thức Côsi:
 a b
 ab với a, b 0
 2
 a1 a2 ... an
 n a .a ...a với a1,a2,...,an 0
 n 1 2 n
-Bất đẳng thức Bunhiaôpxki:
 2 2 2 2 2
 a1b1 a2b2 a1 a2 b1 b2 
 2 2 2 2 2 2 2
 a1b1 a2b2 ... anbn a1 a2 .. an b1 b2 ... bn 
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 Học sinh trong nhà trường phần lớn là học sinh có học lực trung bình, tỉ 
lệ học sinh có học lực khá giỏi là không nhiều. Nhiệm vụ của tổ nhóm chuyên 
môn phải tổ chức đánh giá xếp loại năng lực học sinh ,nhóm chuyên môn phải 
xây dựng kế hoạch bồi dưỡng phụ đạo theo nhóm học sinh có học lực khác 
nhau.
 Trong các buổi thảo luận về chuyên môn xây dựng phương pháp dạy học 
cho nhóm đối tượng học sinh khá giỏi, đã có nhiều ý kiến trao đổi giảng dạy cho 
học sinh phần kiến thức tam giác lượng , đây là nội dung khó đối với học sinh 
trong nhà trường và cũng không đơn giản đối với giáo viên.
 Năm học : 2015- 2016 tôi thử nghiệm trên nhóm đối tượng học sinh
có học lực khá giỏi.
 Năm học : 2016- 2017 tôi thử nghiệm trên nhóm đối tượng học sinh
 3 3 3 sin 2 A sin 2 B sin 2 C 9 / 4
Vậy T Dấu “=” xảy ra ABC đều
 2 2 2
 8 sin A sin B sin C
 3 3
Kết luận: MaxT = ABC đều
 8
Bài 2: Cho tam giác ABC với T = sinA + sinB + sinC . Tìm MaxT ?
 3 3
(Hoặc: + CMR: sinA + sinB + sinC 
 2
 3 3
 +CMR: ABC đều sinA + sinB + sinC 
 2
 +CMR: Trong các tam giác vuông cùng nội tiếp một đường tròn bán 
kính R thì tam giác đều có chu vi lớn nhất.Vì 2p = 2R(sinA + sinB + sinC ) [3]
Nhận xét: 
 0 0 
Xét (sinA + sinB + sinC)2 3(sin2A +sin2B +sin2C) (BĐT Bunhiacôpxki)
 9 27
 3. =
 4 4
 sin 2 A sin 2 B sin 2 C 9 / 4
 3 3 
Vậy T Dấu “=” xảy ra sin A sin B sin C ABC đều
 2 
 1 1 1
 3 3
 MaxT ABC đều
 2
Bài 3: Cho tam giác ABC với T = 1 . Tìm MinT ?
 sin A.sin B.sin C
 1 1 1
Bài 4: Cho tam giác ABC với T= Tìm MinT ?
 sin A sin B sin C
 1 1 1
Bài 5: Cho tam giác ABC với T = Tìm MinT ?
 sin 2 A sin 2 B sin 2 C
 1 1 1
Bài 6: Cho tam giác ABC với T = (1 )(1 )(1 ) Tìm MinT ?
 sin A sin B sin C
Bài7: Cho tam giác ABC với T = cot2A + cot2B + cot2C Tìm MinT ?
Bài 8: Cho tam giác ABC với T = (1+sinA)(1+sinB)(1+sinC ) 
 Tìm MaxT ?
Bài 9: Cho tam giác ABC với T = (1+sin2A)(1+sin2B)(1+sin2C ) 
 Tìm MaxT ?
Bài 10: Cho tam giác ABC , T = sin2A + sin2B + sin2C. Tìm MaxT ?
Bài 11: Cho tam giác ABC 
 CMR : sin2A +sin2B +sin2C 2 3 .sinA.sinB.sinC 
 Hay CMR: a2+ b2 +c2 4S 3 ( ABC)
 ab +bc +ca 4S 3 ( ABC) [6]
HD :Bài 7:
 5 cos 2 (A B) 1
dấu “=” xảy ra 1 ABC đều
 cosC cos(A B) 0
 2
Từ kết quả bài toán này ta ta có thể giải được hệ thống các bài tập sau:
Bài toán: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
 3
1) cosA+ cosB +cosC [1]
 2
 3
 2) cos 2 A+ cos 2 B +cos 2 C [2]
 4
3) cos 2 A+ cos 2 B +cos 2 C 6. cosA.cosB.cosC
 1
4) (1- cosA)(1- cosB)(1- cosC) 
 8
 1 1 1
5) (1 )(1 )(1 ) 27 , với ABC nhọn.
 cos A cos B cosC
 1 1 1
6) 6 , với ABC nhọn.
