Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 10 tiếp cận các bài toán có nội dung thực tế

 PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Chúng ta đều biết toán học ra đời từ nhu cầu thực tiễn, và cùng với sự 
phát triển của mình toán học quay trở lại phục vụ một các đắc lực cho thực tiễn 
cuộc sống của con người. Hiện nay mọi lĩnh vực cuộc sống đều cần đến toán 
học, hầu hết các ngành khoa học đều sử dụng toán học như một công cụ không 
thể thiếu. Thế nhưng trước đây trong dạy học môn toán chúng ta chưa quan tâm 
đến việc liên hệ thực tế. Khi dạy kiến thức toán cho học sinh còn quá chú trọng 
về lý thuyết, mang nặng tính hàn lâm. Trong nghị quyết Hội nghị lần thứ 8 Ban 
chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào 
tạo đã nêu mục tiêu đối với giáo dục phổ thông: Nâng cao chất lượng giáo dục 
toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống đạo đức, lối sống, năng lực 
và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thực vào thực tiễn. Tinh thần đó đã được 
cụ thể hóa bằng việc đổi mới phương pháp dạy học từ chương trình giáo dục tiếp 
cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến 
việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm đến việc học sinh vận dụng 
được gì qua việc học. 
 Trong chương trình toán lớp 10 THPT, có khá nhiều nội dung có thể vận 
dụng thực tế từ đơn giản đến phức tạp. Nhằm giúp các em học sinh bước đầu 
làm quen với các bài toán có nội dung thực tế và hình thành tư duy vận dụng lí 
thuyết vào thực hành một cách hiệu quả, chúng tôi đã cố gắng tìm tòi, hệ thống, 
biên soạn và sáng tạo một số bài toán có nội dung thực tế vào việc giảng dạy. 
Việc này cũng tăng thêm tính hấp dẫn cho các bài giảng đồng thời tạo tiền đề 
cho các em giải quyết tốt các bài toán thực tế ở lớp 11, 12 và trong các đề thi. 
Qua đó giúp học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia sắp tới. Đó là lí do 
chúng tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 10 tiếp cận các bài toán có 
nội dung thực tế” 
 Dựa vào các bài toán thực tế trong các đề thi minh họa chúng tôi đã phân 
loại và phát triển thành bảy bài toán: 
 1 
 PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
BÀI TOÁN 1. SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ 
TẬP HỢP 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ VEN 
Gồm 3 bước: 
 Bước 1. Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp. 
 Bước 2. Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa các tập hợp. 
 Bước 3. Dựa vào sơ đồ Ven ta thiết lập được đẳng thức hoặc phương trình, hệ 
phương trình, từ đó tìm được kết quả bài toán. 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Bài 1. Lớp 10 A có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích 
môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba 
môn. Hỏi số em chỉ thích một môn trong ba môn trên? 
 Định hướng giải 
 Bước 1. Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp. 
Gọi T, V, S lần lượt là số học sinh chỉ thích học một môn Toán, Văn, Sử; x, y, z 
lần lượt là số học sinh thích học đúng hai môn Toán + Văn, Văn + Sử và Sử + 
Toán. 
 Bước 2. Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa các tập hợp. 
Theo bài ra ta có biểu đồ Ven 
 3 
 45 25 23 20 11 8 9 TLH   
 TLH   5 
Vậy có 5 học sinh giỏi cả 3 môn. 
Bài 3. Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý, 14 
học sinh giỏi cả môn Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả. Hỏi 
lớp đó có bao nhiêu học sinh? 
 Định hướng giải 
Gọi T, L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lý. 
Ta có: T : là số học sinh giỏi Toán L : là số học sinh giỏi Lý 
 TL : là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý 
Khi đó số học sinh của lớp là: TL 6 . 
Mà TLTLTL  25 23 14 34 . Vậy số học sinh của lớp là 
 34 6 40 . 
Bài 4. Lớp 10A có 18 học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc, 20 học sinh tham 
gia câu lạc bộ Thể thao, 17 học sinh tham gia câu lạc bộ Hội họa. Trong đó có 6 
học sinh tham gia đúng hai câu lạc bộ là Âm nhạc và Thể Thao, có 5 học sinh 
tham gia đúng hai câu lạc bộ là Hội Họa và Thể Thao, có 4 học sinh tham gia 
đúng hai câu lạc bộ là Âm Nhạc và Hội Họa, có 3 học sinh tham gia cả ba câu 
lạc bộ Âm Nhạc, Thể Thao, Hội Họa. Tổng số học sinh tham gia ít nhất một 
trong ba câu lạc bộ trên của lớp 10A là bao nhiêu? 
 Định hướng giải 
Theo bài ra ta có biểu đồ Ven: 
Từ biểu đồ Ven suy ra có tất cả 34 
học sinh tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ. 
 5 
 Bài 2. Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn xếp học lực giỏi, 20 bạn xếp 
hạnh kiểm tốt, trong đó 10 bạn vừa học lực giỏi vừa hạnh kiểm tốt. Hỏi lớp 10A 
có bao nhiêu bạn chưa được xếp học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt? 
A. 20. B. 25. C. 15. D. 10. 
 Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Giả sử A “HS xếp học lực giỏi” 
 B “HS hạnh kiểm tốt ” 
 AB “HSxếp học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt” 
 AB “HS vừa học lực giỏi vừa hạnh kiểm tốt” 
Số phần tử của AB là: 
Số học sinh có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt: 25 
Số học sinh chưa có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt: 45 25 20 . 
