Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đường thẳng trong tam giác

 1. MỞ ĐẦU
 - Lí do chọn đề tài.
 Từ đề thi đại học của các năm gần đây cho thấy rằng bài toán phương pháp 
tọa độ trong mặt phẳng là một nội dung khó lấy điểm đối với học sinh đồng thời 
cũng là nội dung khó để giáo viên có thể giảng dạy đem lại hứng thú cho học 
sinh. Đặc biệt từ năm 2014 bộ giáo dục đã đưa nội dung này vào mức điểm 8 
trong đề thi dại học và đến năm 2015 phần này còn được đánh giá ở mức độ lấy 
điểm 8,5 đến 9 trong đề thi THPT quốc gia thêm vào đó phần này lại được học 
từ lớp 10 sau 2 năm các em mới thi nên càng khó khăn hơn. Trong phần này có 
3 đối tượng chính đó là đường thẳng, đường tròn và elíp, trong 3 nội dung trên 
thì đường thẳng được coi là nội dung số 1 nó vừa là nội dung khó vừa là nội 
dung xuất hiện nhiều hơn cả trong đề thi. Trong phần đường thẳng thì bài toán 
tìm tọa độ đỉnh, viết phương trình các cạnh trong tam giác khi biết trước một số 
yếu tố của tam giác là dạng toán hay và tương đối khó, để giải bài toán dạng 
này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, mối quan hệ giữa 
các yếu tố trong tam giác và các điểm đặc biệt của tam giác như: Trọng tâm, 
trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và các tính chất khác của hình học 
phẳng ở cấp THCS.
 Hiện tại đã có rất nhiều tài liệu viết về nội dung này, tuy nhiên các tài liệu 
phù hợp với đối tượng học sinh trường THPT Lê Lai thì chưa nhiều bởi chất 
lượng học sinh của nhà trường rất thấp chỉ có 1 hoặc 2 lớp mũi nhọn thì mới có 
khả năng tiếp thu được những phần kiến thức này để phục vụ cho việc thi đại 
học. Do vậy năm học 2015 – 2016 tôi được giao nhiệm vụ đảm nhiệm lớp mũi 
nhọn 10A1, tôi đã trăn trở tìm hiểu tài liệu và phân loại bài tập phần đường 
thẳng trong tam giác đồng thời chọn làm nội dung làm sáng kiến kinh nghiệm 
trong năm học này với tên gọi “Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao kỹ năng 
giải các bài toán liên quan đến đường thẳng trong tam giác”. 
 - Mục đích nghiên cứu.
 Với mục đích giúp học sinh không cảm thấy khó khăn khi gặp dạng toán 
này tôi đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận 
một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải 
quyết vấn đề. Qua đó giúp các em học tốt hơn về phần phương pháp tọa độ trong 
mặt phẳng nói chung và phần đường thẳng nói riêng, tạo cho các em tự tin hơn 
khi làm các bài tập hình học và tạo tâm lý không “sợ " khi giải bài tập hình tọa 
độ trong mặt phẳng
 - Đối tượng nghiên cứu.
 Phân dạng bài tập và phương pháp giải các dạng toán về phương trình 
đường thẳng và tìm điểm trong tam giác. Đề tài này được thực hiện trong phạm 
vi các lớp 10A1, 10A2 ở trường THPT Lê Lai 
 - Phương pháp nghiên cứu.
 Nghiên cứu tài liệu:
 Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:
- Sách giáo khoa hình học 10 chuẩn và nâng cao, sách bài tập.
 1 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN.
