Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán về tích của vectơ với một số

 MỤC LỤC 
 I. Lời giới thiệu  2 
 II. Tên sáng kiến 2 
 III. Tác giả sáng kiến 2 
 IV. Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến 2 
 V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 2 
 VI. Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu 2 
 VII. Mô tả bản chất của sáng kiến 2 
 A. Nội dung 3 
1. 1. Cơ sở lý luận. 3 
2. 2. Các bài toán cơ bản. 3 
 Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức vectơ.......... 3 
 Bài toán 2. Các bài toán về trọng tâm tam giác, tứ giác 15 
 Bài toán 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đƣờng thẳng song 
 song 31 
 Bài toán 4. Các bài toán tìm điểm, tìm tập hợp điểm 44 
 B. Về khả năng áp dụng của sáng kiến 52 
B. VIII. Những thông tin cần đƣợc bảo mật (nếu có).52 
 IX. Đánh giá lợi ích thu đƣợc và kết quả kiểm nghiệm 52 
 X. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc 
 áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):  53 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 
 1 
 A. NỘI DUNG 
1. Cơ sở lý luận 
a, Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k 0 là một vectơ, kí hiệu là ka , 
cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với vectơ a nếu k < 0 và có độ dài 
bằng ka. 
 Qui ước: 0.ak  0  v¯  0   0 
b, Tính chất: 
 i) k   m a   ka   ma 
 ii) k a   b   ka   kb
 iii) k m  a   km a  
 k 0
 iv) ka   0   
 a 0
 v) 1 a   a  , 1 a   a 
c, Tính chất trung điểm: 
 M là trung điểm đoạn thẳng AB MA MB 0 
 M là trung điểm đoạn thẳng AB OA OB 2 OM (Với O là điểm tuỳ ý) 
d, Tính chất trọng tâm: 
 G là trọng tâm của tam giác ABC GA+ GB + GC =O 
 G là trọng tâm của tam giác ABC OA+OB +OC =OG(Với O là điểm tuỳ ý) 
e, Điều kiện để hai véc tơ cùng phƣơng: 
 b cùng phương với vectơ a 0 khi và chỉ khi có số k thỏa mãn b  ka . 
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho 
 AB  kBC 
f, Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng: 
Cho a không cùng phương với vectơ b . Khi đó với mọi vectơ x luôn biểu diễn 
được x  ma   nb và m, n là các số thực duy nhất. 
2. Các bài toán cơ bản 
 3 
 M¯IJ , lÇn  l­ît  l¯ trung  ®iÓm  cða  ABCD  v¯  nªn  AIBI    0 ; JCJD     0
VËyAC   BD   ( AI   BI  )   ( JC   JD  )   IJ   2  IJ    .
Tõ  (1) v¯ (2  ta cã: AB DC  AC   BD   IJ  (®pcm). 
b, 
Theo hÖ thøc trung ®iÓm ta cã OA   OB   2  OI  ; OC   OD   2  OJ
MÆt kh²c O l¯ trung  ®iÓm  IJ nªn   ta cã OI OJ   0. 
Suy ra OA   OB   OC   OD   0. 
c, 
Theo c©u  2  ta  cã OA   OB   OC   OD   0 
  OM   MA   OM   OB  OM   OC OM   OD  0
 MA   MB MC   MD  4  OM  (®fcm) 
Bài 2. 
Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng 
minh rằng AB CD 2 IJ 
Lời giải. 
 B
Ta cã 2IJ IB ID C
 IA AB IC CD
 AB CD IA IC I J
 AB CD A D
 VËy AB CD 2 IJ  (®pcm). 
Bài 3. 
Cho ngũ giác ABCDE. Các điểm M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung 
điểm của các đoạn EA, AB, BC, CD, MP, NQ. Chứng minh rằng: 
 1
a) RS MN PQ
 2 
 A N B
 1
b) RS ED .
 M
 4 P
 R
Lời giải. S
 E
 C
 Q
 D
 5 
 MB
a  cã: MB    MC 
 MC A
 C. MB    MB  MC
  C.  AB   AM    MB   AC   AM 
  MB MC  AM  C.  AB   MB  AC
 B
 MC MB M C
 AM    AB   AC (®fcm).
 BC BC
 Bài 6. 
 Cho tam giác ABC. Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng 
 tâm tam giác. Chứng minh rằng 
 a,AH  2  AC   1 AB  CH   1  AB   1 AC  .
 3 3 3 3 
 b,MH  15 AC   AB  , víi  M  l¯  trung ®iÓm cða BC .
 66
 Lời giải. 
