Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng phương pháp Hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Đại số

 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
 TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN 
 ===***=== 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 Tên sáng kiến: 
 ‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 SỬ DỤNG PHƯƠNG 
 PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 
 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ’ 
 Tác giả sáng kiến: Trương Thị Việt Hồng 
 Mã sáng kiến: 31.52.04 
 Vĩnh Phúc, năm 2018 
 10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng 
 kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: ..................................................... 37 
11. Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng 
sáng kiến lần đầu (nếu có): ............................................................................... 38 
 4 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
1. Lời giới thiệu 
 Hình học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình Toán THPT, nó 
đóng vai trò rất lớn trong việc phát triển, rèn luyện tư duy và khả năng quan sát cho 
học sinh. Tuy nhiên đa phần học sinh thường chỉ giải các bài toán Hình học thuần 
túy hoặc chỉ quan tâm đến vấn đề sử dụng các phương pháp trong phạm vi Hình 
học mà ít nghĩ đến việc vận dụng các phương pháp Hình học để giải các bài toán 
Đại số. 
 Việc nhìn nhận một vấn đề Toán học dưới nhiều khía cạnh, phương diện khác 
nhau là điều rất cần thiết cho người học Toán. Học sinh ở trường THPT thường có 
thói quen tách bạch kiểu “Đại số” và “Hình học” chứ chưa nhìn thấy mối quan hệ 
giữa chúng. Rất nhiều học sinh đã bị ảnh hưởng của phương pháp cũ khá sâu nên 
khó bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra hướng suy nghĩ mới. 
Thói quen tâm lí là một trở ngại thường gặp trong việc học tập của học sinh. 
Nguyên nhân hình thành do nhiều mặt, trong đó nguyên nhân chủ yếu là tư duy của 
học sinh có tính phương hướng. Một loạt kiến thức hoặc phương hướng nào đó 
dùng nhiều lần, ấn tượng lâu rồi sẽ thành thói quen tâm lí. Do vậy dùng phương 
pháp Hình học để giải một số bài toán đại số sẽ góp phần giúp học sinh xóa bỏ 
được thói quen đó. 
 Trong Toán học, bất đẳng thức là một nội dung rất khó. Các vấn đề liên quan 
đến bất đẳng thức là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích. Nhiều bài toán 
của Hình học, Lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn 
đề về ước lượng, cực trị, tối ưuGiáo viên và học sinh ở trường THPT cũng 
 6 
 +) Bản thân nhiều giáo viên cũng chưa có kiến thức vững vàng và thành thạo 
về bất đẳng thức nên có tâm lí e ngại khi dạy nội dung này vì trong các kì thi, câu 
bất đẳng thức thường là rất khó. 
 +) Thời lượng chương trình dành cho nội dung này rất ít (chỉ 2 tiết gồm cả 
luyện tập) nên không có điều kiện để đi sâu thêm về chủ đề này. 
 +) Các tài liệu tham khảo rất lớn nhưng khả năng chắt lọc được số lượng tối 
thiểu các bài toán mà lại bao quát được nhiều hiện tượng thường gặp trong các kì 
thi là điều rất khó. 
 Chứng minh bất đẳng thức đại số là một phần khó học, khó làm với hầu hết học 
sinh phổ thông bởi nó có đặc thù là nó đòi hỏi sự suy luận, khả năng phân tích, 
đánh giá, tổng hợp cao.Vì thế, học sinh rất ngại học phần này. Nhưng nếu biết sử 
dụng những kiến thức Hình học đơn giản hơn mà các em đã được học để nhằm giải 
quyết một số dạng toán chứng minh bất đẳng thức Đại số thì sẽ tạo hứng thú và 
niềm đam mê của các em học sinh. 
 Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng 
phương pháp Hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Đại 
số” 
 Việc chọn đề tài này nhằm mục đích: 
 - Góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy, học tập ở trường THPT. 
 - Giúp học sinh mở mang được kiến thức và khắc phục được thói quen, phương 
thức tư duy một vấn đề. 
 - Tạo cho học sinh khả năng nhìn nhận, chuyển đổi bài toán Đại số sang Hình 
học. Từ đó phát triển được tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo Toán học cho học 
sinh. 
2. Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng phương pháp Hình học 
để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Đại số” 
3. Tác giả sáng kiến: Trương Thị Việt Hồng 
 8 
 trình Toán THPT chúng ta cũng có thể nhìn nhận được mối quan hệ giữa Hình học 
và Đại số tuy bề ngoài chúng rất khác nhau. 
 Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, ta có thể thiết lập ánh xạ f gán mỗi 
điểm M trong mặt phẳng tọa độ đó với một bộ số (x; y) hoặc ánh xạ g gán mỗi 
vectơ u với một bộ số (x’; y’). Khi đã có sự thiết lập trên thì độ dài đoạn thẳng AB 
có thể biểu diễn dưới dạng biểu thức Đại số như sau: Với hai điểm 
 22
 A( x1 ; y 1 ), B ( x 2 ; y 2 ) ta có AB (-)(-) x2 x 1 y 2 y 1 . 
 Từ các bất đẳng thức Hình học và vectơ: 
 a) AB BC AC ( ABC,, là ba điểm bất kì) 
 b) u v u v 
thì bằng việc gắn các điểm A(; a1 a 2 ),(;),(; B b 1 b 2 C c 1 c 2 ) hoặc 
 u( a1 b 1 ; a 2 b 2 ), v ( b 1 c 1 ; b 2 c 2 ) ta có bất đẳng thức Đại số tương ứng: 
 2 2 2 2 2 2
 ()()()()()()abab11 22 bc 11 bc 22 ac 11 ac 22 
 Hoặc là, với bất đẳng thức Cauchy – Schwartz phát biểu cho hai bộ số 
 (a1 ; a 2 ),( b 1 ; b 2 ): 
 2 2 2 2 2
 (a1 a 2 )( b 1 b 2 ) ( a 1 b 1 a 2 b 2 ) 
sẽ có một kết quả tương ứng trong Hình học. Thật vậy, từ định nghĩa tích vô huớng 
của hai vectơ và để ý rằng cos(uv , ) 1, ta có bất đẳng thức: 
 u. v u v (*) 
Khi đó, nếu xét u( a1 ; a 2 ), v ( b 1 ; b 2 ) thì (*) chính là bất đẳng thức Cauchy – Schwartz. 
 Ta xét một số thí dụ minh họa: 
Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực xy, ta luôn có: 
 x2 4 y 2 6 x 9 x 2 4 y 2 2 x 12 y 10 5 
Lời giải: 
 10 
 §2. CƠ SỞ THỰC TIỄN 
 Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao đã đưa ra định nghĩa bất đẳng thức, những 
tính chất cơ bản và các hệ quả của chúng. Cụ thể: 
 Định nghĩa: Giả sử ab, là hai số thực. Các mệnh đề 
 "a b "," a b "," a b "," a b " được gọi là những bất đẳng thức. 
 Tính chất: 
 ab và b c a c 
 a b a c b c 
 Nếu c 0 thì a b ac bc 
 Nếu c 0 thì a b ac bc 
 Từ đó ta có các hệ quả sau: 
 ab và c d a c b c 
 a c b a b c 
 ab 0 và c d 0 ac bd 
 ab 0 và n N * an bn 
 a b 0 a b
 a b 33 a b.
 Một số bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối: 
 aaa với mọi a R 
 x a a x a (với a 0) 
 x a x a hoặc xa (với 
 a b a b a b (với mọi a,b R) 
 Ngoài ra SGK nâng cao còn giới thiệu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và 
trung bình nhân cho hai và ba số thực không âm (SGK chương trình chuẩn chỉ giới 
thiệu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số thực không 
âm): 
 12 
 Chương 2 
 DÙNG CÁC PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT 
 SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 
I. Phương pháp tọa độ. 
 Người ta xem việc phát minh ra phương pháp tọa là một cuộc cách mạng trong 
Toán học vì nó giúp cho Toán học thoát ra khỏi cách tư duy của không gian vật lý 
thông thường, nhằm đạt tới những đỉnh cao khác của sự khái quát và trừu tượng 
trong Toán học. Phương pháp tọa độ đã mang lại cho Toán học có thêm sức mạnh 
mới và đặt nền móng cho một phương pháp tư duy sáng tạo mới dùng để nghiên 
cứu Toán học và vận dụng Toán học vào cuộc sống. 
