Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ và phương pháp giải

 Trường THPT Trần Phú 2010-2011
 LỜI NÓI ĐẦU
 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vô tỷ là một chủ đề quan trọng 
trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như luyện thi đại học, cao đẳng. Có rất 
nhiều dạng toán về phương trình, bất phương trình hay và khó, có thể dùng là một câu 
phân loại trong các đề thi HSG hay đề thi ĐH, CĐ.
 Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm 
trong quá trình dạy học, dạy luyện thi, dạy bồi dưỡng HSG, tác giả viết đề tài sáng kiến 
kinh nghiệm: “ Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô 
tỷ và phương pháp giải”.
 Đề tài được chia thành hai phần: 
 Phần A: Phương trình- Bất phương trình chứa căn
 Phần B: Hệ phương trình chứa căn
 Ở mỗi phần là phưong pháp giải, dạng toán, cách giải tương ứng, những lưu ý, ví 
dụ minh hoạ sau đó là bài tập vận dụng. Có ba phương pháp giải cơ bản thường dùng là 
phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hàm số.
 Đề tài được viết nhằm giúp học sinh có kỹ năng và phương pháp giải về phương 
trình, bất phương trình, hệ phương trình được tốt hơn. Do hạn chề về thời gian chắc 
không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn 
đoòng nghiệp và cấp trên.
 Tác giả xin chân thành cảm ơn!
 Vĩnh Yên, ngày 25 tháng 5 năm 2011
 Tác giả
 Đỗ Thị Thanh Huyền
SKKN: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 1 Đỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú 2010-2011
 3
pt x2 2x 1 x 5 2 x 3 2x (x 5) 3 2x 9 5x (1), Với x hai vế (1) đều 
 2
không âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3 0 x 3 x 1 2 0
 b) Tương tự với 2 dạng: * f x g x * f x g x 
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x2 6x 1 x 2 0 1 
Giải
 1 2x2 6x 1 x 2 bất phương trình tương đương với hệ:
 x 2
 x 2 0 
 2 3 7 3 7 3 7
 2x 6x 1 0 x  x x 3
 2 2 2
 2 
 2x 6x 1 x 2 1 x 3
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2mx 1 m 2 có nghiêm.
Giải
* Nếu m < 2 phương trình vô nghiệm.
* Nếu m 2 phương trình x2 2mx m2+4m 3=0. Phương trình này có 
 =2m2 4m+3>0 với mọi m.
 Vậy với m 2 thì phương trình đã cho có nghiêm.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt.
Giải: 
 x 1
Cách 1: PT 2 , phương trình (*) luôn có 2 nghiệm: 
 x m 2 x 4 0,(*)
 2 m m2 4m 20 2 m m2 4m 20
x 0, x 0 . Phương trình đã cho có 2 nghiệm 
1 2 2 2
 m 4
 x 1 x 1 4 m m2 4m 20 m 1
 (*) có 2 nghiệm 2 2 2
 4 m m 4m 20
 Chú ý: + x1 > 0, x2 x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.
 + Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.
 + Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x 1 t 0 .
(*) trở thành: t 1 2 m 2 t 1 4 0 (**). Để (*) có 2 nghiệm x 1thì (**) phải có 2 
nghiệm t 0 .
Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 
 x2 mx 2 2x 1, (1)
 2x 1 0
Giải: pt 2 để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai 
 3x m 4 x 1 0, 2 
 m 4 2 12 0
 1 1 9
nghiệm lớn hơn hoặc bằng hay f 0 m .
 2 2 2
 S 1
 2 2
SKKN: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 3 Đỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú 2010-2011
 Thật vậy: đặt f x x3 6x2 32, x 2 , ta có f(2) = 0, 
lim f x , f ' x 3x2 12x 0,x 2 nên f(x) là hàm liên tục trên 2; và đồng biến 
x 
trên khoảng đó suy ra m 0 phương trình (2) luôn có nghiệm x0 mà 2 < x0 < .
Một số dạng chuyển thành tích:
 a - c x b - d 
 - Dạng: ax b cx d 
 m
Ta biến đổi thành: m( ax b cx d ) ax b cx d 
 x 3
Ví dụ: Giải phương trình: 4x 1 3x 2 . ĐS: x=2.
 5
 - Dạng: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0
Ví dụ: Giải phương trình: 3 x 1 3 x 2 1 3 x2 3x 2 . ĐS: x=0, 
x= 1.
Ví dụ: Giải phương trình: 4 x 1 x 1 4 x3 x2 . ĐS: x=0, 
x=1.
 - Dạng: au+bv=ab+uv (u b)(v a)=0
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x2 4x 3 . ĐS: x=0, 
x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 x2 3x 3 2x x2 3 2x2 2x . ĐS: x=0.
 - Dạng: a3 b3 (a b)(a2+ab+b2)=0 a=b
 2
Ví dụ: Giải phương trình: 2 33 9x2 x 2 2x 33 3x x 2 . ĐS: x=1.
c. Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với Ai 0,1 i n khi đó pt tương đương 
với: A1 0, A2 0,  An 0 .
Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x2 3x 3 4x x 3 2 2x 1 .
HD: Phương trình tương đương 4x2 4x x 3 x 3 1 2 2x 1 2x 1 0 . ĐS: x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x y2 y 2 4x2 y .
