Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh xây dựng, mở rộng bài toán Hình học giải tích từ bài toán Hình học phẳng

 1. MỞ ĐẦU
 1.1 Lí do chọn đề tài
 Trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT, kỳ thi tuyển sinh Đại học những năm gần đây 
và nay là kỳ thi THPT quốc gia, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là một 
dạng toán thường xuyên có mặt và gây khó khăn cho học sinh. Đây là phần tiếp nối 
của hình học phẳng ở cấp THCS nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải 
tích. Như vậy mỗi bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng đều mang bản chất 
của một bài toán hình học phẳng nào đó. Tuy nhiên nhiều học sinh còn có tâm lý 
“bỏ luôn, không đọc đề” với những bài toán này. Một số khác chỉ quan tâm tới việc 
tìm lời giải của bài toán đó mà không tìm hiểu bản chất hình học của nó. Chính vì 
các em không phân loại được dạng toán cũng như bản chất nên nhiều khi một bài 
toán tương tự nhau xuất hiện trong nhiều đề thi dưới các cách cho khác nhau mà 
học sinh vẫn không nhận ra được dạng đó đã từng làm. Trước thực trạng đó, tôi xin 
trình bày kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh xây dựng, mở rộng bài toán Hình 
học giải tích từ bài toán Hình học phẳng’'.
 1.2 Mục đích nghiên cứu
 Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp cho học sinh hiểu được bản chất hình học 
phẳng trong bài toán hình giải tích, qua đó biết cách phân loại và giải quyết các bài 
toán hình giải tích.
 1.3 Đối tượng nghiên cứu
 Học sinh lớp 10A4, 10A7, 10A8 trường THPT Lê Hoàn
 1.4 Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu, sách báo.
 - Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc 
học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập SGK.
 -Phương pháp thực nghiệm sư phạm
 1 nhất là sau một kỳ nghỉ hè và trong tâm lý “sợ” phần Hình học, là một điều không 
dễ thực hiện.
 Vấn đề thứ hai: Bài tập phần Hình học giải tích trong mặt phẳng đa dạng và khó 
nên học sinh thường lúng túng khi làm bài tập phần này.
 Vấn đề thứ ba: Trường THPT Hoàn là một trường đóng trên địa bàn trung du, 
học sinh đại đa số là con em nông dân có đời sống khó khăn. Điểm chuẩn đầu vào 
của trường còn thấp, học sinh có học lực trung bình chiếm trên 60% nên tư duy của 
các em còn nhiều hạn chế. Nhiều em còn lúng túng trong việc vẽ hình, cũng như 
việc xác định các yếu tố liên quan, do đó thường dẫn đến kết quả sai.
 -Hệ quả của thực trạng
 Học sinh các lớp tôi dạy ban đầu thường rất sợ và lúng túng khi làm các bài toán 
hình giải tích trong mặt phẳng.
 Năm học 2014-2015, sau khi học xong phần Hình học giải tích trong mặt phẳng, 
tôi tiến hành khảo sát ở các lớp 10A4, 10A7, 10A8 thì thu được kết quả như sau:
 Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm
 Lớp Sĩ số
 9-10 7-8.5 5-6.5 3.5-4.5 0-3
 10A4 46 0 6 15 21 4
 10A7 41 0 3 12 18 8
 10A8 43 0 5 10 16 12
 Từ thực tế trên, với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân, 
tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp các em phân loại và nắm vững 
phương pháp giải các dạng toán tính thể tích khối chóp, có tư duy tốt hơn để tìm ra 
lời giải đúng cho bài toán, qua đó thêm yêu phân môn Hình học không gian nói 
riêng và môn Toán nói chung.
 2.3 Giải quyết vấn đề
 Bài toán gốc 1: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi M , N là chân 
đường cao kẻ từ B và C . Chứng minh IA  MN
 3 A OA  (C) . Giải hệ và do x A 0 nên A(1;-2)
 Lập được phương trình AB (qua A và N) AB: x-1=0
 Lập được phương trình AC ( qua A và M) AC: x+y+1=0
 Lập được phương trình BM ( qua M và vuông góc AM) BM: x-y+1=0
 B AB  BM B(1;2)
 Lập được phương trình CN( qua N và vuông góc AN) CN:y-1=0
 C AC  CN C( 2;1)
 Bài toán 1.2: Cho ABC nội tiếp đường tròn (C): x 2 y 2 5 , đường thẳng AC 
qua K(2;-3). Gọi M, N là chân đường cao kẻ từ B và C của ABC .Xác định tọa độ 
các đỉnh A,B,C biết MN có phương trình x 2y 1 0 và hoành độ của A dương.
