Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp trong giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT SẦM SƠN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KỸ THUẬT NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP TRONG 
 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU 
 CĂN THỨC
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Bích Huệ
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HÓA NĂM 2016 1. MỞ ĐẦU
- Lý do chọn đề tài
 Mục tiêu của giáo dục trung học phổ thông theo Luật Giáo dục quy định: 
“ Giáo dục trung học phổ thông nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những 
kết quả của giáo dục trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông, có những 
hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp, có điều kiện chọn lựa 
hướng phát triển và phát huy năng lực cá nhân, tiếp tục học đại học, cao đẳng, 
trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.”
 Thực hiện mục tiêu chung của giáo dục, chương trình Toán Trung học 
phổ thông (THPT) tiếp nối chương trình Trung học cơ sở (THCS), cung cấp có 
hệ thống vốn văn hóa toán học phổ thông tương đối hoàn chỉnh bao gồm kiến 
thức, kỹ năng, phương pháp tư duy. Chương trình Đại số 10 có nhiệm vụ tổng 
kết, hệ thống lại những kiến thức đã biết ở bậc THCS (về hàm số, về phương 
trình, về bất phương trình) tạo cơ sở vững chắc cho việc học tập toàn bộ chương 
trình Đại số và Giải tích ở các lớp sau.
 Trong các chuyên đề trên, bất phương trình là một trong những chuyên đề 
khó, đặc biệt là bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức (hay bất phương 
trình vô tỷ). Song các bài toán về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức lại 
sử dụng rộng rãi trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi Trung học phổ thông quốc 
gia (THPTQG). Mặt khác, trong đề thi THPTQG bài toán này có mức độ vận 
dụng cao nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài toán. 
 Làm thế nào để học sinh có thể giải tốt hơn, kỹ thuật nào giúp học sinh đơn 
giản hóa bài toán? Đó là câu hỏi đặt ra đối với bản thân tôi khi giảng dạy học 
sinh về chuyên đề này. Và một trong các kỹ thuật tôi xin được chia sẻ trong sáng 
kiến kinh nghiệm này là “Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp trong giải bất 
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức”.
- Mục đích nghiên cứu
 Với lý do trên, mục đích của đề tại là nghiên cứu cách giải bất phương 
trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bằng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp.
 Cách giải một bài toán bất phương trình nói chung là biến đổi tương 
đương bất phương trình thành những bất phương trình tương đương cho đến khi 
được bất phương trình đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay được tập nghiệm. 
 Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức nói riêng, có hai 
phương pháp cơ bản là: phương pháp lũy thừa nâng bậc khử căn và phương 
pháp đặt ẩn phụ đưa bất phương trình ban đầu về một bất phương trình mới đơn 
giản hơn. 
 1 2. NỘI DUNG 
2.1. Cở sở lý luận
 Nhân liên hợp là một kỹ thuật dùng để trục căn thức ở mẫu trong chương 
trình đại số 9. Có thể nói đây là một phương pháp quen thuộc đối với các em học 
sinh lớp 9 và được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán tính số vô tỷ cũng như 
các bài toán rút gọn biểu thức có chứa ẩn dưới dấu căn thức.
 Bất phương trình lại là kiến thức trọng tâm của đại số 10. Công cụ cơ bản 
để giải bất phương trình một ẩn là định lý về dấu nhị thức bậc nhất và định lý về 
dấu tam thức bậc hai:
ĐỊNH LÝ (về dấu của nhị thức bậc nhất)
 Nhị thức bậc nhất f (x) ax b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm 
và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
ĐỊNH LÝ (về dấu của tam thức bậc hai)
 Cho tam thức bậc hai f (x) ax 2 bx c (a 0) .
Nếu 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x R
 b
Nếu 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x 
 2a
Nếu 0 thì f (x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1 x2 ) . Khi đó, f (x) trái dấu với hệ 
số a với mọi x nằm trong khoảng (x1 ; x2 ) và f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi 
 x nằm ngoài đoạn [x1 ; x2 ] .
 Có hai bất phương trình cơ bản là bất phương trình bậc nhất và bậc hai. 
Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức là một trong những loại bất phương 
trình quy về bậc nhất, bậc hai. Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 
thức, cũng có hai bất phương trình cơ bản là: f (x) g(x) và f (x) g(x) với 
phương pháp giải là nâng bậc lũy thừa khử căn:
 f (x) 0
 1) f (x) g(x) g(x) 0
 2
 f (x) g (x)
 f (x) 0
 g(x) 0
 2) f (x) g(x) 
 g(x) 0
 2
 f (x) g (x)
 Kết hợp kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp vào các bài toán giải bất phương 
trình chứa ẩn dưới dấu căn thức cho chúng ta một kỹ thuật biến đổi giúp bất 
phương trình đơn giản hơn.
2.2. Thực trạng 
 Vô tỷ là một mảng hay và khá khó với học sinh, ngay từ lớp 9 khi được 
làm quen với số vô tỷ học sinh đã cảm thấy trừu tượng. Trong quá trình học khi 
biến đổi các biểu thức có liên quan tới số vô tỷ hay những biểu thức chứa ẩn 
 3 2
 x 3x 2 0 x ;1 2; 
 2 
Điều kiện: x 4x 3 0 x ;1 3; x ( ;1] [4; )
 2 x ;1  4; 
 x 5x 4 0   
 x 1
 (1)
 1 x 2 x 3 x 2 1 x 4 x
 (2) 
 x 4
 (2)
 x 1 x 2 x 3 2 x 1 x 4
 x 1 x 1
Giải (1) x 1 x 1
 2
 2 x 3 x 2 4 x 5 2x 2 x 5x 6 16 4x
 x 1
 x 1 x 1
 x 1 x 1
 x 1 x 1
 107
 2 2 2
 2 x 5x 6 11 2x 4(x 5x 6) 121 44x 4x x 
 24
 x 4 x 4
Giải (2) 
 2
 x 2 x 3 2 x 4 2x 5 2 x 5x 6 4x 16
 11
 x 4 4 x 
 2
 x 4 
 2x 11 0 11
 x x 4
 2 x 2 5x 6 2x 11 2x 11 0 2
 2 2 107
 4(x 5x 6) 121 44x 4x x 
 24
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình: S 4 :  1
 Chúng ta có thể thấy được tính chất phức tạp của cách giải và rõ ràng với 
cách giải này không phải học sinh nào cũng làm được, ngay cả đối với bộ phận 
học sinh khá giỏi thì việc hoàn thiện bài toán theo cách giải này cũng không phải 
là đơn giản. Đó là chưa kể đối với một số bài toán chúng ta khó có thể biến đổi 
theo cách thông thường hay đặt ẩn phụ.
 Câu hỏi được đặt ra là liệu có kỹ thuật biến đổi nào giúp học sinh giải bài 
toán bằng cách đơn giản hơn? Và sau đây là một trong những kỹ thuật biến đổi 
được tôi rút ra trong quá trình giảng dạy của bản thân là: Kỹ thuật nhân biểu 
thức liên hợp. 
2.3. Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp
 Một xu hướng chung khi giải các bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn 
thức là tìm cách khử căn đưa về các bất phương trình bậc nhất, bậc hai cơ bản. 
Có thể khử căn bằng cách nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ. Rất hiếm khi học sinh 
nghĩ đến việc nhân biểu thức liên hợp. Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp có tác 
 5 2.3.2. Dùng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp để phân tích thành bất 
phương trình tích trong các bài toán về bất phương trình chứa nhiều căn 
thức 
 Bên cạnh đó, kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp còn giúp chúng ta biến 
đổi đưa bất phương trình chứa nhiều căn thức về bất phương trình dạng tích. Kết 
hợp với tính chất không âm của các biểu thức dưới dấu căn thức, chúng ta được 
một cách giải hay, độc đáo đối với bất phương trình chứa nhiều căn thức. Chúng 
ta cùng xem xét lại ví dụ 2 với cách giải này:
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x 2 3x 2 x 2 4x 3 ≥ 2x 2 5x 4 (2)
Giải:
Điều kiện: x D ;1 4; 
+) x = 1 là nghiệm của bất phương trình.
