Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khai thác tính chất hình học để giải bài toán về tam giác trong hình học tọa độ phẳng

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 
 ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC 
 TỌA ĐỘ PHẲNG.
 Người thực hiện: Dương Thị Thu
 Chức vụ: Giáo Viên
 SKKN thuộc môn: Toán 
 THANH HÓA NĂM 2016
 I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
 Trong chương trình toán lớp 10 học sinh được học về phương pháp tọa độ trong 
mặt phẳng và bước đầu biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải một số bài tập 
trong sách giáo khoa như lập phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, 
đường elipvà các bài toán về góc, khoảng cách. Bài toán tọa độ trong mặt phẳng 
luôn xuất hiện trong đề thi đại học các năm trước và đề thi THPT quốc gia hai năm 
gần đây. Tuy nhiên bài toán này trong đề thi THPT quốc gia ngày càng nâng dần 
mức độ khó, đòi hỏi học sinh phải định hướng tốt, tư duy tìm được điểm “mấu 
chốt” của bài toán. 
 Chủ đề về tam giác là chủ đề rộng được khai thác rất nhiều trong các đề thi. Để 
giải quyết tốt được bài toán về tam giác nói riêng và bài toán tọa độ phẳng nói 
chung đòi hỏi học sinh phải nắm vững tính chất hình học và khai thác tốt tính chất 
hình học đó. Trong nhiều bài toán các em còn phải mày mò tìm ra được tính chất 
hình học ẩn trong bài toán- đó là điểm “mấu chốt” để giải quyết bài toán. Trong 
quá trình ôn tập và thi THPT quốc gia rất nhiều học sinh lúng túng không giải được 
bài toán này. Vì vậy tôi chọn đề tài : “Hướng dẫn học sinh khai thác tính chất hình 
học để giải bài toán về tam giác trong hình học tọa độ phẳng ”. 
2. Mục đích nghiên cứu:
 Trên cơ sở nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh khai thác tính chất hình học 
để giải bài toán về tam giác trong hình học tọa độ phẳng ” cùng quá trình ôn luyện 
cho học sinh, tôi mong muốn giúp học sinh định hướng và khai thác tốt tính chất 
hình học cũng như tìm được tính chất hình học ẩn trong bài toán để giải quyết được 
bài toán về tam giác, từ đó các em có thể giải quyết được các bài toán tọa độ phẳng 
nói chung, giúp các em có thể đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia và nâng 
cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán.
3. Đối tượng nghiên cứu:
 Cách định hướng khai thác tính chất hình học của tam giác để giải bài toán về 
tam giác trong hình học tọa độ phẳng Oxy.
4. Phương pháp nghiên cứu: 
 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
 II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận:
 Hình học phẳng được xây dựng từ các đối tượng như điểm, đường thẳng, tam 
giác, tứ giác, đường tròn Từ lớp 7 các em đã được học về các tam giác đặc biệt, 
các đường trong tam giác và tính chất của chúng. Bài toán tọa độ trong mặt phẳng 
 2 • Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC 
biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường 
phân giác trong của góc A có phương trình : x-y+2=0 và đường cao kẻ từ B có 
phương trình: 4x+3y-1=0.
 • Định hướng: C
 Ta biết phương trình đường phân giác trong góc A và
 tọa độ điểm H thuộc cạnh AB nên có thể tìm được tọa K
 D
 ’ ’
 độ điểm H đối xứng với H qua phân giác AD và H H'
thuộc AC. Khi đó ta lập được phương trình cạnh AC I
đi qua H’ và vuông góc với BK nên tìm được tọa độ 
 B
điểm A. Từ đó tìm được tọa độ điểm C. A H
 • Lời giải:
Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua phân giác AD.
PT đường thẳng HH’ đi qua H và vuông góc với AD là: x+y+2=0.
Tọa độ trung điểm I của HH’ là nghiệm của hệ:
 x y 2 0 '
 I( 2;0) H ( 3;1)
 x y 2 0
Đường thẳng AC đi qua H’ và vuông góc với BK nên có PT: 3x-4y+13=0.
 3x 4y 13 0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: A(5;7) .
 x y 2 0
 3a 13
Điểm C thuộc AC nên C(a; ) . 
 4
 3a 17 10 10 3
Ta có : HC.HA 0 6(a 1) 8. 0 a => C( ; ) .
 4 3 3 4
 10 3
Vậy C( ; ) .
 3 4
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), đường phân 
giác trong góc A có PT: x-y-1=0, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(
 3
 2; ) . Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích 
 2
tam giác IBC.
 • Định hướng:
Trong bài toán này vẫn cho phương trình đường phân giác trong góc A nhưng 
không biết điểm nằm trên hai cạnh AB hoặc AC (khác điểm A), vậy sử dụng giả 
thiết phương trình đường phân giác trong như thế nào? Kéo dài phân giác trong góc 
A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D ta có D là điểm 
 4 • Lời giải:
Đường phân giác ngoài góc B đi qua J và vuông góc với (d2): x+y+7=0 nên có 
phương trình: 
 x y 1 0 .
 x y 1 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: B( 3; 4)
 x y 7 0
 1 5 5
Đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I( ;1) và có bán kính R IB 
 2 2
 1 125
Phương trình đường tròn (I) : (x ) 2 (y 1) 2 
 2 4
 x 2
 A(2;6)
Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ: 1 2 2 125 
 (x ) (y 1) A(2; 4)
 2 4
*) Với A(2;6): Gọi A ’ là giao điểm của đường phân giác trong góc A với đường 
  