 2 2 1
 a, Ta cãAH   AG   AB   AC   AB   AB   AC   AB
 3 3 3
 11
 CH   AH   AC   AB   AC
 33
 1 1 5
 b,MH   AH   AB   CH   AC   AB 
 2 6 6
 Bài 7. 
 Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh 
 AC, sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN. 
 1 1
 a, Chứng minh rằng AK = AB + AC . 
 4 6
 1 1
 b, Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng KD = AB + AC . 
 4 3
 Lời giải. 
 7 
 A N
 B
 Q
 P
 D M C
Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì 
 1
 DM NB AB,// DM NB. 
 2
Suy ra DM NB. 
Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của DC và MP// QC do đó 
 P là trung điểm của DQ . 
Tương tự xét tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của PB 
Vì vậy DP PQ QB từ đó suy ra DP PQ QB 
Bài 10. 
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. ạ MD, 
ME, MF, lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB. 
 3
Chứng minh rằng: MD ME MF MO 
 2
 Lời giải. 
 A
 O M
 C
 B A' D
Gọi AA’, BB’, CC’, là đường cao của tam giác ABC. 
Theo b¯i ta cã: Sa . MA S b . MB S C . MC 0 (1) 
 MD 3 S
MÆt kh²c MD . AA ' .a . AO ( víi S S ) 
 AA'2 S ABC
T­¬ng tù  nh­  vËy  ta  cã 
 33SS 
ME .bc . BO ;  MF . . CO .
 22SS
 9 
 Câu 2: Gọi AN, CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Đẳng thức nào sau 
 đây đúng? 
 22 42
 A. AB AN CM . B. AB AN CM . 
 33 33
 44 42
 C. AB AN CM. D. AB AN CM . 
 33 33
 Lời giải 
 Chọn D 
 A
 M
 C
 B N
 Ta có 
 1 1 1 1 1 1
 AN AB AC AB AC  CM CA AM CM CA AM
 2 2 2 2 2 2
 Suy ra 
 1 1 1 1 1
 AN CM AB AC CA AM
 2 2 2 2 2
 1 1 1 1 1 3
  AB AC AC  AB AB
 2 2 2 2 2 4
 42
 Do đó AB AN CM . 
 33
Câu 3: Cho tam giác ABC . Gọi I , J là hai điểm xác định bởi IA 2 IB , 
 3JA 2 JC 0. Hệ thức nào đúng? 
 5 5
 A. IJ AC2 AB. B. IJ AB2 AC . 
 2 2
 2 2
 C. IJ AB2 AC . D. IJ AC2 AB. 
 5 5
 Lời giải 
 J
 Chọn D A C
Ta có: IJ IA AJ 
 2 2
 2AB AC AC2 AB . B
 5 5
 I
 11 
 Câu 6: Gọi MN, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác 
 ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? 
 A. AC BD BC AD 4 MN . 
 B. 4MN BC AD. 
 C. 4MN AC BD. 
 D. MN AC BD BC AD . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 B
 C
 M
 N
 A D
 Ta có: AC BD BC AD 
 AM MN NC BM MN ND BM MN NC AM MN ND 
 2 AM BM 2 NC ND 4 MN 4 MN . 
 00
Câu 7: Gọi MN, lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD . 
 Đẳng thức nào sau đây sai? 
 A. AC DB2 MN . B. AC BD2 MN . 
 C. AB DC2 MN . D. MB MC2 MN . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 B
 A
 N
 M
 C
 D 
 Do M là trung điểm các cạnh AD nên MD MA 0 
 Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN MC MB. Nên 
 D đúng. 
 13 
 11
 MN MO ON AC AD
 42
 11
  AB BC AD . 
 42 
 1 1 1 3
  AB AD AD AB AD
 4 2 4 4
 1 3
 a ; b . Vậy ab 1. 
 4 4
Câu 10: Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong 
 tam giác ABC . ạ ID,, IE IF tương ứng vuông góc với BC,, CA AB. 
 a a
 Giả sử ID IE IF IO (với là phân số tối giản). Khi đó ab 
 b b
 bằng: 
 A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Qua điểm I dựng các đoạn MQ//,//,// AB PS BC NR CA. Vì ABC là 
 tam giác đều nên các tam giác IMN,, IPQ IRS cũng là tam giác đều. 
 Suy ra DEF,, lần lượt là trung điểm của MN,, PQ RS. 
 Khi đó: 
 1 1 1
 ID IE IF ()()() IM IN IP IQ IR IS
 2 2 2
 11
 ()()()()IQ IR IM IS IN IP IA IB IC 
 22 
 13
 .3IO IO a 3, b 2 . Do đó: ab 5. 
 22
 15