 Bài toán 1.3: Cho ABC nội tiếp đường tròn O(0;0). Gọi M(-1;0), N(1;1) là chân 
đường cao kẻ từ B và C của ABC . Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C biết A nằm 
trên đường thẳng 3x+y-1=0.
 Giải:
 Giả sử A(a;1-3a). Ta có AO  MN AO.MN 0 A(1; 2)
 Lập được phương trình AC ( qua A và M) AC: x+y+1=0
 Lập được phương trình AB ( qua A và N) AB: x-1=0
 Lập được phương trình BM ( qua M và vuông góc AM) BM: x-y+1=0
 B AB  BM B(1;2)
 Lập được phương trình CN( qua N và vuông góc AN) CN: y-1=0
 C AC  CN C( 2;1)
 Mở rộng: 
 Hướng 1 : Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I , trực tâm H. Đường thẳng AH 
cắt đường tròn tại D và cắt BC tại M. Ta có M là trung điểm HD
 5 Gọi H là trực tâm ABC . Ta có tứ giác BHCD là hình bình hành nên M là trung 
điểm của HD H (2;0)
 A
 F
 I
 H
 E
 C
 B M
 D
 Lập được phương trình BH (qua H và E) BH : x y 2 0
 Lập được phương trình DC (qua D và song song với BH) DC : x y 6 0
 Lập được phương trình AC (qua F và vuông góc với BH) AC : x y 4 0
 Tọa độ C AC  DC C(5; 1)
 Lập được phương trình BC (qua M và C) BC : y 1 0
 Lập được phương trình AH (qua H và vuông góc với BC) AH : x 2 0
 Tọa độ A AH  AC A(2;2)
 Bài toán 1.6 Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1) bán kính R=5, trực tâm 
 H ( 1; 1) , độ dài BC=8. Viết phương trình BC.
 Giải:
 A
 I
 N
 H
 2
 B M 1 C
 D
 7 Đường thẳng AE: 2x-y-1=0
 Đường thẳng AB ( qua A và vuông góc với EF) AB: y-1=0
 Đường thẳng BH ( qua F và vuông góc với AE) BH: x+2y-7=0
 B BH  AB B(5;1) M (3;1)
 Giải EF 2IM được I(3;3)
 Bài toán gốc 2 Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N là trung điểm các cạnh BC và 
 CD. Chứng minh AM  BN
 Xây dựng bài toán giải tích: Chọn hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh là 
 A(-4;0) ; B(0;4) ; C(4;0) ; D(0; 4) . Ta tính được trung điểm các cạnh BC và CD là 
 M (2;2) ; N(2; 2) . Phương trình các đường thẳng AM: x-3y+4=0; BN: 3x+y-4=0, 
 4 8
tọa độ giao điểm H của AM và BN là H ( ; ) Ta có thể xây dựng thành bài toán 
 5 5
giải tích như sau: 
 Bài toán 2.1 Cho hình vuông ABCD có đỉnh B 0;4 . Gọi M, N lần lượt là trung 
 4 8
 điểm các cạnh BC và CD. Gọi H ( ; ) là giao điểm của AM và BN. Xác định tọa 
 5 5
 độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD, biết điểm A nằm trên đường thẳng 
 : x 2y 4 0 .
 Giải
 A B
 H M
 C
 D N
 A : x 2y 4 0 A( 2a 4;a)
 9 Bài toán 2.3 Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại B và C) có AB = BC=2CD 
 4 8
và đỉnh A 4;0 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC; Điểm H ( ; ) là giao điểm 
 5 5
của AM và BD. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang, biết điểm D nằm 
trên đường thẳng x 2y 2 0.