+) x 1 bất phương trình 
 (2) x 2 3x 2 - x 2 5x 4 + x 2 4x 3 - x 2 5x 4 0
 x 2 3x 2 x 2 5x 4 x 2 4x 3 x 2 5x 4
 + ≥ 0
 x 2 3x 2 x 2 5x 4 x 2 4x 3 x 2 5x 4
 2 x 1 x 1
 0
 x 2 3x 2 x 2 5x 4 x 2 4x 3 x 2 5x 4
 2 1 
 x 1 0 
 2 2 2 2 
 x 3x 2 x 5x 4 x 4x 3 x 5x 4 
 2 1
Do 0 với x D 
 x 2 3x 2 x 2 5x 4 x 2 4x 3 x 2 5x 4
Nên bất phương trình x 1 0 x 1
Kết hợp điều kiện nghiệm của bất phương trình: 4; 
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình: S 4 :  1
 So với cách giải thông thường của bài toán mà chúng ta đã đưa ra trong 
phần thực trạng thì rõ ràng đây là là một cách giải hay, ngắn ngọn và độc đáo. 
Tương tự chúng ta cùng xem xét ví dụ sau với cách giải như vậy:
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 
 2x 2 1 + x 2 3x 2 < 2x 2 2x 3 + x 2 x 2 (4)
Giải:
 2
 2x 1 0 3 17
 2 x 
 x 3x 2 0 2
Điều kiện: 
 2x 2 2x 3 0 2
 x 
 2 
 x x 2 0 2
 (4) 2x 2 1 - 2x 2 2x 3 < x 2 x 2 - x 2 3x 2
 2x 2 1 2x 2 2x 3 x 2 x 2 x 2 3x 2
 < 
 2x 2 1 2x 2 2x 3 x 2 x 2 x 2 3x 2
 7 b) Đối với bất phương trình chứa nhiều căn thức
 Vì bất phương trình chứa nhiều biểu thức căn thức, nên việc lựa chon biểu 
thức nhân liên hợp có nhiều khó khăn hơn. Gắn với mục đích của kỹ thuật nhân 
biểu thức liên hợp là giúp phân tích bất phương trình về dạng bất phương trình 
tích, nên chúng ta cần lựa chọn biểu thức nhân liên hợp sao cho sau khi nhân 
biểu thức này bất phương trình sẽ xuất hiện được nhân tử chung để phân tích 
thành bất phương trình tích.
 Có những bất phương trình chúng ta dễ dàng đoán được biểu thức nhân 
liên hợp. Ví dụ như bât phương trình sau: 
Ví dụ 6: Giải bất phương trình: 2x 1 x 2 1 x (6)
Phân tích: Nhìn bất phương trình, chúng ta có thể dự đoán được biểu thức nhân 
liên hợp là: 2x 1 x 2 . Và thật vậy, khi nhân liên hợp biểu thức này chúng 
ta sẽ được nhân chung khi phân tích bất phương trình là: (x 1) 
Cách giải:
 1
 2x 1 0 x 1
Điều kiện: 2 x 
 x 2 0 2
 x 2
 2x 1 x 2
 (6) 1 x
 2x 1 x 2
 x 1
 x 1 0
 2x 1 x 2
 1
 (x 1)( 1) 0
 2x 1 x 2
 1
 x 1 0 (do 1 0 )
 2x 1 x 2
 x 1
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình: S 1; 
 Tuy nhiên có những bất phương trình không dễ dàng đoán ra được biểu 
thức nhân liên hợp. Và đối với các bất phương trình này, chúng ta không chỉ 
nhân một biểu thức liên hợp mà có thể nhân nhiều biểu thức liên hợp.
Ví dụ 7: Giải bất phương trình: 4 x 1 2 2x 3 (x 1)(x 2 2) (7)
Phân tích: Nếu cứ như ví dụ trên, chúng ta lựa chọn biểu thức nhân liên hợp là: 
 4 x 1 2 2x 3 thì khi nhân vào chúng ta được nhân tử là: (8x 4) nhưng 
nhân tử này không phải là nhân tử chung của bất phương trình.
 Vậy làm thế nào để tìm ra biểu thức nhân liên hợp? Vì mục đích nhân 
biểu thức liên hợp là tìm ra nhân tử chung để phân tích bất phương trình nên 
chúng ta có thể nhìn vào phương trình tương ứng nhẩm nghiệm giúp tìm ra nhân 
tử chung.
 Ví dụ đối với bài toán trên, chúng ta xét phương trình tương ứng: 
 4 x 1 2 2x 3 (x 1)(x 2 2) . Dễ nhận thấy một nghiệm của phương trình là 
 9