Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khai thác yếu tố khoảng cách để giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 3
 --o0o--
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH 
 KHAI THÁC YẾU TỐ KHOẢNG CÁCH 
 ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỌA ĐỘ 
 TRONG MẶT PHẲNG
 Người thực hiện: Nguyễn Lê Thiêm
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
 THANH HOÁ NĂM 2016
 1 A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình toán học phổ thông, các bài toán về tọa độ và ứng 
dụng của nó giữ một vị trí quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi 
tuyển sinh các cấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp Quốc Gia và 
thường xuất hiện dưới dạng là một trong các bài toán khó trong đề. Điều tất 
nhiên khi gặp những bài toán này, học sinh phải mất rất nhiều thời gian, công 
sức để giải quyết nó.
 Trong những năm gần đây, nước ta thực hiện kì thi THPT Quốc gia. 
Những học sinh sử dụng kết quả thi THPT Quốc gia môn Toán để xét tuyển sinh 
Đại học- Cao đẳng cần phải làm được câu tọa độ trong mặt phẳng. Đây là một 
câu hỏi tương đối khó. Để giải được câu hỏi này đòi hỏi học sinh ngoài việc học 
tốt phương pháp tọa độ trong mặt phẳng còn phải có kinh nghiệm và phương 
pháp tìm tòi sáng tạo. Bản thân tôi là một giáo viên nhiều năm dạy các lớp mũi 
nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh khá, giỏi. Nhiệm vụ trọng tâm là 
giúp các em hiểu và vận dụng tốt các kiến thức cơ bản vào giải bài tập, có đủ 
khả năng để tham gia các kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cũng như đạt điểm 
cao trong kì thi THPT Quốc gia.
 Từ thực tiễn giảng dạy và kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học 
nhiều năm, cùng với sự tích lũy kiến thức trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng 
hợp, khai thác nhiều chuyên đề về tọa độ trong mặt phẳng. Trong SKKN này tôi 
xin chia sẻ tới đồng nghiệp, cùng các bạn yêu thích môn toán một kinh nghiệm 
nhỏ để giải bài toán: ‘‘Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khai thác yếu tố 
khoảng cách để giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng”.
2. Mục đích nghiên cứu:
 Qua nội dung đề tài này, tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số 
kinh nghiệm và kỹ năng cơ bản để học sinh có thể khai thác giả thiết của các bài 
toán khó về tọa độ trong mặt phẳng. Đồng thời hình thành cho các em thói quen 
tìm tòi tích lũy và rèn luyện tư duy sáng tạo.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 
 Các vấn đề được nêu trong SKKN này chủ yếu là hướng đến việc khai 
thác một lớp bài toán có giả thiết liên quan đến yếu tố khoảng cách.
 Các nội dung này đã được bản thân thực nghiệm nhiều năm qua các đối 
tượng học sinh. Và đạt hiệu quả cao trong giảng dạy. 
4. Phương pháp nghiên cứu.
 Trong phạm vi của đề tài, tôi đã sử dụng kết hợp các phương pháp như: 
phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, 
nêu ví dụ; phương pháp diễn giải... và nột số phương pháp khác.
 3 IV. PHẦN NỘI DUNG:
Kiến thức chuẩn bị:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. 
- Cho điểm A(xA; yA) và B(xB; yB), khi đó khoảng cách 
 2 2 2 2
 AB xB xA yB yA hoặc: AB xA xB yA yB .
- Cho điểm M(x M; yM) và đường thẳng có phương trình ax by c 0, khoảng 
cách từ M đến được ký hiệu d M ; và được xác định bởi công thức: 
 ax by c
 d M ; M M .
 a2 b2
- Đường thẳng có véc tơ pháp tuyến (VTPT) n a;b và đi qua điểm M x0 ; y0 
có phương trình: a x x0 b y y0 0 .
- Đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: ax by c 0 có phương trình 
dạng: bx ay m 0 .
- Đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có phương trình: x a 2 y b 2 R2 .
Bài toán 1. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A xA; yA cho trước và 
 cách điểm B xB ; yB cố định một khoảng d không đổi.
a. Phương pháp giải:
 - Gọi n a;b (điều kiện a2 b2 0 ) là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của 
 đường thẳng ta có phương trình cần lập: a x xA b y yA 0 
 ax by axA byA 0.
 ax by ax by 
 - Tính khoảng cách từ B đến ta được B B A A d là một 
 a2 b2
 phương trình đẳng cấp bậc hai hai ẩn a và b.
