Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT L£ VIÕT T¹O 
 PHẦN I: MỞ ĐẦU
 I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
 - Năm học 2010-2011, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10. 
Tuy là các lớp chọn khối A, nhưng đa số học sinh nhận thức còn chậm, kĩ năng 
làm bài còn kém, tư duy chưa rõ ràng.Chính vì thê mà mỗi lần lên lớp, bản thân 
tôi rất trăn trở, làm thế nào để truyền đạt cho các em dễ hiểu, dạy cho các em 
những kĩ năng làm toán cơ bản nhất,và đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho 
từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn.
 - Trong chương trình hình học 10, các em đã được tiếp cận với đường tròn., 
sự tương giao của một đường tròn với đường thẳng. Trong chương trình toán 
THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với 
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài cách giải thông 
thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong thực tế các bài 
toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng và đặc 
biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các 
bài toán về phương trình vô tỷ mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải 
nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc 
một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
 II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 - Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường 
THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp , khai 
thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề: ‘’Một số giải 
pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ’’.
 - Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số 
phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là điều 
kiện cần và đủ. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng 
logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp 
GIÁO VIÊN : L£ THÞ THU HUYÒN - TỔ TO¸N Trang 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT L£ VIÕT T¹O 
 Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường 
gặp tương ứng các bài tập tự luyện. Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận 
xét bình luận khắc phục những sai lầm cơ bản giúp bạn đọc có thể chọn ra cho 
mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng 
và sáng sủa nhất.
 VI/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Phương pháp: 
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn 
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình 
giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong năm học từ 2010 
đến 2011
 VII/ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU 
Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy khối lớp 10 tại trường THPT 
L£ VIÕT T¹O từ năm 2000 đến nay.
 PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
 CHƯƠNG 1: CỞ SỞ LÝ LUẬN
 - Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy 
và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào 
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức 
phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời 
GIÁO VIÊN : L£ THÞ THU HUYÒN - TỔ TO¸N Trang 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT L£ VIÕT T¹O 
 g(x) 0
 (1)
 Phương trình 2
 f(x) g (x)
điều kiện g x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) sau khi giải 
 2
phương trình f(x) = g (x) chỉ cần so sánh các nghiệm vừa nhận được với điều 
kiện gx) 0 để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban 
đầu để thử để lấy nghiệm.
* Dạng 2: phương trình f(x) = g(x) (2) 
 f(x) 0
 Phương trình (2) 
 f(x) g(x)
 Điều kiện f (x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2). Chú ý ở 
đây không nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả f(x) và g(x) không âm vì 
 f(x) = g(x) .
 *Dạng bài toán không mẫu mực:
 Loại này được thực hiện qua các ví dụ cụ thể.
 CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 Học sinh trường THPT Lª ViÕt T¹o đa số nhận thức còn chậm, chưa hệ 
thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ chưa phân loại 
và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi,trong khi 
đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình 
đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho 
phần này là rất ít.
 Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng 
ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày 
cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này.
GIÁO VIÊN : L£ THÞ THU HUYÒN - TỔ TO¸N Trang 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT L£ VIÕT T¹O 
 Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của 
phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 3 0 là điều kiện cần 
và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện .
 3. Khi gặp bài toán: 
 Giải phương trình (x + 4)x 2 = 0 
 Một số HS đã có lời giải sai như sau: 
 x 4 0 x 4
 Ta có: (x + 4)x 2 = 0  
 x - 2 = 0 x 2
 Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì đã 
mắc một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng x = - 4 không phải là nghiệm của 
phương trình trên.
 B 0
 Chú ý rằng: A B 0 A 0
 B 0
ở đây đã bị bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2).
 4. Khi gặp bài toán: 
 Giải phương trình 54x2 12x 11 = 4x2 - 12x + 15
 Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một 
phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình 
bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc phổ thông .
