Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ

 1. MỞ ĐẦU
 Trong chương trình Toán ở trường THPT nội dung “phương trình vô tỉ” 
chiếm một vị trí vô cùng quan trọng. Kiến thức về căn thức Học sinh mới được 
làm quen ở lớp 9 nhưng cũng chưa nhiều và thật sự sâu sắc. Kiến thức về căn 
thức đối với học sinh còn rất trừu tượng và khó hiểu thì bước và lớp 10 học sinh 
lại phải tiếp cận ngay với kiến thức về Phương trình vô tỉ. Trong chương trình 
Toán lớp 10 học sinh được cung cấp kiến thức để giải các loại phương trình vô 
tỉ cơ bản và đơn giản. Trong toàn bộ chương trình Toán còn lại ở bậc THPT 
Học sinh không được cung cấp thêm kiến thức để giải phương trình vô tỉ nửa, 
trong khi đó việc giải phương trình vô tỉ Học sinh thường xuyên gặp trong các 
nội dung khác nhau trong chương trình Toán. Mặt khác giải phương trình vô tỉ 
là một nội dung lớn thường xuyên có trong các đề thi THPT quốc gia. Do đó 
việc rèn luyện cho học sinh những kỷ năng giải phương trình vô tỉ là việc làm 
rất cấp thiết. Người giáo viên không chỉ cung cấp kiến thức cơ bản trong Sách 
giáo khoa mà quan trọng hơn cũng phải biết tìm tòi, vận dụng kiến thức đã có 
nghĩ ra những cách giải hiệu quả Phương trình vô tỉ để cung cấp cho Học sinh 
giúp học sinh không chỉ nắm vững kiến thức mà còn giải quyết tốt những 
phương trình vô tỉ khi gặp. Để giúp học sinh giải tốt hơn phương trình vô tỉ bản 
thân tôi đưa ra đề tài “Hướng dẫn Học sinh lớp 10 sử dụng nhân liên hợp để 
giải phương trình vô tỉ ”.
 Sáng kiến kinh nghiệm này hướng tới giải quyết một số vấn đề sau đối với 
học sinh:
 - Bổ sung, hoàn thiện cách giải phương trình vô tỉ bằng việc phát hiện và 
sử dụng biểu thức liên hợp
 - Phân loại các dạng bài tập thường gặp để sử dụng phương pháp
 - Rèn luyện kỹ năng phát hiện nghiệm của phương trình và liên hệ giữa 
nghiệm phát hiện với cách giải
 - Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp giải trên thông qua hệ thống 
bài tập có hướng dẫn ở lớp và bài tập tự rèn luyện ở nhà.
 Sáng kiến kinh nghiệm này cũng nhằm trao đổi kinh nghiệm với các đồng 
nghiệp và là một tài liệu tham khảo đối với học sinh để góp phần nâng cao hiệu 
quả dạy và học toán ở trường THPT Như Xuân nói riêng và các trường THPT 
nói chung. 
 Để thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng hai lớp 10 ở trường 
THPT Như Xuân. Đây là hai lớp tương đương nhau về học lực môn toán và tất 
cả học sinh đều có học lực khá, giỏi về môn toán là lớp 10C3 lớp 10C4. Lớp 
10C3 sẽ thực hiện dạy thực nghiệm, lớp 10C4 là lớp đối chứng sau đó kiểm tra, 
đánh giá so sánh kết quả. Thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 
12/2015 đến tháng 03/2016.
 Sau đây là nội dung cụ thể của Sáng kiến kinh nghiệm này.
 1 Ngày nay với việc sử dụng các loại máy tính cầm tay như Casio fx-570VN 
PLUS, Casio fx-570ES, Casio fx-570ES PLUS, Casio fx-570MS... nhiều bài 
toán học sinh dễ dàng phát hiện nghiệm trước khi giải được phương trình.
 Kiến thức về đồng nhất hai biểu thức:
 n n 1
 f (x) an x an 1x ... a1 x a0
 n n 1
 g(x) bn x bn 1x ... b1x b0
 an bn
 an 1 bn 1
 f (x)  g(x) ...
 a b
 1 1
 a0 b0
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH 
NGHIỆM
 Qua quá trình dạy học sinh giải phương trình tôi phát hiện ra học sinh 
thường vướng mắc một số vấn đề sau:
 - Nhận dạng bài toán sử dụng được phương pháp chưa nhanh nhạy.
