Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác một số bài toán gốc nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh lớp 10

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 ĐỀ TÀI
KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN GỐC NHẰM 
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TOÁN 
 CHO HỌC SINH LỚP 10
 Lĩnh vực: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN MỤC LỤC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI....1
II. NỘI DUNG.......2 
II.1. Từ một bài toán đơn giản đến việc tìm tòi và ứng dụng nó trong giải toán......2
II.1.1. Bài toán cơ bản 1.......2
II.1.2. Bài toán cơ bản 2...7
III.1.3.Bài toán cơ bản 3......12
II.2. Một vài kinh nghiệm đúc kết qua việc dạy học sinh khai thác bài toán 
gốc nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh lớp 10........................17
III. KẾT LUẬN......................................................................................................16
III.1. Đối với giáo viên...16
III.2. Đối với học sinh....17
TÀI LIỆU THAM KHẢO..18 II. NỘI DUNG
II.1. Từ một số bài toán đơn giản đến việc tìm tòi và ứng dụng nó trong giải 
toán.
II.1.1. Bài toán cơ bản 1 Cho G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi 
    
 GA GB GC 0 (I)
 (SGK Hình học 10, tr. 11-NXBGD)
Chứng minh: A
Gọi M là trung điểm BC
    
Ta có: GA GB GC 0
    
 GA GB GC G
      
 GA 2GM GA 2GM 0 B
 M C
 G là trọng tâm tam giác ABC 
  
Nhận xét 1: Như vậy để chứng minh bài toán trên ta biểu thị GA qua 2 vectơ 
   
 GB,GC. Chúng ta nhận thấy G là trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc miền trong 
tam giác ABC, vì thế G chia diện tích tam giác ABC thành 3 phần bằng nhau có 
diện tích là S1, S2, S3 lần lượt là diện tích tam giác GBC, GCA, GAB và bằng 
 1    
 S Vì vậy từ (I) S GA S GB S GC 0 . Điều này cho ta liên tưởng giả 
 3 ABC 1 2 3
sử G là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác ABC. Khi đó ta có thể vận dụng 
phương pháp chứng minh bài toán gốc trên để chứng minh cho bài toán sau, qua 
việc biểu thị một vectơ qua hai vectơ khác.
Bài 1: Cho ABC, M thuộc miền trong tam giác. Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích 
tam giác MBC, MAC, MAB.
    
 Chứng minh rằng: S1 MA S2 MB S3 MC 0 (1)
Giải: Như vậy để chứng minh bài toán 1, ta vận dụng phương pháp biểu thị một 
vectơ qua hai vectơ còn lại
  S  S  
 Ta có (1) MC 1 MA 2 MB
 S3 S3
Kéo dài AM, MB cắt BC, AC lần lượt tại A, B . Dựng hình bình hành MB'CA' 
    1 1
 MC MA' MB'
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu A, C lên BM
 2 Nhận xét 3: Nếu ta nhìn các cạnh dưới "góc độ" góc, thì ta lại có bài toán sau.
Bài 3: Cho ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC. Đặt AB = c, BC = a, 
    
CA = b. Chứng minh rằng: IAsinA IBsinB ICsinC 0
Nhận xét 4: Ta thấy vị trí M thuộc miền trong tam giác, vậy ABC nhọn thì tâm O 
đường tròn ngoại tiếp ABC thuộc miền trong. Do đó, ta có bài toán mới.
Bài 4: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi O là tâm đường tròn ngoại 
tiếp ABC. Chứng minh rằng: OAsin2A OBsin2B OCsin2C 0 (4)
Nhận xét 5: Từ kết quả bài 2, nếu ta bình phương vô hướng (2) khi đó xuất hiện 
         1
 IA.IB,IB.IC,IC.IA . Và sử dụng công thứcA B.AC (AB2 AC2 BC2 ) .
 2
      