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Nhằm giúp học sinh có kiến thức, kỹ năng làm bài tập phần phương trình 
đường thẳng trong các kỳ thi đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia. Bản thân tôi đã 
nghiên cứu chương trình SGK, tài liệu tham khảo và phân thành các dạng toán 
và gắn với phương pháp giải cụ thể. Trong bài toán viết phương đường thẳng 
thì phương pháp chung nhất là đi xác định véc tơ chỉ phương hoặc vetơ pháp 
tuyến của đường thẳng và toạ độ một điểm mà đường thẳng đi qua sau đó áp 
dụng các dạng phương trình đường thẳng trên để viết phương trình, tùy theo kỹ 
năng ra đề của người ra đề mà họ sẽ dấu đi 1 trong 2 yếu tố trên hay cả hai buộc 
học sinh phải vận dụng kiến thức dã học để tìm các yếu tố đó thì mới giải quyết 
được bài toán trên. Ví dụ như đề toán năm 2015 của bộ như sau:
Câu 8 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại 
A. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K 
là hình chiếu của vuông góc C trên đường thẳng AD. Giả sử H (-5;-5), K (9;-3) 
và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng : x - y + 10 = 0 . Tìm tọa độ điểm 
A
 Hoặc trong đề khối D năm 2014 của bộ.
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với 
chân đường phân giác trong của góc A là D(1; –1). Đường thẳng AB có phương 
trình là 3x + 2y – 9 = 0; tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC có phương trình x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Trong năm học 2014 – 2015 tôi đã tiến hành kiểm tra kiến thức phần này 
đối với 2 lớp khối 10 của năm học đó là lớp 10B8 và 10B7 và nhận được két quả 
không mấy khả quan cụ thể.
Bài 1:Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết đỉnh C 1; 2 ; đường 
trung tuyến kẻ từ A có phương trình: 5x y 9 0 và đường cao kẻ từ B có 
phương trình là: x 3y 5 0
Bài 2: Lập phương trình các cạnh của ABC nếu cho C 4; 5 và 2 đường 
cao xuất phát từ A và B có phương trình lần lượt là 2x y 1 0 và 
3x 8y 13 0
Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C 4; 1 ; đường trung 
tuyến hạ từ A có phương trình là: 2x 3y 0 ; đường cao hạ từ đỉnh A có 
phương trình là: 2x 3y 12 0
Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài :
Kết quả của lớp 10B7 ( sĩ số 45) 
 Làm đúng Làm sai Không có lời giải
 Bài 1 20 18 7
 Bài 2 19 17 9
 3 + Phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng : Ax By C 0 
có dạng Ax By m 0 m C 
 + Phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng : Ax By C 0 
có dạng Bx Ay m 0
 + Công thức góc giữa hai đường thẳng.
d, Các kiến thức khác
Cho A x ;y ; B x ;y ; C x ;y 
 A A B B C C
- Véc tơ AB xB xA ;yB yA 
 xA xB yA yB 
- Toạ độ trung điểm I của AB là I ; 
 2 2 
   2 2
- Độ dài vectơ AB là AB AB xB xA yB yA 
- Nếu điểm M xM ;yM chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì 
 x kx
 x A B
   M 1 k
 MA kMB 
 y ky
 y A B
 M 1 k
   xB xA k xC xA 
- A, B, C thẳng hàng AB kAC 
 yB yA k yC yA 
- Nếu A, B, C là 3 đỉnh 1 tam giác, gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có: 
 xA xB xC yA yB yC 
 G ; 
 3 3
Quy ước: Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ký hiệu là n 
 V éc tơ chỉ phương của đường thẳng ký hiệu là u
2.Phần hướng dẫn bài tập về nhà phải dành một thời gian nhất định,hướng dẫn 
chu đáo,cụ thể và có yêu cầu cao với học sinh. 
B.Các dạng bài tập thường gặp:
 Tôi đã phân loại bài tập cho học sinh và phương pháp giải từng dạng. Sau 
đây tôi xin đề cập tới một số dạng bài tập hay gặp trong đề thi đại học và cao 
đẳng.
Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A và 2 đường cao BH, CK. Tìm tọa độ các 
đỉnh B; C, lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Phương pháp: 
B1: Lập phương trình cạnh AB đi qua A và vuông góc với CK
 Lập phương trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH
B2: Tìm toạ độ điểm B, C.