Giải
 2 2 1
Bình phương hai vế ta được 2x 1 y 2 2 y 2 4x2 y 0 x , y 2.
 2
 d. Sử dụng lập phương:
Với dạng tổng quát 3 a 3 b 3 c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức 
 3 3 3
 3 3 3 a b c
 a b a b 3ab a b khi đó phương trình tương đương với hệ . Giải 
 3
 a b 3 abc c
hệ này ta có nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải bất phương trình 3 x 1 3 x 2 3 2x 3 . ĐS: 
 3
x 1; x 2; x .
 2
 e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:
 - TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:
 2
 2 x 16 7 x
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x 3 1 (ĐH Khối A 2004)
 x 3 x 3
Giải
ĐK: x 4 . 1 2 x2 16 x 3 7 x 2 x2 16 10 2x
SKKN: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 5 Đỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú 2010-2011
 4x
a. 3 x 1 3 x2 3 x 3 x2 x . b. x 3 4 x .
 x 3
 3
c. 4 x 3 1 4x . d. 2 x 3 9x2 x 4 .
 x
e. 2x x2 x 1 4 3x 1 2x2 2x 6 .
II. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 1: F n f x 0 , đặt t n f x (lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0).
Ví dụ 1: Giải các phương trình: a. x2 x2 11 31. b. 
 x 5 2 x 3 x2 3x .
HD: a. Đặt t x2 11, t 0 . ĐS: x= 5.
 3 109
 b. Đặt t x2 3x, t 0 . ĐS: x .
 2
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 2x 2m 5 2x x2 m2 .
Giải
 2 2 
Đặt: t 5 2x x 6 x 1 t 0; 6 .
Khi đó phương trình trở thành t 2 2mt m2 5 0 * t m 5 . Phương trình đã cho có 
 0 m 5 6 5 m 6 5
nghiệm khi (*) có nghiệm t 0; 6 hay .
 0 m 5 6 5 m 6 5
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: m( x2 2x 2 1) x 2 x 0 , (1) có nghiệm
x 0;1 3 .
Giải: Đặt t x2 2x 2 x2 2x t 2 2 . Nếu x 0;1 3 thì t x 1 2 1 1;2 
BPT trở thành: m t 1 2 t 2 0, 2 
 t 2 2 t 2 2 2
Khi đó ta có m , với 1 t 2 . Đặt f t , dùng đồ thị ta tìm được m .
 t 1 t 1 3
Dạng 2: 
m f x g x 2n f x g x n f x g x p 0 , đặt t f x g x , bình phương 
hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t.
Ví dụ 1: Cho phương trình 3 x 6 x m 3 x 6 x .
 a. Giải phương trình khi m=3.
 b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
Giải
Đặt: t 3 x 6 x t 2 9 2 3 x 6 x * . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 
2 3 x 6 x 9 nên từ (*) ta có 3 t 3 2 .
Phương trình đã cho trở thành t2 2t 9= 2m (1).
a. Với m=3 (1) t2 2t 3 t =3. Thay vào (*) ta được x= 3, x=6.
b. PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t 3;3 2 . Xét hàm số 
 2 
f t t 2t 9 với t 3;3 2 , ta thấy f(t) là một hàm đb nên: 
SKKN: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 7 Đỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú 2010-2011
HD: ĐK x 1 . Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 4 x2 1 
 x 1 2 1
đặt t 4 4 1 0 t 1 . ĐS 1 m .
 x 1 x 1 3
Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để).
af x g x f x h x 0 . Đặt t f x , khi đó phương trình trở thành 
at 2 g x t h x 0 .
Ví dụ: Giải phương trình 2 1 x x2 2x 1 x2 2x 1 .
HD
Đặt t x2 2x 1  x 1 6 .
(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, 
mũ, logrit, rất hay!)
Bài tập
Giải các phương trình sau:
 9 193 17 3 73
1. 2x2 5x 2 4 2 x3 21x 20 ĐS: x , x .
 4 4
2. x3 3x2 2 x 2 3 6x 0 Đặt y x 2 , ĐS: x 2, x 2 2 3 .
3. 2 x2 3x 2 3 x3 8 ĐS: x 3 13 .
 x 1 1 1 1 1 5
4. 2x 1 3 x Đặt t 1 , ĐS: x .
 x x x x 2
Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác).
 Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi 
cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số. Tuy nhiên, trong 
nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm 
lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán 
lượng giác này.
 Lưu ý vài tính chất cơ bản:
* sin a 1, cos a 1. * sin2 a cos2 a 1.
 1 1
* 1 tan2 a * 1 cot2 a .
 cos2 a sin2 a
Ví dụ 1: Giải phương trình 1 1 x2 2x2 .
Giải
ĐK x 1. Đặt x cost, t 0;  . Khi đó phương trình trở thành 
 1
1 1 cos2 t 2cos2 t 2sin2 t sin t 1 0. Ta tìm được: sin t . Khi đó 
 2
 3
x cost 1 sin2 t .
 2
Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định u x a . Ta có thể nghĩ đến cách đặt 
u x a sin t, t ; hoặc đặt u x a cost, t 0;  .
 2 2 
 2 
 * Nếu u x 0; a ta có thể đặt u x a sin t, t 0; .
 2 
 3
Ví dụ 2: Giải phương trình x3 1 x2 x 2 1 x2 .
SKKN: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 9 Đỗ Thị Thanh Huyền