 (Thật vậy CB (AB AC) CB2 (AB AC)2 ). 
 Ta lại có bài toán mới sau.
Bài 5: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp 
 IA2 IB2 IC2
 ABC. Chứng minh rằng: 1 (5)
 bc ca ab
    
Giải vắn tắt: Từ (2) (aIA bIB cIC)2 0
       
 a2IA2 b2IB2 c2IC2 2cbIA.IB 2caIC.IA 2abIA.IB 0
 1
 a2IA2 b2IB2 c2IC2 2ab (IA2 IB2 a2 ) 
 2
 1 1
 2ca (IC2 IA2 b2 ) 2ab (IA2 IB2 c2 ) 0
 2 2
 (a2 + ab + ac) IA2 + (b2 + ba + bc) IB2 + (c2 + ca + cb) IC2 - abc(a + b + c) = 0.
 a(a + b + c) IA2 + b(a + b + c) IB2 + c(a + b + c) IC2 = abc (a + b + c)
 aIA2 + bIB2 + cIC2 = abc.
 IA2 IB2 IC2
 1.
 bc ca ab
Nhận xét 6: Từ công thức (2) nếu ta thay I bởi M bất thì ta luôn có 
    
(aMA bMB cMC)2 0 và biến đổi hoàn toàn tương tự như bài toán 5, ta suy ra 
aMA2 + bMB2 + cMC2 abc (***)
 Dễ thấy dấu "=" xảy ra M  I. Từ đó ta có thể vận dụng giải bài toán sau:
 4 B'
Dựng hình bình hành HB' CA' A
    B1
 HC HA' HB'
 H
 CB' B C a cosC
Ta có: 1 
 AH AB1 ccosA
 B C
 A1
   a cosC  
 HA' CB' HA (9')
 ccosA
   bcosC  A'
tương tự HB' CA' HB (9'')
 ccosB
  a cosC  bcosC  
Từ (9') và (9'') ta suy ra HC HA HB
 ccosA ccosB
 a  b  c  
 HA HB HC 0
 cosA cosB cosC
 1  1  1  
 HA HB HC 0
 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2
Nhận xét 10: Qua việc giải quyết các bài toán trên, ta thấy rằng điểm M luôn thuộc 
miền trong tam giác. Đây có thể là vấn đề đặc trưng, cái mấu chốt cho các bài dạy 
thuộc loại trên. Khi gặp các bài toán có liên quan đến điểm M và các vectơ, hay 
cạnh. Giáo viên có thể hướng cho các em học sinh cách liên tưởng định lý đã học. 
Các độc giả có thể từ bài toán cơ bản trên khai thác thêm vận dụng sáng tạo, giải 
quyết bài toán thuộc loại này, hay sử dụng các bài toán cơ bản khác. Việc khai thác 
tiềm năng Sách giáo khoa là điều cực kỳ quan trọng.
II.1.2. Bài toán cơ bản 2: Chứng minh rằng nếu a 0 , b 0 thì 
 a 3 b3 ab(a b) .(II) Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh.
Cách 1: (II) a 3 a 2b b3 ab 2 0
 a 2 (a b) b 2 (a b) 0
 (a b)(a 2 b 2 ) 0
 (a b) 2 (a b) 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
 6 Áp dụng bất đẳng thức (II) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có
 a3 b3 a4 b4 ab(a b) 2a2b2 2 a b
 1 (đpcm).
 2 a b 2 a b 2 a b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Bài 4: Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 
 3 3 3 1 1 1 3 b c c a a b 
 (a b c ) 3 3 3 
 a b c 2 a b c 
 Chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức (II) ta được a3 + b3 ≥ ab(a + b)
 b3 + c3 ≥ bc(b + c) 
 a3 + c3 ≥ ac(a + c)
 Suy ra 2(a3 + b3 + c3) ≥ bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) (1) 
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được 
 1 1 1 3
 (2)
 a 3 b3 c 3 abc
Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 5: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3
 a b c .
 ab 3b2 cb 3c2 ac 3a2
 Chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức (II) ta có 
 a3 + b3 – 6b3 ≥ ab(a + b) - 6b3 = b(a2 + ab - 6b2) = (ab + 3b2)(a - 2b)
 5b3 a 3 (ab 3b3 )(2b a)
 5b3 a 3
 2b a
 ab 3b 2
 5c 3 b3 5a 3 c 3
