Sáng kiến kinh nghiệm Khắc phục một số khiếm khuyết khi giải phương trình vô tỉ

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC MÃ SKKN
 TRUNG TÂM GDTX&DN TAM ĐẢO 47.52.01
 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 CẤP: CƠ SỞ ; TỈNH: 
Tên sáng kiến kinh nghiệm: khắc phục một số khiếm khuyết khi giải 
phương trình vô tỉ
 Môn/nhóm môn: Toán
 Tổ bộ môn: KHTN
 Mã môn: 52
 Người thực hiện: Hà Văn Chung 
 Điện thoại: 0974267185 Email: hachung1986@gmail.com
 Vĩnh Phúc, năm 2016
 1 PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Môn Toán có vị trí quan trọng đặc biệt trong các môn học ở nhà trường phổ 
thông, nó là cơ sở của nhiều môn học khác.
 Phương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học vì toán 
học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế 
giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa hai đại lượng là một 
quan hệ số lượng cơ bản. Các nhà toán học cổ điển như: Viet, Điôphăngđã 
phát triển lý thuyết phương trình thành lý thuyết đại số và số học cổ điển. 
Phương trình trở thành cơ sở của nội bộ môn toán. Các ngành khoa học khác 
như: Vật lý, Hóa học, Kỹ thuật tính toánkhông thể thiếu kiến thức về phương 
trình (ví dụ như: cân bằng phương trình hóa học, các bài toán vật lý về chuyển 
hóa năng lượng) Khi giải quyết mọi vấn đề trong đời sống thực tế thường dẫn 
đến giải một bài toán phương trình.
 Thông qua giải phương trình sẽ củng cố và đào sâu kiến thức về tập hợp, 
logic toán, các phép biến đổi đồng nhất, hàm sốTừ đó rèn luyện tư duy và khả 
năng sáng tạo cho học sinh.
 Trong thực tế dạy học, phương trình được đưa vào phổ thông ngay từ lớp 
đầu tiên một cách ẩn tàng, lúc đó các em chưa học, chưa biết khái niệm phương 
trình. Lên lớp 8 phương trình được đưa vào một cách tường minh. Phương trình 
vô tỷ được đưa vào chương trình bắt đầu từ lớp 9.
 Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em 
học sinh đã được tiếp cận với phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới 
dấu căn cũng như cách giải một vài dạng toán cơ bản của phần này. Tuy nhiên 
trong thực tế các bài toán giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới 
dấu căn rất phong phú và đa dạng. Đặc biệt, trong các đề thi Đại học - Cao đẳng 
- THCN các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình, bất phương trình 
vô tỉ mà chỉ có một số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng 
củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không 
đáng có trong khi trình bày.
 Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao, phần phương trình vô tỷ chỉ là một 
mục nhỏ trong bài: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai của 
chương IV. Trong SGK Đại số lớp 10 thậm chí phần phương trình vô tỷ chỉ 
điểm qua rất sơ sài trong bài: Phương trình quy về bậc nhất,bậc hai của chương 
III. Tóm lại ở các SGK thời lượng dành cho phần này rất ít, các ví dụ và bài tập 
trong phần này cũng rất hạn chế và chỉ ở dạng cơ bản. Nhưng trong thực tế, để 
 3 Phân I: Mở đầu gồm lý do chon đề tài, mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên 
cứu, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu. 
Phần II: Nội dung gồm cơ sở lý luận, thực trạng vấn đề và Khắc phục những sai 
lầm khi học sinh giải phương trình vô tỉ
Phần III: Kết luân và kiến nghị
 PHẦN II. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
 Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT, BTTHPT là hoạt động dạy của thầy 
và hoạt động học của trò. Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cố những 
kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học là 
việc làm rất cần thiết. 
 Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở 
môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào 
từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học 
sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy, ttrong quá trình dạy học 
giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một 
cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết phân dạng bài tập 
và giải một bài tập với nhiều cách khác nhau. 
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ.
 Bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ học sinh chỉ được học 
trong chương trình Đại số 10. Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này này rất 
ít, học sinh không được tiếp cận nhiều dạng toán khác nhau. Trong SGK Đại số 
lớp 10 chỉ đưa ra dạng cơ bản: A B . Tuy nhiên, trong thực tế phương trình và 
bất phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú. Trong quá trình học Toán ở lớp 
11 và 12, khi gặp phải những bài toán đưa về phương trình vô tỉ, đa số học sinh 
đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải. Đặc biệt, các đề 
thi Đại học - Cao đẳng các em sẽ gặp phương trình vô tỉ ở nhiều dạng khác nhau 
chứ không chỉ nằm trong khuôn khổ dạng trên, hơn nữa đối tượng học sinh của 
tôi đa phần có lực học trung bình và yếu về kiến thức. Vì vậy, tôi nghĩ việc giúp 
cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương pháp giải 
phương trình và bất phương trình vô tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu 
thực tế hiện nay. Một điều rất quan trọng là trong quá trình giải phương trình và 
bất phương trình vô tỉ, giáo viên cần phải lưu ý cho học sinh các sai lầm thường 
mắc phải và phân tích nguyên nhân sai lầm để các em hiểu sâu hơn nhằm có 
được một bài giải tốt sau này.
 5 x2 1 0 (x 1)(x 1) 0 x 1 0
 x 1 0 x 1 0 x 1 0
 x 1
 x 1
 x 1
Khi đó (1) (x 1)(x 1) x 1 x 1
Do x 1 nên chia hai vế cho x 1 ta có
 x 1 1 x 1
Với x 1 ta có x 1 x 1 x 1 1 x 1 do đó phương trình đã cho vô 
nghiệm.
- Sai lầm ở đây là do:
+ Thói quen thường gặp của học sinh đầu cấp THPT vẫn còn ảnh hưởng bởi việc 
phân tích một biểu thức thành nhân tử rồi phân chia các trường hợp để xét dấu 
các nhân tử theo cách làm ở cấp THCS. Sở dĩ ở cấp THCS phải làm vậy vì các 
em chưa được học định lý về dấu của tam thức bậc hai.
+ Sau khi phân tích biểu thức ban đầu thành nhân tử, cộng với kiến thức về biến 
 AB 0 A 0
đổi tương đương còn chưa tốt, các em dễ mắc sai lầm sau 
 A 0 B 0
-Biện pháp khắc phục sai lầm như trên:
+ Giáo viên yêu cầu học sinh ghi nhớ:
 A 0 A 0
 AB 0 B có nghiã AB 0 B có nghiã
 , tương tự .
 A 0 A 0 A 0 A 0
 B 0 B 0
+ Tuy vậy điều vừa nói ở trên là về mặt kiến thức, còn khi thực hành giáo viên 
dạy cho học sinh giải điều kiện là một bất phương trình bậc hai một cách gọn 
gàng, dễ làm bằng Định lý về dấu của tam thức bậc hai chứ không phân tích một 
tam thức bậc hai thành tích hai nhị thức bậc nhất như lời giải sai ở trên. Giáo 
viên lưu ý thêm cho học sinh: Sau khi giải triệt để điều kiện xác định thì nên dựa 
vào điều kiện xác định để phân ra các trường hợp nhằm xét dấu các biểu thức 
dưới căn bậc hai( hoặc một căn bậc chẵn ), khi đó có thể giúp ta rút gọn 2 vế 
phương trình, đánh giá các vế của phương trình
 7 (x 1)2 (x 2) 0 x 2 0
- Biện pháp khắc phục: 
 + Học sinh lực học yếu và trung bình rất hay nhầm rằng: A2 0,A R , 
vì lẽ đó nên khi gặp một vế có nhân tử dạng A2 các em này thường rút gọn một 
cách hết sức ngây thơ mà bỏ qua trường hợp A 0 . Do đó khi có một nhân tử là 
 A2 nằm ở một vế của bất phương trình mà ta đang giải để tìm điều kiện xác định 
thì giáo viên cần cho học sinh phân làm hai trường hợp:
 A 0 và A 0 A2 0 , để từ đó tìm ra được điều kiện chính xác đối với nhân tử 
còn lại.
Lời giải đúng:
 Điều kiện để căn thức có nghĩa:
 x3 3x 2 0 x3 3x 2 0 (x 1)2 (x 2) 0
 x 1 0 x 1 x 1
 x 1
 x 2 x 1
 x 1
 Thử x 1vào phương trình ta có 2 2 nên x 1 là nghiệm duy nhất.
 Ở ví dụ trên ta thấy việc giải điều kiện xác định cũng gần như đồng nghĩa 
với việc giải bất phương trình. Vì vậy ở những dạng bài kiểu này giải đúng điều 
kiện xác định nghĩa là làm được bài toán. Tiếp tục xoay quanh vấn đề trên, giáo 
viên lưu ý thêm cho học sinh: Nếu ở điều kiện trên bỏ đi dấu =, ta được bất 
phương trình: A2 B 0 thì có gì khác trước?
