Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình - Đại số 10

 MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU..................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài................................................................................1
2. Mục tiêu nghiên cứu:.........................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu........................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................2
PHẦN 2. NỘI DUNG .........................................................................3
I. Cơ sở lí luận.......................................................................................3
II. Thực trạng.........................................................................................4
III. Giải pháp thực hiện .........................................................................4
1.Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ bằng
Phương pháp “chia” để giải phương trình.............................................4
2. Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ bằng 
Phương pháp “chia” để giải bất phương trình.......................................7
3. Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ bằng
 Phương pháp “chia” để giải hệ phương trình.......................................9
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ...........................................11
PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ..................................................14
1.Kết luận ............................................................................................14
2.Kiến nghị..........................................................................................14
 0 - Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
 - Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu về phương trình, bất 
phương trình và hệ phương trình.
 - Nghiên cứu cơ sở lý luận về các phương pháp giải phương trình, bất 
phương trình và hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.
4.2. Phương pháp chuyên gia
 Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý 
kiến làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
4.3. Phương pháp thực tập sư phạm
 Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quy 
trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài 
nghiên cứu.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
 Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu 
được.
 2 Việc giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ có thể xem như là đáng lẽ ra 
ta phải đi theo đường thẳng nhưng ta lại đi theo đường vòng nhưng dễ hơn 
để đi tới đích. 
 II. Thực trạng.
 Học sinh trường THPT 4 Thọ Xuân chủ yếu là con em của các gia 
đình thuần nông, điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nên việc học tập của 
các em còn nhiều hạn chế. Kiến thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài còn 
chậm, chưa tự hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về phương 
trình, bất phương trình và hệ phương trình chưa phân loại và định hình được 
cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi, trong khi đó phương trình 
loại này có rất nhiều dạng. 
 Trong chương trình môn Đại số 10, học sinh đã được tiếp cận với một 
số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đơn giản nhưng sách 
giáo khoa (SGK) chỉ đưa ra những dạng cơ bản. Trong thực tế các bài toán 
giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình rất phong phú và đa 
dạng. Đặc biệt, trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi các em sẽ 
gặp rất nhiều các bài tập về phương trình, bất phương trình và hệ phương 
trình mà chỉ có một số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn 
lủng củng, lan man, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong 
khi trình bày hoặc các em lúng túng không biết áp dụng phương pháp nào để 
giải.
 Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng 
ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày 
cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này.
III. Giải pháp thực hiện.
1.Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải 
phương trình.
Các bước giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).
- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho một biểu thức thích hợp rồi đặt 
ẩn phụ t.
- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t.
- Bước 4: Với t tìm được thỏa mãn điều kiện nếu có, thay trở lại cách đặt tìm 
nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận.
 1 a
Một số cách đặt thường gặp: t ; t ax ...
 x x
Dấu hiệu: Phương trình thường chứa biểu thức dạng: ax2 bx a , ...
Chú ý: Chỉ được chia cho một biểu thức khi biểu thức đó khác 0.
Sau đây là các ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1. Giải phương trình: x2 3x 2 2 x2 x 2 2 x (1).
 4 này giống nhau và phần 2x không còn chứ ẩn nữa? Từ đó ta liên tưởng đến 
việc chia hai vế cho x.
Cách giải: x = 0 không phải là nghiệm của (2), chia hai vế cho x ta được:
 1 1
 x + 3 x = 2
 x x
 1
 Đặt t = 3 x , Ta có : t3 + t - 2 = 0 t = 1 
 x
 1 5
Với t = 1 x = 
 2
Ví dụ 3. Giải phương trình: 10 x2 3x 5 17 x4 15x2 25 (3).
* Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy hình thức phương 
trình quen thuộc nhưng nếu ta dùng phương pháp lũy thừa để giải quyết thì 
khó đạt được kết quả vì sẽ tạo ra phương trình bậc 4 có nghiệm vô tỉ. Do đó 
để giải bài toán này, ta thử xem có thể đặt ẩn phụ được không ?
Trước hết ta cần tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình.
Ta có: 
 2
 x4 15x2 25 x4 10x2 25 25x2 x2 5 5x 2 x2 5x 5 x2 5x 5 
Vì vậy, đại lượng trong căn được biểu diễn thành tích của x2 5x 5 
và x2 5x 5.
Do đó ta thử tìm xem đại lượng ngoài căn có liên quan đến hai biểu thức trên 
không ? Theo cách xác định hệ số bất định.
Ta có: 10x2 30x 50 m(x2 5x 5) n(x2 5x 5) 
 10x2 30x 50 (m n)x2 5(m n)x 5(m n) (*)
 m n 10
 n 2
Đồng nhất hệ số hai vế của (*) ta được: m n 6 .
 m 8
 m n 10
Điều đó có nghĩa là: 10x2 30x 50 8(x2 5x 5) 2(x2 5x 5) .
Đến đây ta đã tìm ra được mối liên hệ giữa các đại lượng có trong phương 
trình.
Cách giải:
- Điều kiện: x R. 