Tương tự 2c b , 2a c
 cb 3c 2 ac 3a 2
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được điều phải chứng minh. 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
 8 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz = 3. (2) 
Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y =z =1 
Bài 8: Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng 
 1 1 1 1
 .
 a 3 abc b3 b3 abc c 3 a 2 abc c 3 abc
 Chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức (II) ta được a3 + b3 ≥ ab(a + b)
 a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
 1 c
 a 3 abc b3 abc(a b c)
 1 a 1 b
Tương tự , 
 b3 abc c 3 abc(a b c) a 2 abc c 3 abc(a b c)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét 3: Nếu ở bài toán trên chứng ta cộng điều kiện nữa abc=1. ta có bài toán 
mới sau đây.
Bài 9: Cho a, b, c là ba số thực dương và abc=1. Chứng minh rằng 
 1 1 1
 1.
 a3 b3 1 b3 c3 1 a3 c3 1
Nhận xét 4: Nếu ta lại đặt a3 = x; b3 = y; c3 = z. Ta lại có bài toán mới sau.
 Bài 10: Cho x, y, z là ba số thực dương và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 1 1 1
 1.
 x y 1 y z 1 z x 1
Nhận xét 5: Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1. Ta lại có bài toán mới khó hơn
Bài 11: Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh rằng 
 1 1 1 1
 .
 x y 3 xzy y z 3 xyz z x 3 xyz 3 xyz
 a3 b3 c3
Bài 12: Cho a, b, c >0 thoả mãn 1.
 a2 b2 ab b2 c2 bc a2 c2 ca
 10 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = . = an .
 Áp dụng bất đẳng thức (II) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các 
bất đẳng thức sau.
Nhận xét 8: Từ những ví dụ minh hoạ thêm chúng ta có thể khai thác bài toán trên 
bằng nhiều cách nhiều hướng khác nhau. Biết nhìn nhận vấn đề trong nhiều hướng 
khác nhau. Để làm được điều đó ắt hẳn người Giáo viên phải tìm mọi cách hướng 
dẫn khai thác các ứng dụng của nó dưới nhiều góc độ. Chẳng hạn ta có bài toán cơ 
bản sau đây.
III.1.3. Bài toán cơ bản 3: Chứng minh rằng nếu a 0 , b 0 thì 
 a 4 b 4 ab(a 2 b 2 ) .(III) . Đẳng thức xảy ra khi nào ? 
 Chứng minh.
(III) a 4 b 4 a 3b ab3 0
 a 3 (a b) b3 (a b) 0
 2 2
 (a b)(a b)(a ab b ) 0
 (a b) 2 (a 2 ab b 2 ) 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài 1: (bài toán tổng quát).
 *
Cho a1, a2,.,an là các số thực không âm, n N . Chứng minh rằng
 n+2 n+2 n+2 2 2 2
 a1 + a2 + . + an ≥ a1a2.an(a1 + a2 + . + an ).
Chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n + 1 số thực không âm ta có
 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 3
 a1 + a1 + a1 + a2 + . + an ≥ (n + 2)a1 a2.an
 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 3
 a1 + a2 + a2 + a2 + . + an ≥ (n + 2)a1a2 a3.an 
 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 3
 a1 + a2 + .+ an + an + an ≥ (n + 2)a1a2.an
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = . = an .
 Áp dụng bất đẳng thức (III) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các 
bất đẳng thức sau.
 a a b b
 Bài 2: Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng a b .
 b a
 Chứng minh.
 12