Sáng kiến kinh nghiệm Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức

 MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu ..................................................................................................................................2
2. Tên sáng kiến..................................................................................................................................2
3. Tác giả sáng kiến ...........................................................................................................................2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến.........................................................................................................2
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến ........................................................................................................2
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2017.....................3
7. Mô tả bản chất của sáng kiến......................................................................................................3
 7.1. Các bước thực hiện sáng kiến ..............................................................................3
 7.2. Nội dung sáng kiến...............................................................................................3
 7.3. Khả năng áp dụng của sáng kiến........................................................................21
8. Những thông tin cần được bảo mật: Không có ....................................................................21
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: .....................................................................21
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo 
ý kiến của tổ chức, cá nhân............................................................................................................22
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến 
lần đầu (nếu có): ...............................................................................................................................22
 1 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2017.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
 7.1. Các bước thực hiện sáng kiến 
 Bước 1: Xây dựng nội dung sáng kiến.
 Bước 2: Áp dụng sáng kiến trong hoạt động dạy học.
 Bước 3: Chỉnh sửa, bổ sung, rút kinh nghiệm.
 Bước 4: Nhân rộng sáng kiến.
 7.2. Nội dung sáng kiến
 7.2.1. Các dạng liên hợp cơ bản
 A B
 • A B A 0, B 0 
 A B
 A B 2
 • A B A 0, B 0 
 A B
 A B
 • 3 A 3 B 
 3 A2 3 A.B 3 B 2
 A B
 • 3 A 3 B 
 3 A2 3 A.B 3 B 2
 A3 B
 • A 3 B 
 A2 A3 .B 3 B 2
 A3 B
 • A 3 B 
 A2 A3 .B 3 B 2
 7.2.2. Nội dung của phương pháp nhân chia liên hợp
 Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp cơ bản khi giải phương trình vô tỉ cho ta kết 
quả nhanh gọn. Mục tiêu của phương pháp này như sau:
 - Giả sử nhẩm được nghiệm của phương trình là x a .
 - Nhân liên hợp một cách hợp lý sao cho xuất hiện nhân tử x a và đưa phương 
 trình về dạng: (x a).g(x) 0 .
 Thông thường ta chứng minh được g(x) 0 hoặc g(x) 0 (Với mọi x thuộc K là 
tập điều kiện xác định của phương trình). Trong trường hợp khó chứng minh phương trình 
g(x) 0 vô nghiệm, đòi hỏi khéo léo xử lý phương trình bằng công cụ bất đẳng thức, đạo 
hàm, 
 Khi vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải thành thạo phương trình vô tỉ thì kĩ 
thuật này là công cụ hiệu quả để giải hệ phương trình chứa ẩn trong dấu căn cho ta kết quả 
nhanh gọn.
 3 (2) 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 2 x2 3x 4
 2x 4 3x 6
 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 2 x2 3x 4
 2 3
 x 2 0
 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 2 x2 3x 4 
Mặt khác, ta có:
 2 3
 > 0 với mọi x
 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 2 x2 3x 4
Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
 2 x2 7x 10 x x2 12x 20 (3)
Phân tích:
Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có 
thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử x 1 . Vì biểu thức 
dưới dấu căn là tam thức bậc hai nên để xuất hiện nhân tử (x 1) , ta thực hiện phân tích 
như sau:
Xét: x 2 7x 10 (x a) 0 , cho x 1 ta được a 1 
 biểu thức liên hợp x 2 7x 10 (x 1) .
Xét: x 2 12x 20 (x a) 0 , cho x 1 ta được a 2 
 biểu thức liên hợp x 2 12x 20 (x 2) .
Giải:
3 2 x2 7x 10 x 1 x2 12x 20 x 2 (4)
 18 x 1 16 x 1 
 x2 7x 10 x 1 x2 12x 20 x 2
 x 1
 9 8
 (*)
 x2 7x 10 x 1 x2 12x 20 x 2
(*) 8 x2 7x 10 9 x2 12x 20 x 10
Đến đây ta có hai hướng giải quyết:
Hướng 1: Bình phương hai vế(không khả thi).
 5 2 9x 2 3x 1 3x 2 9x 2 3x 1 a 2 2a 4
Ta đặt a 3 162x3 2 suy ra: 
 a 2 2a 4 a 3x a
 1 4 1 a 2 a 1
 2 3x 1 a 2 3x 1 1 3x x 
 3x a 3x 2 a 2 3
 1
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x .
 3
Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 
 x2 12 5 3x x2 5
Phân tích:
Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Như vậy phương trình đã cho có thể 
phân tích được về dạng x 2 Q x 0.
Giải: Phương trình đã cho tương đương với:
 x2 12 4 3x 6 x2 5 3
 x2 4 x2 4
 3 x 2 
 x2 12 4 x2 5 3
 x 2 x 2 
 x 2 3 0
 x2 12 4 x2 5 3 
 x 2
 x 2 x 2
 3 0(*)
 x2 12 4 x2 5 3
 1 1 x 2 x 2
Do 0 nên (*) vô nghiệm.
 x2 12 4 x2 5 3 x2 12 4 x2 5 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 6: Giải phương trình
 5x 1 3 9 x 2x2 3x 1
Phân tích: Dễ nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, bằng cách phân tích đã 
nêu ở các ví dụ trên ta có thể thực hiện lời giải như sau:
 1
Giải: ĐK: x .