 cos A cos B cosC
 A B B C C A 3
7) sin sin +sin sin sin sin 
 2 2 2 2 2 2 4
 A B C 3
8) sin 2 sin 2 sin 2 
 2 2 2 4
 1 1 1
9) 12
 sin 2 A sin 2 B sin 2 C
 A B C A B C
10) sin 2 sin 2 sin 2 6 sin .sin .sin [4]
 2 2 2 2 2 2
 A B C 1
11) sin .sin .sin [4]
 2 2 2 8
 A B C 3
12) sin sin sin [4]
 2 2 2 2
 1 1 1
13) 6
 A B C
 sin sin sin
 2 2 2
 A B C 3 3
14) cos cos cos 
 2 2 2 2
 A B C 3 3
15) cos .cos .cos 
 2 2 2 8
 1 1 1
16) 2 3
 A B C
 cos cos cos
 2 2 2
 A B C 9
17) cos 2 cos 2 cos 2 
 2 2 2 4
 1 1 1
18) 4
 A B C
 cos 2 cos 2 cos 2
 2 2 2
 7 A B C
*) cos A.cos B.cosC sin .sin .sin
 2 2 2
 A B C
*) cot cot cot tan A.tan B.tan C
 2 2 2
8) cos A cos B cosC 2( cos A.cos B.+ cos B.cosC.+ cosC.cos A).[5]
 A B C
9) cos A cos B cosC sin sin sin ABC đều
 2 2 2
 tan A tan B A B
10) tan
 2 2
 A B C
11)  ABC nhọn có : tan A tan B tan C cot cot cot thì ABC 
 2 2 2
đều
Hướng dẫn giải 10) Ta có:
tan A tan B sin(A B) sin C sin C
 2 2.cos A.cos B cos(A B) cos(A B) 1 cos(A B)
 C C
 2sin cos
 sin C sin C A B
 2 2 tan (ĐPCM )
 1 cosC 2 C 2 C 2
 2sin 2sin
 2 2
( Có thể biến đổi tương đương hoặc sử dụng tính chất hàm số lồi)
Hướng dẫn giải 11)
Ta có: tan A tan B 24 tan A.tan B .
 A B
Mặt khác: tan A.tan B tan 2 (*)
 2
Vì (*)
 A B A B
 sin A.sin B.cos 2 cos A.cos B.sin 2
 2 2
 1 1 cos(A B) 1 1 cos(A B) 
 cos(A B) cos(A B). cos(A B) cos(A B)
 2 2 2 2 
 2cos(A B).cos(A B) 2cos(A B) 0
 2cos(A B).cosC 2cosC 0
 2cosC1 cos(A B) 0(**)
 ( ABC nhọn ,(**) hiển nhiên đúng)
 A B A B C
Suy ra: tan A tan B 24 tan A.tan B 24 tan 2 2 tan 2 cot ;
 2 2 2
 ABC nhọn.
 A B C
Vậy tan A tan B tan C cot cot cot (ĐPCM)
 2 2 2
 9 A B A B
tan 6 tan 6 tan 6 300 tan 6 300 tan 6 300 tan 6 300 6 tan tan tan 4 300 . . 
 2 2 2 2
 A B 2 A B
 tan 6 tan 6 4 tan 6 300 tan tan
 2 2 3 2 2
 6
 6 A 6 B 1 2 A B
 tan tan 4 tan tan
 2 2 3 3 2 2
 6
 6 B 6 C 1 2 B C
Tương tự: tan tan 4 tan tan
 2 2 3 3 2 2
 6
 6 C 6 A 1 2 C A
 tan tan 4 tan tan
 2 2 3 3 2 2
 A B C 2 4 1
tan 6 tan 6 tan 6 (ĐPCM)
 2 2 2 3 9 9
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
 A B C 1
5) tan 3 tan 3 tan 3 ( Cộng thêm vào vế trái tan3300)
 2 2 2 3
 A B C 2
6) tan 5 tan 5 tan 5 ( Cộng thêm vào vế trái tan5300)
 2 2 2 3 3
7) tan A tan B tan C tan A.tan B.tan C
8) tan A tan B tan C 3 3 ( Hoặc tan A.tan B.tan C 3 3 )
 1
9) cot A cot B cot C ; ABC nhọn. [1]
 3 3
10) tan 2 A tan 2 B tan 2 C 9
11) tan A.tan B. tan B tan C tan C tan A 9
Bài toán gốc5 :
Sử dụng các ước lượng đối xứng trong tam giác mà có thể dùng một số bài 
toán “gốc” và phương pháp đại số.
1)CMR:  ABC không tù ta luôn có: (1 cos A)(1 cos B)(1 cosC) 2 
 A B C
2)CMR:  ABC ta có: cos cos cos 2
 2 2 2
 A 3B B 3C C 3A
3)CMR:  ABC ta có: sin A.sin Bsin C sin sin sin
 4 4 4
 A B C A B C
4)CMR:  ABC ta có: cot cot cot 3(tan tan .tan )
 2 2 2 2 2 2
5)CMR:  ABC nhọn ta có: (sin A) 2sin B (sin B) 2sin C (sin C) 2sin A 2
 A B C
 cos cos cos
6)CMR:  ABC ta có: 2 2 2 2
 A B C
 sin sin sin
 2 2 2
 11