- Ta có: (3) 8(x2 5x 5) 2(x2 5x 5) 17 (x2 5x 5)(x2 5x 5) .
 x2 5x 5
- Đặt t(t 0). . Khi đó phương trình trên trở thành:
 x2 5x 5
 6 Nhận xét x = 0 là nghiệm của bất phương trình.
 1 1
 + Với x 0, BPT x x 4 3
 x x
 1 1
 Đặt t = x x = t2 – 2 (t 2)
 x x
 t 3
 t t 2 6 3 t 2 6 3 t
 Ta có : t 3 hay 2 2 
 t 6 9 6t t
 1 5 1
 x x hay x 4 
 x 2 4
 1
 Kết hợp với đk 0 x hay x 4.
 4
 x x
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 1 (2)
 1 2(x2 x 1)
 (Đề thi khối A năm 2010)
* Phân tích hướng giải: Với bất phương trình này, trước hết chúng ta tìm 
cách biến đổi về dạng bất phương trình không chứa mẫu thức tương tự như 
ví dụ 1.
Cách giải:
Điều kiện : x 0.
 2 
Ta có: 2 1 3 3 2 (*)
 2 x x 1 2 x 1 2 x x 1 0
 2 4 2 
(2) x x 1 2 x2 x 1 2 x2 x 1 x 1 x 
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của bất phương trình.
Chia hai vế của bất phương trình cho x , ta thu được bất phương trình: 
 1 1 
 2 x 1 1 x 
 x x 
 1
Đặt t x .
 x
Bất phương trình trở thành: 2 t2 1 t 1.
 t 1 1
 2 2
 2(t 1) (t 1)
 t 1
 (t 1) 0
 t 1.
 3 5
Với t=1 x 
 2
 8 xy x 1 7y 1 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
 2 2 2
 x y xy 1 13y 2 
 (Đề thi Đại học Khối B-2009).
Phân tích: Nhận thấy đây là hệ phương trình mà mỗi phương trình có bậc x, 
y như nhau nên ta chia lần lượt (1) và (2) cho y và y2 (sau khi xét y=0). Ta sẽ 
nhìn ra ngay cách giải.
Cách giải:
Nhận thấy y= 0 không phải là nghiệm của hệ.
Khi y # 0. Chia phương trình (1) cho y, phương trình (2) cho y2 theo vế.
Hệ phương trình đã cho tương đương với 
 x 1 1 x
 x 7 (x ) 7
 y y y y
 .
 2 x 1 2 1 x
 x 2 13 (x 2 ) 13
 y y y y
 1 x u v 7
Đặt u x , v , hệ phương trình đã cho trở thành .
 2
 y y u v 13
 u 4 u 5
Giải hệ trên được , .
 v 3 v 12
 1 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (3; 1), 1; .
 3 
 3 3
 x 4y y 16x 3 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
 2 2
 1 y 5 1 x 4 
Phân tích: Các phương trình cùng bậc với nhau, phương trình (4) chỉ có bậc 
 1 x
2 ta chia cả 2 vế cho y2 xuất hiện và nên ta chia 2 vế của phương trình 
 y 2 y
 1 x
(3) cho y3 ta cũng sẽ có và ( )
 y 2 y
Cách giải:
Nhận thấy y=0 không là nghiệm của hệ .
 x 1 x 1
 ( )3 4 1 16 .
 2 2
 y y y y
Hệ đã cho tương đương với 2
 1 1 x 
 1 5[ ].
 2 2 
 y y y 
 x 1 u 3 4v 2 1 16uv 2 3' 
Đặt u , v (v 0), hệ đã cho trở thành 
 2 2 2
 y y 4v 5u 1 0 4' 
 10 Tôi đã chọn lớp 10A1 là lớp thực nghiệm (TN) để dạy cho học sinh, 
còn lớp 10A4 là lớp đối chứng (ĐC) chỉ dạy theo sách giáo khoa. Kết quả 
thực nghiệm thu được khi cho hai lớp cùng làm một đề kiểm tra 45 phút về 
giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp 
đặt ẩn phụ:
 Điểm số X
 Lớp n i
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 TN 40 0 0 0 0 3 5 5 11 9 7
 ĐC 40 0 0 0 6 5 10 9 6 3 1
 Bảng tần số các bài kiểm tra
 xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 TN
 0.00 0.00 0.00 0.00 7.50 12.50 12.50 27.50 22.50 17.50
 (%)
 ĐC
 0.00 0.00 0.00 15.00 12.50 25.00 22.50 15.00 7.50 2.50
 (%)
Tần suất (%) ĐC
 30 TN
 25
 20
 15
 10
 5
 0 Điểm
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Từ đồ thị và bảng số liệu phân tích điểm số qua các bài kiểm tra cho thấy:
 Lớp TN: 
 - Điểm giỏi có tỷ lệ 40,00%.
 - Tỷ lệ HS khá chiếm 40,00%.
 - HS trung bình 20,00%, không có yếu kém. 
 Lớp ĐC: 
 - Tỷ lệ HS đạt điểm giỏi là 10,00%. 
 - Tỷ lệ HS đạt điểm khá 37,50%.
 12