 - Rất nhiều phương trình học sinh phát hiện ra nghiệm nhưng không liên 
hệ được cách giải.
 - Chưa có thói quen tự nghiên cứu, kiểm tra lời giải.
 - Chưa biết hệ thống và phân loại các dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng.
 - Chưa biết sử dụng, khai thác máy tính cầm tay trong việc giải phương 
trình vô tỉ.
 Từ thực trạng trên khi ôn thi cho học sinh lớp 10C3, tôi đã khắc phục bằng 
cách:
 - Trang bị cho học sinh cơ sở lý thuyết đầy đủ và cụ thể 
 - Rèn luyện kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải nghiệm phương 
trình
 - Trang bị cho học sinh nội dung phương pháp thông qua các dạng 
phương trình sau đó giúp học sinh nắm vững phương pháp thông qua hệ thống 
ví dụ được chọn lọc cẩn thận, điển hình. 
 - Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống bài tập về nhà và 
sau đó có kiểm tra, hướng dẫn, sửa chữa. 
 Sau đây là các giải pháp tiến hành cụ thể.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.3.1. NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH
 Để có thể hướng dẫn học sinh sử dụng được nhân liên hợp vào giải phương 
trình vô tỉ bản thân tôi tiến hành phân loại các dạng bài tập có thể dùng nhân 
liên hợp, chỉ ra những đặc trưng của từng loại và hướng dẫn cụ thể cách dùng 
liên hợp để giải tương ứng với từng loại, đồng thời ra bài tập về nhà cho Học 
sinh cũng cố.
 3 2x 2
 Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 x 21
 3 9 2x 
 2 2 2
 2 2 2
 Ta có: 3 9 2x 2x suy ra 3 9 2x 4x bây giờ ta thấy 
được sự giống nhau giữa mẫu và tử của vế trái phương trình.
 9
 9 2x 0 x 
ĐK: 2
 3 9 2x 0
 x 0
 2x2
 2 x 21
 3 9 2x 
 2
 2x2 3 9 2x 
 x 21
 4x2
 2
 3 9 2x 2x 42
 9 2x 4
 7
 x (t.m)
 2
 7
KL: x 
 2
 2
 Ví dụ 4: Giải phương trình: 4 x 1 2 2x 10 1 3 2x 
 2 2 2
 Ta có: 12 3 2x 2 x 1 suy ra 12 3 2x 4 x 1 2
 3
ĐK: 3 2x 0 x 
 2
 2
4 x 1 2 2x 10 1 3 2x 
 2 2 2
 4 x 1 2 . 1 3 2x 2x 10 . 1 3 2x . 1 3 2x 
 2
 4 x 1 2 . 1 3 2x 2x 10 .4 x 1 2
 4 x 1 2 . 4 2x 2 3 2x 2x 10 .4 x 1 2
 4 x 1 2 . 2 3 2x 6 0
 4 x 1 2 0
 2 3 2x 6 0
 x 1 (t.m)
 x 3 (t.m)
KL: Phương trình có hai nghiệm x=-1, x=3
 5 Ta có x=3 là nghiệm của phương trình.
 3 2 1, 4 3 1, 2.3 5 1 vậy -1 là giá trị thêm vào x 2 , -1 là giá trị 
thêm vào 4 x , -1 là giá trị thêm vào 2x 5
 x 2 0
 5
ĐK: 4 x 0 x 4
 2
 2x 5 0
 x 2 4 x 2x 5 2x2 5x
 x 2 1 4 x 1 2x 5 1 2x2 5x 3
 x 3 3 x 2x 6
 x 3 2x 1 
 x 2 1 4 x 1 2x 5 1
 1 1 2 
 x 3 2x 1 0
 x 2 1 4 x 1 2x 5 1 
TH1: x 3 0
 x 3 (t.m)
 1 1 2
TH2: 2x 1 0
 x 2 1 4 x 1 2x 5 1
 5 1 1 1
Với điều kiện x 4 ta có: 
 2 2 1 x 2 1 1
 1
 2
 1 1
 1
 3 4 x 1
 1
 2
 2 2
 2
 3 1 2x 5 1
 6 2x 1 9
 1 1 2
Suy ra 2x 1 0
 x 2 1 4 x 1 2x 5 1
 1 1 2
Phương trình 2x 1 0 vô nghiệm
 x 2 1 4 x 1 2x 5 1
KL: x 3
 Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 x 6 x2 7 x 1
 Ta có x= 2 là nghiệm của phương trình.