B3: Lập phương trình cạnh BC
 5 1, Lập phương trình các cạnh của ABC nếu cho A 1;3 và 2 đường cao xuất 
phát từ B và C có phương trình lần lượt là 5x 3y 2 0 và 3x 2y 1 0
2, Cho ABC có phương trình cạnh AB: 5x 3y 2 0 và 2 đường cao xuất 
phát từ A và B có phương trình lần lượt là 4x y 1 0 và 7x 3y 12 0
Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A, biết hai trung tuyến xuất phát từ 2 
đỉnh còn lại BM, CN. Tìm toạ độ B; C, viết phương trình các cạnh của tam 
giác.
Phương pháp:Cách 1:
B1: Tìm toạ độ trọng tâm G xG ;yG của ABC
B2: Tham số hoá toạ độ của B xB;yB ; C xC;yC theo phương trình BM, CN.
B3: Tìm toạ độ của B, C: áp dụng công thức: 
 x x x y y y
 x A B C ; y A B C
 G 3 G 3
B4: Viết phương trình các cạnh.
Cách 2: 
B1: Tìm toạ độ trọng tâm G xG ;yG của ABC
B2: Xác định điểm H đối xứng với A qua G theo công thức trung điểm. 
Khi đó tứ giác BGCH là hình bình hành.
B3: Lập phương trình đường thẳng HC qua H và song song với trung tuyến BM. 
C là giao điểm của HC với CN.
B4: Lập phương trình đường thẳng HB qua H và song song với trung tuyến CN. 
B là giao điểm của HB với BM.
B5: Viết phương trình các cạnh.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có A 2;3 và hai đường trung tuyến BM: 
 x 2y 1 0 và CN: x y 4 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC
Lời giải
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phương trình:
 2x y 1 0 x 1
 G 1;3 
 x y 4 0 y 3
Vì B thuộc đường thẳng BM nên giả sử B xB;yB thì: 
 xB 1 xB 1 
 xB 2yB 1 0 yB B xB; . Tương tự C xC;4 xC 
 2 2 
Mặt khác vì G 1;3 là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
 2 x x
 1 B C 2
 x 
 3 B
 x B xC 5 3
 x 1 
 B x 2 x 3 13
 3 4 xC B C 
 2 xC 
 3 3
 3
 7 7
 2x 5y 12 0 x 7 
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ 2 N ; 1 
 4x y 15 0 2 
 y 1
   
 xB xA 2 x N xA xB 3
Ta có AB 2AN B 3; 3 
 yB yA 2 yN yA yB 3
  
Đường thẳng BC qua B và nhận BM 2;1 làm vectơ chỉ phương có dạng:
 x 3 y 3
 x 2y 3 0
 2 1
 x 2y 3 0 x 1
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: C 1; 1 
 2x 5y 3 0 y 1
Ví dụ 2. Tam giác ABC biết phương trình AB: x y 1 0 ; AC: x y 3 0 
và trọng tâm G 1;2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
 x y 1 0 x 2
 A 2;1 
 x y 3 0 y 1
Gọi M x;y là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm nên: 
 5
 x 
   3 2 x 1 2 5 5 
 AG 2GM M ; 
 1 2 y 2 5 2 2
 y 
 2
Vì B thuộc AB nên toạ độ B xB;yB với xB yB 1 0 yB 1 xB 
nên B xB;1 xB . Tương tự C xC;xC 3 
 5 5 
Mà M ; là trung điểm của BC nên ta có:
 2 2 
 x x 5 x x
 x B C B C
 M 
 2 2 2 xB xC 5 xB 1
 y y 5 1 x x 3 x x 3 x 4
 y B C B C B C C
 M 2 2 2
nên B 1;0 ; C 4;7 
Bài tập tương tự: Tam giác ABC biết phương trình AB: 2x 3y 7 0 ; AC: 
 x 9y 28 0 và trọng tâm G 4; 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Dạng 4: Tam giác ABC biết 1 đỉnh A, phương trình đường cao BH và trung 
tuyến xuất CK. Xác định tọa độ đỉnh B, C; lập phương trình các cạnh.
Phương pháp:
 9