Bây giờ thì học sinh sẽ hiểu rằng: Nếu A 0 thì bất phương trình này vô 
nghiệm, nếu A 0 A2 0 , bất phương trình trở thành: B 0
b) Sai lầm khi đặt điều kiện để biến đổi phương trình
+Sai lầm khi giải phương trình dạng f (x) g(x)
 Trong khi giải phương trình f (x) g(x) học sinh thường biến đổi như 
sau:
 f (x) g(x) f (x) g 2 (x) , hoặc đỡ nhầm hơn một chút thì 
 9 Lời giải đúng:
 x 0 x 0
 x x 2
 2 2
 x x 2 x x 2 0
 x 0
 x 1 x 2
 x 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x 2 .
c) Sai lầm khi giải phương trình vô tỷ chứa căn bậc lẻ.
 Các bài toán giải phương trình vô tỷ chứa căn bậc lẻ chủ yếu gặp dưới 
dạng căn bậc 3.
 Đối với học sinh yếu, trung bình: Giáo viên lưu ý cho học sinh mọi biểu 
thức có nghĩa đều tồn tại căn bậc lẻ, nhớ rằng không được nhầm lẫn mà buộc 
điều kiện biểu thức nằm dưới dấu căn bậc lẻ phải không âm.
 Có lẽ phương trình chứa căn bậc lẻ thường gặp hoặc thường biến đổi rồi 
đưa được về phương trình dạng 3 f (x) 3 g(x) 3 h(x) (1) , gặp phương trình này 
học sinh thường biến đổi như sau
 (1) f (x) g(x) 3 3 f (x)g(x)( 3 f (x) 3 g(x)) h(x) (2)
 Sau khi giải xong phương trình (2) học sinh kết luận luôn nghiệm của (2) 
là nghiệm của (1).
-Các sai lầm mắc phải:
 + Học sinh luôn quan niệm căn bậc lẻ thì không có điều kiện xác định 
nhiều và phức tạp như căn bậc chẵn, thậm chí điều kiện xác định là mọi giá trị x
 R nên cứ thoải mái biến đổi, thay thế ta sẽ được các phương trình tương đương 
với phương trình ban đầu.
 + Ở bài dạng toán trên sai lầm của học sinh là coi rằng (1) và (2) là hai 
phương trình tương đương nhưng thực ra hai phương trình đó không tương 
đương vì ta đã thay thế 3 h(x) bởi 3 f (x) 3 g(x) .
-Biện pháp khắc phục
 Thực tế cho thấy ngay cả học sinh khá cũng có thể mắc phải sai lầm này. 
Do đó để khắc phục sai lầm cho học sinh, giáo viên nhấn mạnh rằng (1) và (2) 
 11 khi giải phương trình dạng f (x) g(x) ( bằng phương pháp bình phương hai vế). 
Ta xét một ví dụ cụ thể:
Ví dụ 5: Giải phương trình
 x 3x 1 2x 1
Lời giải sai của học sinh:
 x 0
 x 3x 1 2x 1(1) 3x 1 0
 2
 ( x 3x 1) 2x 1
 x 0
 1 x 0
 x 
 3 x 1 x(3x 1)
 4x 1 2 x(3x 1) 2x 1
 x 0 x 0
 x 1 0 x 1
 2 2 2
 x 2x 1 3x x 2x x 1 0
 x 0
 x 1
 x 1
 1
 x 
 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x 1.
Có thể thấy ngay x 1 không phải là nghiệm của phương trình.
-Học sinh này phạm những sai lầm sau:
 Sở dĩ em học sinh này chỉ đặt 2 điều kiện x 0 , 3x+1 0 vì quan niệm rằng 
 2x 1 ( x 3x 1)2 sẽ dẫn tới 2x-1 không âm, nên không cần đặt điều kiện 2x-
1 0 nữa. Thậm chí nếu đặt thêm điều kiện 2x-1 0 thì vẫn sai vì điều kiện này 
 1
kết hợp với 2 điều kiện trên sẽ cho ta: x , điều kiện này dẫn tới ta không loại 
 2
được nghiệm x =1.
 Sai lầm nằm ở chỗ chưa biết 2 vế có cùng dấu hay không mà đã bình 
 1
phương, cụ thể là nếu được thoả mãn điều kiện x thì vế phải không âm, còn
 2
 x 3x 1 thì chưa xác định dấu.
 13