Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả hai bài toán để giải một số bái toán hình học phẳng trong toạ độ

 1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Trong cấu trúc đề thi đại học môn toán những năm gần đây câu hình phẳng toạ 
độ Oxy đã trở thành một câu khó với đa số học sinh. Để vượt qua được câu này 
học sinh không chỉ nắm vững các kiến thức hình học toạ độ ở lớp 10, kiến thức 
về giải tích lớp 12 mà cần phải nhớ và vận dụng linh hoạt các định lý, tính chất 
hình học ở cấp THCS. Từ năm học 2014 - 2015 Bộ giáo dục và Đào tạo chỉ tổ 
chức kỳ thi THPT Quốc gia để xét tốt nghiệp và xét tuyển vào đại học thì điều 
đó càng thể hiện hiện rõ hơn. Mặc dù là câu ở mức độ điểm 8, điểm 9 nhưng 
sách chuyên khảo về phần này chưa nhiều. Qua quá trình tìm tòi nghiên cứu tôi 
nhận thấy rằng rất nhiều bài toán hình học trong mặt phẳng toạ độOxy nếu như 
ta nhớ và vận dụng một công thức hay kết quả của một bài toán đã giải quyết 
được trước đó thì việc giải bài toán hiện tại sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. 
Đặc biệt qua theo dõi, nghiên cứu câu hình phẳng trong đề thi mẫu của Bộ giáo 
dục năm 2015 và đề thi khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 THPT trong 2 năm 
liên tiếp 2015; 2016 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thanh Hóa tôi thấy rằng 
ngoài cách giải trong đáp án của Bộ và Sở giáo dục còn có thể sử dụng kết quả 
của một bài toán khác để giải quyết các câu hình phẳng trên. Với mong muốn 
đưa ra một kết quả tổng quát để từ đó các em học sinh có thể áp dụng nó vào 
nhiều bài toán khác nhau tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “ Hướng dẫn 
học sinh sử dụng kết quả hai bài toán để giải một số bái toán hình học phẳng 
trong toạ độ Oxy ”.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là hướng dẫn học sinh cách chứng minh hai 
công thức gắn với hai bài toán tương ứng, đồng thời hướng dẫn học sinh cách 
phân tích và vận dụng hai công thức đó vào từng thí dụ cụ thể. 
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Trong đề tài này chúng ta sẽ tập trung giải quyết các bài toán hình học phẳng 
trong hệ toạ độ Oxy liên quan tới tiếp tuyến kẻ từ một điểm tới đường tròn và 
đường thẳng đi qua một điểm đồng thời tạo với một đường thẳng cho trước một 
góc cho trước. 
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết, từ đó 
áp dụng vào làm bài tập, ngoài ra còn sử dụng phương pháp thống kê; xử lý số 
liệu.
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Các căn cứ lý thuyết để đưa ra đề tài là: 
+ Phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng trang 76, 81
SGK Hình học 10 chương trình nâng cao của nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam 
(Tác giả: Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Vũ 
Khê - Bùi Văn Nghi).
 1 ( x a ) ( x a ) ( y a ) ( y b ) R 2 0(*)
 0 0 
Chứng minh. 
Đường tròn (C) có tâm I(a;b) , bán kính R . Gọi A(x1; y1 );B(x2 ; y2 ). Do A,B 
 2 2 2 2 2 2
thuộc đường tròn (C) nên (x1 a) (y1 b) R ; (x2 a) (y2 b) R . 
Tiếp tuyến tại điểm A đi qua A và vuông góc với IA nên nhận véc tơ 
 IA(x1 a; y1 b) làm véc tơ pháp tuyến, do đó có phương trình 
 (x1 a)(x x1 ) (y1 a)(y y1 ) 0 
 (x1 a)(x a a x1 ) (y1 b b y1 )(y y1 ) 0
 2 2
 (x1 a)(x a) (y1 b)(y b) (x1 a) (y1 b)
 2 2
 (x1 a)(x a) (y1 b)(y b) (x1 a) (y1 b)
 2
 (x1 a)(x a) (y1 b)(y b) R . 
Tương tự phương trình tiếp tuyến tại điểm B là B .I
 2
 (x2 a)(x a) (y2 b)(y b) R 
Để hai tiếp tuyến trở thành hai tiếp tuyến kẻ từ 
 A
 M thì 2 tiếp tuyến phải đi qua M . 