 5
tròn(I). Ta có A’(2;-4) IA' ( ; 5). Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc 
 2
với IA’ nên có phương trình x-2y-5=0
 x 2y 5 0
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 1 125 C(5;0) .
 (x ) 2 (y 1) 2 
 2 4
*) Với A(2;-4) A’(2;6) phương trình BC: x+2y+11=0 
 C(-3;-4) (loại vì C  B ).
Vậy A(2;6); B(-3;-4); C(5;0). 
 • Nhận xét:
Với ba ví dụ trên ta hoàn toàn sử dụng tính chất hình học có sẵn trong bài toán là 
đường phân giác trong của tam giác.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm H(5;5) 
là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Đường phân giác trong góc A của tam giác 
ABC thuộc đường thẳng d: x-7y+20=0. Đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam 
giác ABC đi qua K(-10;5). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết điểm B có tung độ 
dương.
 • Định hướng: 
 Bài toán cho biết đường phân giác trong góc A của ABC nhưng không biết điểm 
thuộc cạnh AB, AC mà biết điểm H là chân đường vuông góc kẻ từ A lên BC và 
đường trung tuyến AM đi qua điểm K. Vậy ba giả thiết này có mối liên hệ gì với 
nhau? Từ giả thiết ABC vuông tại A ta chứng minh được đường phân giác trong 
 6 Để giải bài toán này ta cần chỉ ra được tính chất hình học ẩn trong bài toán đó là: 
AD là đường phân giác trong góc H· AK .
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Các điểm E,F lần lượt 
thuộc các cạnh AB, AC sao cho BE=CF. Trung điểm BE và CF lần lượt là M,N. 
Viết phương trình đường thẳng AC biết A(1;1); B(5;3) và phương trình đường 
thẳng MN là 2x+2y-19=0.
 • Định hướng: 
 Trong bài toán này các giải thiết của bài toán không liên quan tới đường phân giác 
trong mà cho biết tọa độ điểm A,B và phương trình đường thẳng MN. Một tư duy 
tự nhiên ta nghĩ tới các đường thẳng qua A hoặc B và vuông góc với MN. Vẽ 
đường thẳng d qua A và vuông góc với MN. Bằng trực quan ta thấy d có thể là 
đường phân giác trong góc A. Khi đó điểm B’ đối xứng với B qua d sẽ thuộc AC. 
Bài toán lúc này giải quyết được. Vấn đề là làm thế nào chứng minh được d là phân 
giác trong góc A. Bài toán có các yếu tố đoạn thẳng bằng nhau BE=CF và các 
trung điểm M, N của BF và CE. Hãy tìm mối liên hệ giữa các yếu tố này? Nếu gọi I 
là trung điểm của EF ta hoàn toàn chứng minh được IMN cân, từ đó suy ra đường 
thẳng IK qua I vuông góc với MN là đường phân giác trong góc M· IN . Mà 
 M· IN B· AC và d PIK d là phân giác trong góc A. 
 • Lời giải: 
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của EF và MN. 
 A
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với MN. 
 1 1
Ta có: MI BE; NI CF . E I
 2 2 F
 N
Mà BE=CF MI=NI IMN cân M
 K B'
 IK  MN và IK là đường phân giác trong
 B J C
góc M· IN d PIK . d
Mặt khác : IM P AB; IN P AC M· IN B· AC .
 d là phân giác trong góc B· AC .
Đường thẳng d qua A(1;1) và vuông góc với MN: 2x+2y-19=0 nên có phương 
trình : x-y=0.
Đường thẳng qua B(5;3) và vuông góc d có phương trình : x+y-8=0
Tọa độ giao điểm J của d và là nghiệm của hệ:
 x y 0
 J (4;4)
 x y 8 0
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d thì B’ thuộc AC.
J là trung điểm BB’ B’(3;5).
  
Đường thẳng AC đi qua hai điểm A(1;1); B’(3;5) nên có VTCP u AB' (2;4).
 8 Đường thẳng AB đi qua hai điểm B(-3;-4) và C’(-1;-6) nên có phương trình:
 x+y+7=0
Đường thẳng IH đi qua H(2;1) và vuông góc với HC nên có phương trình:
 x+y-3=0
 y 4 0
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: I(7; 4) .
 x y 3 0
Gọi n (a;b) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AC ( với a2 b2 0).
Đường thẳng AC đi qua C(-1;-2) có phương trình: 
 a(x 1) b( y 2) 0 ax by a 2b 0
Ta có:
 7a 4b a 2b
 d(I; AC) IH 5 2
 a2 b2
 2 2 a b
 14a 32ab 46b 0 
 7a 23b
*) Với a b chọn b= -1 thì a=1 phương trình AC: x-y-1=0 (loại vì AC  BC)
*) Với 7a 23b chọn b=7 thì a=23 phương trình AC: 23x+7y+37=0.
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
 23x 7y 37 0 3 31
 A( ; )
 x y 7 0 4 4
 3 31
Vậy A( ; ); B( 3; 4) .
 4 4
 • Nhận xét: 
Để giải bài toán này ta cần tìm được tính chất hình học ẩn trong bài là BK vuông 
góc với KC và sử dụng tính chất điểm đối xứng qua đường phân giác trong .
b. Sử dụng tính chất đường cao của tam giác:
 • Kiến thức liên quan tới đường cao tam giác:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I); A
H là trực tâm ABC . Gọi E,F lần lượt là 
chân đường cao hạ từ B và C; M là trung E
 t
điểm cạnh BC. I
Nhận xét 1: AH 2IM F H
Nhận xét 2: IA  EF P
Nhận xét 3: Gọi K là giao điểm thứ hai của B M C
AH với đường tròn (I) .Khi đó K đối xứng K D
 với H qua đường thẳng BC và đường tròn 
 10