Giải
 A
 D
 H
 C
 B M
D : x 2y 2 0 D( 2a 2;a)
HD  AH a 2 D(2; 2)
 BM BH 1 1
Ta có tan BAM BH AH
 BA AH 2 2
Lập được phương trình đường thẳng BH(đi qua H và vuông góc với AH) 
 BH : 3x y 4 0
 1 8 4
Gọi B(b;4 3b) BH . Từ BH AH B(0;4) Hoặc B( ; )
 2 5 5
Vì H nằm giữa B và D B(0;4)
 1
Gọi C(x ; y ) . Ta có CD BA C(4;0)
 C C. 2
Vậy A(-4;0) ; B(0;4) ;C(4;0) ; D(2; 2)
Hướng 2 : Dựng thêm các điểm mới: 
Bài toán 2.4 Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M 2; 2 là 
 1
trung điểm của cạnh AC. Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN BC ; Điểm 
 4
 11 tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm B nằm trên đường thẳng 
x 2y 6 0 .
Giải
 D C
 H
 E
 A B
B : x 2y 6 0 B( 2a 6;a)
BH  HE a 2 B(2;2)
 1
BE BC EC 3BE C( 2; 2)
 4
Đường thẳng AE (qua H và E): 3x y 4 0
Đường thẳng BD (qua B và H): x 3y 4 0
Gọi A b;4 3b AE
Ta có AB  B b 0 A(0;4)
Ta có AD BC D( 4;0)
Vậy A(0;4); B(2;2) ;C( 2; 2) ; D( 4;0)
 BC
Hướng 4: Từ cosNBC 2 5 Ta có:
 BN
Bài toán 2.6 Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các 
 4 8
cạnh BC và CD; Điểm H ( ; ) là giao điểm của BN và AM. Xác định tọa độ các 
 5 5
đỉnh của hình vuông ABCD, biết phương trình đường thẳng BC : x y 4 0 và 
điểm C có hoành độ dương.
Giải
 13 Vậy A(-4;0) ; B(0;4) ;C(4;0) ; D(0; 4)
 2
Hướng 5: Từ BH BN Ta được
 5
Bài toán 2.7 Cho hình vuông ABCD có đỉnh B 0;4 . Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm các cạnh BC và CD; đường thẳng AM đi qua điểm E 5;3 . Xác định tọa độ 
các đỉnh còn lại của hình vuông; biết N có tung độ âm và nằm trên đường thẳng 
x 2y 6 0 .
Giải
 A B
 E
 H M
 C
 D N
N x 2y 6 0 N(2a 6;a)
 a 2
Ta có EH  BH 33
 a 
 10
 4 8
 N(2; 2); H ( ; )
 5 5
Đường thẳng AM (đi qua H và E): x 3y 4 0
Gọi M (3b 4;b) AM
M là trung điểm BC C(6b 8;2b 4)
 b 2
BC  NC 6
 b 
 5
TH1: Với b=2 M (2;2) C(4;0) D(0; 4) A( 4;0)
 15 6 4 8 24 12 28 16
 TH2: Với c C( ; ) D( ; ) A( ; )
 5 5 5 5 5 5 5
 28 16 4 8 24 12
 Vậy A( 4;0) ; B 0;4 ; C(4;0); D(0; 4) hoặc A( ; ); B(0;4);C( ; ); D( ; )
 5 5 5 5 5 5
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản 
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Năm học 2015-2016, sau khi áp dụng kinh nghiệm trên vào việc dạy cho Học sinh, 
tôi đẫ thu được một số kết quả khả quan:
 Lớp Sĩ số Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm 
 9-10 7-8.5 5-6.5 3.5-4.5 0-3
 10A5 45 2 18 18 9 0
 10A7 43 1 13 20 9 0
Kết quả trên cho thấy hiệu quả của việc thực hiện sáng kiến vào dạy học, qua đó 
tạo niềm tin và hứng thú của Học sinh trong việc học phân môn Hình học nói 
chung và hình học giải tích trong mặt phẳng nói riêng.
 3. Kết luận, kiến nghị
 -Kết luận: Hình học giải tích trong mặt phẳng là một nội dung quan trọng trong 
chương trình môn toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với 
học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan 
tâm.
 Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10 và luyện 
thi vào Đại học cho học sinh lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, 
giúp HS hiểu và nâng cao khả năng giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng.
-Kiến nghị: Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có 
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu 
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
 Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu 
lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở 
nghiên cứu phát triển chuyên đề.
 17