 - Giải phương trình này ta tìm được b theo a hoặc ngược lại; từ đó chỉ 
 ra được VTPT của và lập được phương trình .
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Lập phương trình đường thẳng 
 qua P(2; 5) sao cho khoảng cách từ Q(5; 1) đến đường thẳng đó bằng 3.
Lời giải chi tiết:
Gọi n a;b (điều kiện a2 b2 0 ) là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng 
 ta có phương trình cần lập: a x 2 b y 5 0 ax by 2a 5b 0 .
 a5 b1 a2 b5 
Khoảng cách: d(Q; ) = 5 3 
 a2 b2
 5 - Vân dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, ta có 
 lời giải như sau:
Lời giải:
Xét điểm M(x0; y0) thuộc đường phân giác của góc.
Ta có: d M ;a d M ;b 
 3x0 4y0 5 4x0 3y0 1 x0 7y0 4 0
 3x0 4y0 5 4x0 3y0 1 
 2 2 2 2 7x y 6 0
 3 4 4 3 0 0
Vậy có hai đường thỏa mãn: x 7y 4 0 và 7x y 6 0
Chú ý: 
 - Với lời gải của bài toán, chúng ta tìm được hai phương trình ứng với 
 hai đường phân giác ngoài và trong.
 - Đến đây học sinh cần có kỹ năng để phân biệt được phân giác trong 
 và phân giác ngoài.
Bài 1.2.(TSĐH Khối B-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1; 1) 
 và B(4; -3). Tìm C trên đường thẳng : x – 2y –1 0 sao cho khoảng cách từ 
 C đến AB bằng 6. 
Tìm tòi hướng giải:
- Ta có C thuộc đã biết phương trình 
 do đó ta biểu diễn C qua tham số t. 
- Đường thẳng AB lập được phương 
 trình.
- Sử dụng công thức tính khoảng cách 
 từ điểm đến đường thẳng ta nhận được 
 phương trình ẩn t.
Lời giải chi tiết.
C thuộc suy ra C(2t+1; t).
Phương trình AB: 
 x –1 y –1
 4x 3y 7 0
 4 1 3 1
Theo bài ra khoảng cách từ C đến AB bằng 6,
 t 3
 4 2t 1 3t 7 
 ta có: 6 11t 3 30 27
 32 42 
 11
 43 27 
Vậy có hai điểm C là: C(7; 3) hoặc C ; 
 11 11 
 43 27 
 ĐS: C(7; 3) hoặc C ; 
 11 11 
Chú ý: Bài 1.1 có thể phát biểu cách khác: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(4; -
3) và C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho ABC có diện tích bằng 15. 
Tìm tọa độ điểm C.
 7 16 3 14 59 
Do B AB  IB nên B ; , mà B là trung điểm của AE nên 
 7 7 
 32 3 14 55 
 A ; x 0
 (không thỏa mãn điều kiện A ).
 7 7 
Vậy phương trình AB là: x 2 0 .
Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: 
 ax by c 0 cho trước và cách điểm A x0 ; yo cho trước một khoảng 
 không đổi.
a. Phương pháp giải:
 - Từ giả thiết “đường thẳng vuông góc với đường thẳng d cho trước” 
 ta có phương trình tổng quát của : bx ay m 0 .
 - Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta thiết lập 
 được phương trình tìm hệ số tự do m.
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Lập phương trình đường thẳng vuông 
 góc với đường thẳng d: 4x 3y 0 và cách điểm A(1; 1) một khoảng bằng 
 5.
 Giải:
 vuông góc với đường thẳng d: 4x 3y 0 nên có phương trình: 3x 4y m 0.
A cách một khoảng bằng 5:
 3.1 4.1 m m 18
 d A; 5 5 7 m 25 .
 32 42 m 32
+) Với m = 18 ta có phương trình: 3x 4y 18 0
+) Với m = -32 ta có phương trình: 3x 4y 32 0
Vậy có hai phương trình: 3x 4y 18 0 hoặc 3x 4y 32 0 .
c. Một số bài tập mở rộng.
Bài 2.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 
 x2 y2 6x 2y 6 0 và điểm A(1; 3), đường thẳng d qua A cắt đường tròn 
 tại B và C. Lập phương trình của d sao cho AB + AC nhỏ nhất.