 5
Phương trình đã cho tương đương với:
 5x 1 2 3 9 x 2 2x2 3x 5
 5 x 1 1 x
 2 x 1 2x 5 
 5x 1 2 3 9 x 2 3 9 x 4
 7 x 3 2x 1  8 3x 2 (2 x) 0
 x2 x 1
 x3 2x 1 4 0
 8 3x2 2 x
 2 4 
 x x 1 x 1 0 (*)
 8 3x2 2 x 
 3x
Xét f x 8 3x2 2 x ta có: f ' x 1
 8 3x2
 3x 2
 f '(x) 0 1 x 
 8 3x2 3
Ta có bảng biến thiên:
 6 4 6 2 6 6 4 6
 f x kết hợp với x 0 f x 
 3 3 3
 4 4 2 6 4
 x 1 x 1 1 0
 8 3x2 2 x f x 3 6 4 6
 3
 1 5
Do đó: (*) x 2 x 1 0 x 
 2
 1 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x .
 2
Ví dụ 8: Giải phương trình
 x2 x 1 x 2 x2 2x 2
Giải:
Cũng bằng cách làm tương tự như Ví dụ 7, ta phân tích được như sau:
x2 2x 7 3 x 2 x 2 x2 2x 2 0
 x2 2x 7 x 2 3 x2 2x 2 0
 9 
 x 3 x 3 x 3 x 3 2x 5 
 x 3 1 x 3 0
 2 2 
 2 3 2 x 6
 3 x 1 2 x 1 4 x 1 2 
 x 3 .
Vậy phương trình đã có nghiệm x 3 .
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
1. 2x 1 x2 3x 1 0 ĐS: x 1, x 2 2
Hướng dẫn: pt 2x 1 1 x2 3x 2 0 , nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung x 
– 1.
 11 3 5
2. 3 2 x 2 2x x 6 ĐS: x 3; x 
 2
Hướng dẫn: pt 3 x 2 1 2x 6 x 6 3, nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử 
chung x – 3.
 1 x 2x x2 1
3. ĐS: x 
 x 1 x2 2
 1 x 2x x2
Hướng dẫn: pt 1 1, nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung là 
 x 1 x2
2x 1.
4. 9 4x 1 3x 2 x 3 ĐS: x 6
Hướng dẫn: pt 9 4x 1 5 4 3x 2 x 6
 32 513
5. 2x2 16x 18 x2 1 2x 4 ĐS: x 1; x 
 7
Hướng dân: pt 2x2 16x 18 2x 4 x2 1 0 , nhân chia liên hợp xuất hiện nhân 
tử chung là x2 1 .
7.2.4. KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA 
ẨN TRONG DẤU CĂN
 Kĩ thuật nhân chia liên hợp đã khá hiệu quả đối với một số phương trình chứa ẩn 
trong dấu căn đã nêu ở chương 2, vận dụng kĩ thuật này ta cũng có những cách giải nhanh 
gọn đối với hệ phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho 
dạng toán này:
 11 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
 2 y
 x x y (1)
 3 x y
 2 2
 2(x y ) 3 2x 1 11 (2)
Phân tích: Quan sát hai phương trình trong hệ, ta gặp khó khăn trong việc nhân chia liên 
hợp để xuất hiện nhân tử chung. Kĩ thuật sau sẽ giúp ta “mò” được nhân tử chung:
 y y
Xét phương trình: x 2 x y 3 x y (*) 
 3 x y x 2 x y
 y
Cho x 2 , (*) trở thành 3 2 y , dùng MTCT tìm được y 1.
 2 y
 y
Cho x 3 , (*) trở thành 3 3 y , dùng MTCT tìm được y 2.
 6 y
Từ phân tích trên ta phát hiện quy luật: y x 1
Ta sẽ thêm bớt lượng tử hai vế của (1) để nhân chia liên hợp làm xuất hiện nhân tử 
(x y 1) .
 x 2 x y 0
Giải: ĐK: x y 0
 1
 x 
 2
 y
(1) 3 x y 1 1
 x 2 x y
 x y 1 (x y)(x y 1)
 3 x y 2 3 x y 1 x 2 x y y x 2 x y 
 x y 1 0
 1 (x y)
 0 (3)
 3 2 3 2 2
 x y x y 1 x x y y x x y 
 1
Để ý phương trình (1) nếu y 0 , kết hợp điều kiện x thì x y 0 do đó vế phải của 
 2
(1) âm, suy ra (1) vô nghiệm.
Ta phải có y 0 . Vì vậy phương trình (3) vô nghiệm.
Với x y 1 0 y x 1 thay vào (2) ta được:
 13