Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp

 sở giáo dục và đào tạo hà nội 
 Tr•ờng ThPt nguyễn gia thiều 
 ----------------------------------------------------------------------------- 
 Sáng kiến kinh nghiệm: 
 Một số dạng bất ph•ơng trình 
chứa căn thức bậc hai th•ờng gặp 
 Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn 
 Tổ : Toán 
 Hà Nội, 5 / 2010 
 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 Một số kiến thức cơ bản sau đã có trong sách giáo khoa đ•a ra sau 
đây mà không nêu nội dung: 
 1. ôn tập hàm số bậc hai và đồ thị của nó. 
 2. ôn tập định lý về dấu của nhị thức bậc nhất. 
 3. ôn tập định lý về dấu của tam thức bậc hai. 
Sáng kiến kinh nghiệm: 
 “ Một số dạng bất ph•ơng trình chứa căn thức bậc hai th•ờng gặp ” 
 Dạng 1 
 f(x) 0
 f(x) < g(x) 
 f(x) < g(x)
 f(x) 0
 f(x) g(x) 
 f(x) g(x)
 g(x) 0
 f(x) > g(x) 
 f(x) > g(x)
 f(x) 0
 f(x) g(x) 
 f(x) g(x)
Bài toán. Giải các bất ph•ơng trình sau: 
 1) x2 3x 2 2x2 5x 2 (1) 
 2) 2x22 10x 8 x 5x 36 (2) 
 3) x32 8 2x 5x 14 (3) 
 Giải: 
 x2 
 2 x2 x8 
 (1) x 3x 2 0 x1 
1) x1 0 x 1 
 x22 3x 2 2x 5x 2 x0 
 2 x2 
 x 8x 0 
 x8 
 H 2 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 Dạng 2 
 f (x) 0
 f(x) g(x) g(x) 0 
 2
 f (x) g (x)
 f(x) 0
 f(x) g(x) g(x) 0 
 2
 f(x) g (x)
Bài toán. Giải các bất ph•ơng trình sau: 
 1) x2 8x 7 + 3x 1 (1) 
 2) 2 9 8x x2 + 1 < 9x (2) 
 1
 3) 1 < 2 (3) 
 x
 Giải: 
 xx2 8 7 0
 (1) 
1) x2 8x 7 1 3x 1 3x 0 
 2 2
 x 8 x 7 1 3 x 
 1 1
 x x 
 3 1 3
 x 
 x22 8x 7 9x 6x 1 3 3 
 x 
 x7 8x2 2x 6 0 4
 x1 
 x1 
 x1 
Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (1) là 
 S = ;1 . 
 9 8xx 2 0
 (2) 
2) 2 9 8x x2 < 9x 1 9x 1 0 
 22
 4(9 8x x ) (9 x 1)
 H 4 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 Dạng 3 
 g(x) 0
 f(x) 0
 f(x) > g(x) 
 g(x) 0
 2
 f(x) g (x)
 g(x) 0
 f(x) 0
 f(x) g(x) 
 g(x) 0
 2
 f(x) g (x)
Bài toán. Giải các bất ph•ơng trình sau: 
 1) 3x2 10x 3 x 1 (1) 
 2) (x 1)(3 x) 3 4 3x (2) 
 3) 2x22 8x 1 x 1 (3) 
 Giải: 
 x 1 0 x1 
 2 1
 (1) 
 3x 10x 3 0 x3
1) 3 
 x 1 0 
 x1 
 2
 2 
 3x 10x 3 x 1 22
 3x 10x 3 x 2x 1
 x1 x1 
 2 2 
 4x 8x 4 0 4(x 1) 0
 x1 
 x1 
 x1 
Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (1) là 
 S = 1 . 
 3x 4 0
 2
 (2) 4x x 0
2) 4x x2 3x 4 
 3x 4 0
 22
 4x x (3x 4)
 H 6 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 Dạng 4 
 f (x) g(x) p(x) q(x) hoặc: f (x) g(x) p(x) q(x) 
 (Trong đó: f(x) + g(x) = p(x) + q(x)). 
Ph•ơng pháp: 
 f (x) 0
 g(x) 0
 Điều kiện: 
 p(x) 0
 q(x) 0
 Bình ph•ơng hai vế của bất ph•ơng trình, sau đó đ•a về dạng 1. 
Bài toán. Giải các bất ph•ơng trình sau: 
 1) x 2 5 2x 2x 7 3x (1) 
 2) x3 2x5 33x 52x (2) 
 3) 32x 43x 2x2 x3 (3) 
 Giải: 
 7
1) Điều kiện: 0 x 
 3
 (1) 22
 x 2 5 2x 2x 7 3x 
 x 2 5 2x 2x 2.5 2x 2x 7 3x 22x.7 3x 
 2 (x 2)(5 2x) 2 2x(7 3x) 
 2x22 x 10 6x 14x 
 2x22 x 10 6x 14x 
 4x2 13x 10 0 
 5
 x2 ; thoả mãn điều kiện. 
 4
Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (1) là 
 5
 S = ;2 . 