 2
Suy ra (x1 a)(x0 a) (y1 b)(y0 b) R 
 2
 (x2 a)(x0 a) (y2 b)(y0 b) R M 
Suy ra phương trình đường thẳng AB là: 
 2
 (x0 a)(x a) (y0 a)(y b) R 0.
Chúng ta hãy xem xét việc áp dụng phương trình (*) qua các thí dụ sau:
Thí dụ 1.( Câu 7 trong đề thi KSCL lớp 12 THPT của Sở GD&ĐT tỉnh Thanh 
Hoá năm học 2014 - 2015).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn(C) có phương trình
 x2 y2 4x 2y 4 0 và đường thẳng (d) : x y 1 0, điểm E(3;4) . Gọi
 M là điểm thuộc d nằm ngoài (C) . Từ M kẻ các tiếp tuyến MA; MB tới (C) (A, 
B là các tiếp điểm). Gọi (E) là tâm đường tròn tâm E tiếp xúc với đường thẳng 
AB. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn (E) có chu vi lớn nhất ?
Phân tích: 
Chu vi lớn nhất khi bán kính đường tròn lớn nhất, tương đương với khoảng cách 
từ điểm E tới đường thẳng AB lớn nhất. Do đó ta cần thực hiện các bước sau: 
Viết phương trình đường thẳng dưới dạng tham số (tham số t ) và gọi toạ độ 
điểm M theo t .
Viết phương trình đường thẳng AB theo phương trình (*).
Tính khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng AB theo t .
Tìm t để khoảng cách đó lớn nhất từ đó suy ra toạ độ điểm M và kết luận.
Lời giải: 
 3 2 2
Đường tròn (C) được viết lại là: (x 3) (y 1) 25 . Gọi M (x0 ; y0 ) , do 
 M d nên 3x0 22y0 6 0 . 
Phương trình đường thẳng AB là: (x0 3)(x 3) (y0 1)(y 1) 25 0.
Do đường thẳng AB đi qua E nên ta có: 
 (x0 3)(0 3) (y0 1)(1 1) 25 0 3x0 2y0 14 0 
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 
 16
 3x0 22y0 6 0 x0 16
 3 M ( ; 1)
 3x0 2y0 14 0 3
 y0 1
 16
Vậy M ( ; 1)
 3
Thí dụ 3. 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
 (x 1)2 (y 2)2 9,đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm tham số m để trên d 
có duy nhất một điểm M mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến MA; MB tới (C) (A, B là 
các tiếp điểm) sao cho tam giác MAB vuông.
Phân tích: 
Gọi toạ độ điểm M theo tham số t của đường thẳng (d). Do tam giác MAB 
vuông nên tứ giác MAIB là hình vuông, gọi K AB  MI suy ra 
 2 2
 IK IA d(I; AB) .R . Từ đẳng thức này cho ta một phương trình bậc hai 
 2 2
với ẩn t tham số là m . Bài toán quy về tìm tham số m để phương trình bậc hai 
ẩn t có một nghiệm.
Lời giải. 
Đường tròn (C) có tâm I (1; 2), bán kính R 3.
Gọi điểm M (t; m t) thuộc d. Áp dụng công thức (*) suy ra phương trình 
đường thẳng AB là 
 (t 1)(x 1) ( m t 2)(y 2) 9 0 (t 1)x (2 m 1)y 2m 3t 4 0
Do tam giác MAB vuông nên tứ giác MAIB là hình vuông, gọi K AB  MI 
 2 2
suy ra IK IA d(I; AB) .R R 2.d(I; AB) . Mà R 3. 
 2 2
 4t 4m 1
 d(I; AB) . A
 2t 2 (2m 6)t m2 4m 5
Ta có phương trình 
 . M
 4t 4m 1 I K
3 2.
 2 2 . 
 2t (2m 6)t m 4m 5 B
 2t 2 2(m 3)t m2 4m 13 0
Để trên d có đúng 1 điểm M thì phương trình trên 
 5 (x 3)2 y2 4. Tìm điểm M Oy sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến 
 MA;MB tới đường tròn (C) ( A;B là các tiếp điểm) mà góc tạo bởi hai tiếp tuyến 
bằng 600 .
Phân tích: 
 1
Gọi H MI  AB I·AH I·MA 300 IH IA.sin300 R d(I; AB) 1
 2
Gọi toạ độ điểm M (0;t)thuộc trục tung Oy .
Viết phương trình đường thẳng AB .