 Các bước giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ: 
 - Trước hết cần xét tính chất của bài toán đã cho và chọn hệ tọa độ thích hợp, đây 
là bước rất quan trọng vì nó giúp cho việc thực hiện giải bài toán đó được nhanh 
chóng, tránh được sai sót do tính toán. 
 - Bằng phương pháp tọa độ và bằng các phép tính đại số, chúng ta cần thực hiện 
các yêu cầu do nội dung của các bài toán đặt ra. Chuyển các kết quả tính toán được 
bằng công cụ Đại số sang các tính chất Hình học cần chứng minh hay tính toán. 
Bài toán 1. Chứng minh rằng với mọi số thực a ta đều có bất đẳng thức: 
 a 2 2a 5 a 2 2a 5 2 5 
Lời giải: 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn 3 điểm: 
 A= (1; 2), B = (-1; -2), M = (a; 0) Ox 
Ta thấy: yA.yB 4 0 nên A, B nằm về hai phía của trục Ox 
 MA (a 1)2 22 a 2 2a 5 
 14 
 (x 1)2 22 (x 6)2 102 89 
Xét hệ trục tọa độ đề các vuông góc Oxy. Ta chọn: 
 A= (1; 2), B = (6; 10), M = (x; 0) Ox 
Ta luôn có MA MB AB nên (x 1)2 22 (x 6)2 102 52 82 89 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M AB . Mà đường thẳng AB có phương trình: 
 1
8x - 5y + 2 = 0. Do đó, 8x + 2 = 0 x 
 4
Bài toán 4. Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 a 2 b2 ab b2 c2 bc c2 a 2 ca 
Lời giải: 
 Bất đằng thức đã cho có thể viết dưới dạng: 
 2 2 2
 b 2 b 3 c 2 c 3 c a 2 c 3 a 3 
 a b (1) 
 2 2 2 2 2 2 2 2 
Xét hệ trục tọa độ đề các vuông góc Oxy. Ta chọn: 
 a a 3 c c 3 
 A ; , B b;0 , C ; 
 2 2 2 2 
Theo bất đẳng thức 3 điểm ta có: AB + BC AC hay (1) hiển nhiên đúng. 
Dấu “=” xảy ra A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C 
 AB, BC cùng hướng 
 a c
 b b
 2 2 a 2b c 2b b 0
 2b(a c) 0 
 a 3 c 3 a c a c
 2 2
Do a, b, c là các số thực dương nên a = c. Thế điều kiện a = c vào đẳng thức 
 a 2 b2 ab b2 c2 bc c2 a2 ca 
 16 
 abc. . 1
 S = bcsin A a = 2RsinA = 15 
 42R
 Vì thế (2’) đúng (2) đúng 
 Muốn tìm điều kiện dấu “=” xẩy ra, ta gọi Q (x0, y0) thuộc O(0, ) và PQR 
 2 2 2
đều. Khi đó: PQ = 15 hay (x0 – 1) + (y0 – 2) = 15 2x0 + 4y0 = -5. 
 xy22 5
Từ đó ta giải hệ: 00 xác định Q xác định R. 
 2xy00 4 5
Bài toán 6: Cho 4 số a,,, b c d thỏa mãn: a2 b 2 c 2 d 2 5. 
 3 30
Chứng minh rằng: 5 a 2 b 5 c 2 d 5 ac bd (3) 
 2
Lời giải: 
 Từ giả thiết ta có M(a, b), N(c, d), P(1, 2) đều nằm trên đường tròn tâm O(0, 0), 
bán kính 5 . Ta có: 
 (1)(a 2 b 2) 2 (1)( c 2 d 2) 2 ( a c )( 2 b d ) 2 330
(5) 
 2 2 2 2
 MP + NP + MN 3 15 CMNP (3’) 
 Mặt khác ta cũng biết rằng trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn thì 
tam giác đều là tam giác có chu vi lớn nhất. Vì vậy, hoàn toàn tương tự bài toán 5 
ta sẽ có điều phải chứng minh. 
Bài toán 7: Cho ab, thỏa mãn: a22 b 16 8 a 6 b . 
Chứng minh rằng: 10 3ba 4 40 (4) 
Lời giải: 
 2 2
 Từ giả thiết ta viết lại: ( a – 4) + (b – 3) = 9. Do vậy với a, b thỏa mãn nó thì 
điểm M(a, b) nằm trên đường tròn tâm O1(4, 3) và bán kính 3. 
 18