3 2 6 2 , 2 1 1 vậy -2 là giá trị thêm vào 3 x 6 , -1 là giá trị thêm vào 
 x 1
ĐK: x 1 0 x 1
3 x 6 x2 7 x 1
 3 x 6 2 x2 4 1 x 1
 7 3x 1 x 1 3x 1 x 1 5x 4 x 2 5x 4 x 2 
 3x2 3x
 3x 1 x 1 5x 4 x 2 
 x2 x x2 x
 (3x2 3x) 0
 3x 1 x 1 5x 4 x 2 
 1 1 
 x2 x 3 0
 3x 1 x 1 5x 4 x 2 
 x2 x 0
 x 1
 (t.m)
 x 0
KL: Phương trình có hai nghiệm x=0, x=1
 Ví dụ 9: Giải phương trình: 2x2 9x 3 3x2 7x 1 3x 2 0
 Phương trình có nghiệm x= 1 và x=2
 3.12 7.1 1 a.1 b a 2
 3x2 7x 1 ax b ta có hệ 
 2 b 1
 3.2 7.2 1 a.2 b 
 3.1 2 m.1 n m 1
 3x 2 mx n ta có hệ 
 3.2 2 m.2 n n 0
 Vậy 2x 1 là biểu thức thêm vào 3x2 7x 1 , còn –(x) là biểu thức 
thêm vào 3x 2
 3x2 7x 1 0 2
ĐK: x 
 3x 2 0 3
2x2 9x 3 3x2 7x 1 3x 2 0
 2x2 6x 4 3x2 7x 1 2x 1 3x 2 x 0
 x2 3x 2 x2 3x 2
 2x2 6x 4 0
 3x2 7x 1 2x 1 3x 2 x
 1 1 
 x2 3x 2 2 0
 2 
 3x 7x 1 2x 1 3x 2 x 
TH1: x2 3x 2 0
 x 1
 (t.m)
 x 2
 1 1
TH2: 2 0
 3x2 7x 1 2x 1 3x 2 x
 2 1 3
Với điều kiện x ta có 
 3 3x 2 x 2
 9 1 
 7 x
 1 1 
 x2 2x 3 4 0
 1 1 2 2x 3 x 3 2 
 x 1 x 
 2 2 
 x 4 1 
 x2 2x 3 0
 2 x 1 x 1 2 2x 3 x 3 
 x2 2x 3 0
 x 1 (k.t.m)
 x 3 (t.m)
KL: Phương trình có hai nghiệm x = 3, x = -1
 * Nhận xét: Sau khi liên hợp tách riêng được hai nghiệm phương trình thì 
với điều kiện để phương trình có nghĩa chúng ta dễ dàng nhận thấy biểu thức 
còn lại luôn luôn âm hoặc luôn luôn dương qua đó phương trình còn lại vô 
nghiệm.
Loại 4: Phương trình có nghiệm kép.
 Ví dụ 11: Giải phương trình 2x 1 2 x 2x 1
 Ta phát hiện phương trình có nghiệm x=1
 2x 1 2 x 2x 1
 2 x 2 2x 1 1 2x 2
 2x 2 2x 2
 2x 2
 x 1 2x 1 1
 1 1 
 2x 2 1 0
 x 1 2x 1 1 
 1 1
 Ta nhận thấy phương trình 1 0 có nghiệm x=1
 x 1 2x 1 1
 Vậy phương trình 2x 1 2 x 2x 1 có nghiệm kép x=1, ta thực hiện 
thêm bớt căn thức với một biểu thức bậc nhất nhằm xuất hiện nghiệm kép x=1, 
cách phát hiện biểu thức bậc nhất thêm bớt.
 1
 a 
 1 a b 2
 x ax b ta có hệ 
 2 2 2 1
 ax b x  a x 1 b 
 2
 2.1 1 m.1 n m 1
 2x 1 mx n ta có hệ 
 2 2 2 n 0
 mx n 2x 1  m x 1 
 11