Câu B, C, D do HS tính sai đọc và hiểu chưa kỹ đề bài. 
Bài 3. Mỗi học sinh lớp 10B đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 
25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn. Hỏi 
lớp 10B có bao nhiêu học sinh? 
A. 35. B. 30. C. 25. D. 20. 
 Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Giả sử “HS chơi bóng đá” 
 “HS chơi bóng chuyền” 
 “HS chơi bóng đá hoặc bóng chuyền” 
 “HS chơi cả hai môn” 
Số phần tử của là: 25 20 10 35 
Số HS chơi bóng đá hoặc bóng chuyền là số HS của lớp: 35 
Bài 4. Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14 
học sinh chơi cả bóng đá và bóng bàn và 6 học sinh không chơi môn nào. Số học 
sinh chỉ chơi 1 môn thể thao là? 
A. 48 B. 20 C. 34 D. 28 
 Hướng dẫn giải 
Đáp án B. 
 7 
Bước 1. Từ giả thiết của bài toán, chọn hệ trục tọa độ phù hợp. 
Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, khi đó Parabol đi qua 3 điểm có tọa độ lần 
lượt là (0; 4), (-3; 0), (3; 0). 
Bước 2. Lập phương trình Parabol. 
Suy ra phương trình Parabol là 
 4
 yx 2 4. 
 9
Vì chiếc xe tải đi vào vị trí chính giữa 
cổng nên mép ngoài của chiếc xe sẽ ở các vị trí có hoành độ là 1,5 mét và -1,5 
 4
mét tung độ các điểm đó là yy(1,5) ( 1,5) (1,5)2 4 3 (mét). 
 9
Bước 3. Từ phương trình Parabol suy ra đáp án 
Vậy chiếc xe tải phải có chiều cao thấp hơn 3 mét thì mới đi được vào cổng mà 
không chạm tường. 
Bài 2. Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu cuối 
của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA’ và BB’ với độ cao 30 m . 
Chiều dài nhịp A' B ' 200 m . Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu là 
 OC 5 m . Xác định chiều dài các dây cáp treo ( thanh thẳng đứng nối nền cầu 
với dây truyền )? 
 Định hướng giải 
Bước 1. Từ giả thiết của bài toán, chọn hệ trục tọa độ phù hợp. 
Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của Parabol, trục Ox nằm trên nền cầu như 
Hình vẽ. Ta có: AC 100;30 ; 0;5 . 
Bước 2. Lập phương trình Parabol. 
 9 
 Định hướng giải 
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol P : 
 y ax2 bx c với a 0. 
Do parabol P đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng 
 b
 xb 0 0 0. 
 2a
Chiều cao của cổng parabol là 4m nên G 0;4 c 4 . P : y ax2 4 
Lại có, kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m nên EF 2;3 , 2;3 
 1 1
 3 4aa 4 . Vậy P : yx 2 4. 
 4 4
 1 2 x 4
Ta có x 40 nên A 4;0 , B 4;0 hay AB 8 (m). 
 4 x 4
Bài 5. Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol 
(hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162m. Trên thành cổng, tại 
vị trí có độ cao 43m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất 
(dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu 
sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10m. Giả sử các số liệu trên là chính 
xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của 
cổng). 
 Định hướng giải 
 11 
 Hướng dẫn giải 
Đáp án B. 
 2 1
Từ giả thiết suy ra parabol y ax đi qua điểm I 2; . 
 2
 11
Từ đó ta có aa.22 . Vậy mn 1 8 7 . 
 28
Bài 3. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. 
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa 
độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; h 
là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ 
độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó đạt 
độ cao 6m. Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính 
chính xác đến hàng phần trăm? 
A. 2,56 giây B. 2,57 giây C. 2,58 giây D. 2,59 giây 
 Hướng dẫn giải 
Đáp án C. 
Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là h at2 bt c . Từ giả thiết suy ra 
parabol đi qua các điểm 0;1;2 , 1;8;5 và 2;6 . Từ đó ta có 
 ca 1,2 4,9
 a b c 8,5 b 12,2 . 
 4a 2 b c 6 c 1,2
Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là h 4,9 t2 12,2 t 1,2 . 
Giải phương trình h 0 4,9 t2 12,2 t 1,2 0 ta tìm được một nghiệm 
dương là t 2,58. 
Bài 4. Một quả bóng cầu thủ sút lên rồi rơi xuống theo quỹ đạo là parabol. Biết 
rằng ban đầu quả bóng được sút lên từ độ cao 1m sau đó 1 giây nó đạt độ cao 
 13 
A. 06 h . B. 06 h . C. 07 h . D. 07 h . 
 Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Parabol có phương trình dạng y ax2 bx . 
Vì chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao, theo hình vẽ ta có 
parabol đi qua các điểm 12;0 và 6;8 , suy ra: 
 2
 a 
 144ab 12 0 9
 . 
 36ab 6 8 8
 b 
 3
 28
Suy ra parabol có phương trình yx 2 . 
 93
Do chiếc xe tải có chiều ngang 6 m đi vào vị trí chính giữa cổng nên xe sẽ chạm 
tường tại điểm A 3; 6 khi đó chiều cao của xe là 6. 
Vậy điều kiện để xe tải có thể đi vào cổng mà không chạm tường là 06 h . 
BÀI TOÁN 3. SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI 
HOẶC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ 
NHẤT 
A. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 
Bảng biến thiên của hàm số bậc hai 
 15