Tìm tòi lời giải:
- Từ gải thiết “AB + AC nhỏ nhất” ta C
 nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức B
 Cauchy cho AB và AC để tìm dấu bằng d
 xảy ra. A(1; 3) I(3; -1)
- Khi đó ta nhìn thấy Bài toán 2.
 9 - Từ đó ta áp dụng Bài toán 2.
Lời giải chi tiết.
 3x y 0 x 0
Tọa độ A là nghiệm của hệ: A 0;0 .
 x 2y 0 y 0
 ·ABC 450
Gọi E là hình chiếu vuông góc của C lên AB , góc nên EC = EB.
AD và AC có VTPT lần lượt là: n1 3; 1 n2 1; 2 .
   
 n1.n2 3.1 1 . 2 2
Suy ra: cos AD; AC   D· AC 450
 2 2 2 2 2
 n1 n2 3 1 . 1 2 
 1
Các tam giác DAC và CBA vuông cân AD DC AB .
 2
 AB CD 2CD CD
Ta có: 15 .AD 15 .C D CD 10 .
 2 2
BC vuông góc với AC: x 2y 0 nên có phương trình: 2x y m 0 .
 2.0 0 m
A cách BC một khoảng 10. 2 2 5 , nên ta có: 2 5 m 10
 22 12
 x 2y 0 x 4
+) Với m = 10 ta có tọa độ C là nghiệm của hệ: (loại, vì 
 2x y 10 0 y 2
yC >0)
 x 2y 0 x 4
+) Với m =- 10 ta có tọa độ C là nghiệm của hệ: (thỏa 
 2x y 10 0 y 2
mãn yC >0)
Vậy phương trình cần lập: 2x y 10 0 .
Chú ý: Đối với bài này, khi đã biết “A cách BC một khoảng 10. 2 2 5 ” ta có 
 thể sử dụng Bài toán 3 để giải:
 Gọi C(2t; t) với t > 0. 
 2 2 t 2
 Ta có: AC 2 5 2t 0 t 0 2 5 .
 t 2
 T = 2 thỏa mãn, suy ra C(4; 2).  
 Đường thẳng BC qua C và vuông góc với AC nên có VTPT n3 2;1 .
 phương trình: 2 x 4 1. y 2 0 2x y 10 0 .
Bài toán 3. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và 
 cách điểm A cho trước một khoảng không đổi r.
a. Phương pháp giải:
Ta có thể giải quyết bài toán này theo hai hướng sau:
 11 Ví dụ 2: (TSĐH Khối D năm 2006) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 
 (C) x2 y2 2x 2y 1 0 và đường thẳng d: x y 3 0 . Tìm điểm M trên d 
 sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), 
 tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
Tìm tòi hướng giải:
-M d: x y 3 0 suy ra M(m; 
 m+3).
 I(1;1)
 I 1;1 
- C xác định bởi 1
 R 1
 M m;m 3 A
- M xác định bởi 2
 R 2 x-y+3=0
- (C) tiếp xúc với (M) khi và chỉ khi M(?;?)
 IM 3
- Giải phương trình ta tìm được m.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn (C): x2 y2 2x 2y 1 0 x 1 2 y 1 2 1, 
Suy ra: (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 1.
Ta có: M d: x y 3 0 suy ra M(m; m+3).
Đường tròn (M) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi IM = 3
 2 2 2 m 1
 m 1 m 3 1 3 m m 2 0 .
 m 2
Với m = 1 ta được M(1; 4).
Với m = -2 ta được M(-2; 1).
c. Một số bài tập mở rộng.
Bài 3.1. (TSĐH Khối A năm 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường 
 thẳng : x y 2 0 và đường tròn (C): x2 y2 4x 2y 0 . Gọi I là tâm của 
 đường tròn (C), M là điểm thuộc . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến 
 đường tròn (C) (A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ M biết tứ giác MAIB có 
 diện tích bằng 10.
Tìm tòi hướng giải: 
Từ giả thiết ta có: x+y+2=0 A
 - Điểm M thuộc đường thẳng : 
 x y 2 0 suy ra M t, 2 t .
 I(2;1)
 M(?;?)
 - SMAIB 2SMIB N BI.MB MB 5 10
 MI 5 .
 - Từ đó ta nhận ra Bài toán 3.
 B
 13