 4
 5
2) Điều kiện: x1 
 2
 H 8 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 2) x1 3x1 2x1 2x1 
 3) 2x1 2x2 x1 3x2 
 4) x1 3x2 2x1 2x2 
 5) 5x1 5x7 2x3 2x5 
 6) 2x 3 x 2 4x 3 3x 4. 
 Dạng 5 
 Có những bài toán gần giống dạng 2 và dạng 3, nh•ng g(x) ở đây là tam 
thức bậc hai, khi bình ph•ơng hai vế sẽ dẫn đến bất ph•ơng trình bậc bốn rất 
khó giải. Do đó ta có cách giải khác là đặt ẩn phụ, d•ới đây là một số bài toán 
minh hoạ. 
Bài toán 1. Giải các bất ph•ơng trình sau: 
 1) (x 1)(x 2) x2 x 8 (1) 
 2) 6x22 18x 12 10 3x x (2) 
 3) 2 x2 2x 10 5 x(x 2) (3) 
 Giải: 
1) Đặt: t = (x 1)(x 2) ; t 0 
 t2 x 2 x 2 x 2 x t 2 2 
 (1)
 22 t2 
 t t 2 8 0 t t 6 0 
 t 3 (loại)
 22 x3 
Vậy: (x1)(x2)2 x x24 x x60 
 x2 
Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (1) là 
 S = ; 2  3 ; . 
 H 10 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 (*)
 8t 22 tm t t8m(**) 
 (**)
a) m = 2, tt8222 tt60 2t3 
Vậy: x22 2x 8 3 9 (x 1) 3; nghiệm đúng x [–4 ; 2]. 
Kết luận: tập nghiệm bất ph•ơng trình (*) là 
 S = [–4 ; 2]. 
b) Bất ph•ơng trình (*) có nghiệm bất ph•ơng trình (**) có nghiệm t thoả 
mãn: 0 t 3 
 Gọi f(t) = t2 t 8; 0 t 3 
 Bảng biến thiên: 
 1
 t 0 3 + 
 2
 33
 f(t) 
 4
 8 2 
 33
 2 f(t) ;  t  0 ; 3 
 4
 33 33
Do đó (**) có nghiệm t 0 ; 3 m m 
 44
 33
Kết luận: m, bất ph•ơng trình (*) có nghiệm. 
 4
c) Bất ph•ơng trình (*) nghiệm đúng x  4 ; 2 bất ph•ơng trình (**) 
nghiệm đúng t [0 ; 3]. 
 Theo kết quả phần trên, có: 2 m m 2. 
Kết luận: m 2, bất ph•ơng trình (*) nghiệm đúng x  4 ; 2. 
Bài toán 3. Cho bất ph•ơng trình: 
 2 (x 1)(x 7) 25 6x x2 m (1) 
 a) Giải bất ph•ơng trình (1) với m = 3. 
 b) Tìm m để bất ph•ơng trình (1) có nghiệm. 
 H 12 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 x1 
 3) (x 2) (x 1)(x 2) 6 
 x2 
 4) (x 1)(x 2) 4 x x2 
 5) (1 x)(4 x) 2 x(x 5) 
 6) (x 2)(4 x) 6x x2 10. 
Bài 2. Cho bất ph•ơng trình: 
 (x 1)(x 3) m 6 (x 1)(x 5) 
 a) Giải bất ph•ơng trình với m = 0. 
 b) Tìm m để bất ph•ơng trình nghiệm đúng với mọi x  5 ;1. 
Bài 3. Cho bất ph•ơng trình: 
 (x 1)(x 3) x2 2x 10 m 
 a) Giải bất ph•ơng trình với m = 7. 
 b) Tìm m để bất ph•ơng trình có nghiệm. 
 H 14 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 x + 1 + x − 2 + 2 1x . x2 < 6 + x 
 2 (x 1)(x 2) < x + 6 − 2x + 1 
 2 x2 x 2 < 7 − x 
 7 x 0 x7 
 x2 x2 
 22 22
 4(x x 2) (7 x) 4x 4x 8 x 14x 49
 2 x 7
 2 x 7 
 2 19 
 3x 10x 57 0 x3
 3
 2 ≤ x < 3 
Kết luận: tập nghiệm bất phương trỡnh (2) là 
 S = [2 ; 3). 
3) Điều kiện: x ≥ 1 
 (3) 2 2
 x 1 2x < 2x2 x 1 
 x − 1 + 2x + 2 x1 . 2x < 2x 2 + x − 1 
 2 2x(x 1) < 2x 2 + x − 1 − 3x + 1 
 2 2x2 2x < 2x 2 − 2x 
 2
 2x2 2x − 2 2x2 2x > 0 
 2x2 2x 2x2 2x 2 > 0 
 2x2 2x 2
 2
 2x 2x 0
 2x2 2x > 2 2x 2 − 2x > 4 x 2 − x − 2 > 0 
 x2 
 x1 
Kết hợp với điều kiện, cú tập nghiệm bất phương trỡnh (3) là 
 S = (2 ; + ). 
 H 16