Tính khoảng cách từ điểm tâm I của đường tròn(C) theo tham số t và cho 
khoảng cách này bằng 1.Từ đó ta tìm được t suy ra toạ độ điểm M .
Lời giải: 
Đường tròn (C) có tâm I(3;0) , bán kính R 2 .
Gọi M (0;t)thuộc trục tung Oy . Khi đó phương A
trình đường thẳng
 AB :(0 3)(x 3) ty 4 0 3x ty 5 0.
 I
 3.3. t.0 5 4 300 H .
 d(I; AB) . M
 32 t 2 9 t 2
 B
Ta có MI là phân giác của góc ·AMB I·MA 300 .
 1
Gọi H MI  AB I·AH I·MA 300 IH IA.sin300 R d(I; AB) 1
 2
 4
Suy ra 1 9 t 2 4 t 2 7 t 7 .
 9 t 2
Vậy M (0; 7);M (0; 7).
Thí dụ 6.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
 x2 y2 2x 4y 4 0, đường thẳng d: x y 1 0 . Từ điểm M thuộc d kẻ 2 
tiếp tuyến tới (C) (A, B là các tiếp điểm). Chứng minh rằng đường thẳng AB 
luôn đi qua 1 điểm cố định.
Phân tích: 
Gọi toạ độ điểm M theo tham số t của đường thẳng d. Lập phương trình đường 
thẳng AB có chứa tham số t . Bài toán quy về tìm điểm cố định mà đường thẳng 
d luôn đi qua với mọi t . 
Lời giải. 
Phương trình đường tròn (C) có dạng (x 1)2 (y 2)2 1. Gọi M (t;t 1) 
phương trình đường thẳng AB là (t 1)(x 1) (t 3)(y 2) 1 0
 (t 1)x (t 3) y 3t 6 0 .
Gọi N(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng AB luôn đi qua suy ra
 (t 1)x0 (t 3) y0 3t 6 0t (x0 y0 3)t 6 x0 3y0 0 t
 7 a a b b 1
Ta đã có công thức cos 1 2 1 2 . Lại có 1 tan2 , suy 
 2 2 2 2 cos2 
 a1 b1 a2 b2
ra
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 2 1 (a1 b1 )(a2 b2 ) (a1a2 b1b2 ) (a1 b1 )(a2 b2 )
 tan 1 2 1 2 2
 co s (a1a2 b1b2 ) (a1a2 b1b2 )
 d1 
 2 2 2
 2 ((a1b2 ) 2a1b2a2b1 (a2b1 ) a1b2 a2b1 
 tan 2 2
 (a1a2 b1b2 ) (a1a2 b1b2 )
 2
 a1b2 a2b1 a1b2 a2b1
 2 tan , d2 
 (a1a2 b1b2 ) a1a2 b1b2
 a1 a2
Khi b1.b2 0tức là 2 đường thẳng có hệ số góc k1 ;k2 thì từ 
 b1 b2
 a1b2 a2b1
 tan ta chia cả tử và mẫu cho b1.b2 suy ra 
 a1a2 b1b2
 a a
 1 2
 b b k k
 tan 1 2 2 1 .
 a a 1 k k
 1 2 1 1 2
 b1b2
suy ra điều phải chứng minh.
Thí dụ 1.( Câu 8 trong đề thi KSCL lớp 12 THPT của Sở GD&ĐT tỉnh Thanh 
Hoá năm học 2015 - 2016). 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có tâm
 I(2 3 2;5);BC 2AB;B· AD 600 . Điểm đối xứng với A qua B là điểm 
 E( 2;9).Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành biết A có hoành độ âm.
Phân tích: 
Chứng minh được AE  BD . Lập phương trình đường thẳng EI .
Lập ptđt BD đi qua I và tạo với đường thẳng EI một góc cho trước. Lập được 
ptđt EB từ đó suy ra toạ độ điểm B, suy ra toạ độ điểm D.
Do B là trung điểm của AE từ đó suy ra toạ độ điểm A, suy ra toạ độ điểm C.
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh AB  BD . Thật vậy: 
Gọi M là trung điểm của AD suy ra tam giác ABM đều (tam giác cân có một góc 
bằng 600) suy ra BM AM MD 
suy ra tam giác ABD vuông tại B tức là AB  BD .
Đường thẳng EI đi qua 2 điểm E , I nên có phương trình 
 x 2 y 9
 2x 3y 9 3 4 0 .
 2 3 2 2 5 9
 9