 5. Khi gặp bài toán: Giải phương trình
 x 2
 x 5 . x 2
 x 5
 Một số HS đã có lời giải sai như sau: 
 x 2
Ta có: (x 5). x 2 (x 5)(x 2) x 2 
 x 5
 x 2 0 x 2
 2 2 2
 x 5 x 2 x 2 x 3x 10 x 4x 4
GIÁO VIÊN : L£ THÞ THU HUYÒN - TỔ TO¸N Trang 7 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT L£ VIÕT T¹O 
 2
 Điều kiện gx) 0 là điều kiện cần và đủ vì f (x) = g (x) 0 . Không cần đặt 
thêm điều kiện fx) 0 
b, Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Giải phương trình 
 3x 4 = x - 3 . (1)
 . Điều kiện x 3 (*)
 (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x - 4 0)
 Khi đó pt(1) 3x - 4 = (x - 3)2
 x2 - 6x + 9 = 3x - 4 
 x2 - 9x + 13 = 0 
 9 29
 x 
 2
 9 29
 x 
 2
 đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương 
 trình (1) là x = 9 29
 2
 ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban 
đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x 3 (*) để
 lấy nghiệm.
+ Ví dụ 2: Giải phương trình
 3x2 2x 1 = 3x = 1 . (2)
 .Nhận xét : 
 Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp 
biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x 2 - 2x -1 0 và 
thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.
 Ta có thể giải như sau: 
 1
 . Điều kiện: x - (**)
 3
GIÁO VIÊN : L£ THÞ THU HUYÒN - TỔ TO¸N Trang 9 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT L£ VIÕT T¹O 
 *Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động hơn 
trong cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì ? biến 
đổi như thế nào là biến đổi tương đương ? biến đổi như thế nào là biến đổi hệ 
quả? kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào?
2/ Giải pháp 2
 * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f(x) g(x) . (2) 
 a. Phương pháp:
 Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi
 f(x) 0(g(x) 0)
 pt(2) 
 f(x) g(x)
 Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g(x) 0 và f(x) 0 vì f(x) = g(x) .
 b. Các ví dụ:
 + Ví dụ 1: Giải phương trình
 3x 2 = 2x 1 , (1)
 1
 .Điều kiện x , (*)
 2
 pt(1) -3x + 2 = 2x + 1
 1
 5x = 1 x = (thoả mãn với điều kiện (*) )
 5
 1
 Vậy nghiệm của phương trình là x = .
 5
 1
 ! Lưu ý: Điều kiện x , (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) 
 2
nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của phương 
trình.
 + Ví dụ 2: Giải phương trình
 2x2 3x 4 = 7x 2 , (2)
 . Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt 
điều kiện cho vế phải không âm. 
GIÁO VIÊN : L£ THÞ THU HUYÒN - TỔ TO¸N Trang 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT L£ VIÕT T¹O 
 7
 3x 7 0 x 
 Điều kiện 3 x 1 (**)
 x 1 0
 x 1
 Chuyển vế và bình phương hai vế ta được
 pt(2) 3x 7 = 2 + x 1 
 với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm , bình phương hai vế ta được.
 3x + 7 = x + 5 + 4 x 1
 2x 1 = x + 1 tiếp tục bình phương hai vế 
 4x + 4 = x2 + 2x + 1
 x2 -2x - 3 = 0
 x 1
 (thoả mãn điều kiện (**))
 x 3
 Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 V x = 3 .
 + Ví dụ 3: 
 Giải phương trình 2 x 4 x 1 2x 3 4x 16 .
 Lời giải : Ta có 
 Pt 2 x 4 x 1 2x 3 2 x 4
 x 4 0
 x 4 0 x 4
 x 1 0 
 x 1 2x 3 x 2
 x 1 2x 3
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 Lưu ý: Học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau
 Ta có : 2 x 4 x 1 2x 3 4x 16
 2 x 4 x 1 2x 3 4 x 4 
 x 1 0 x 1
 x 1 2x 3 
 x 1 2x 3 x 2
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
 Nhận xét: Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình 
đã cho nhưng.
GIÁO VIÊN : L£ THÞ THU HUYÒN - TỔ TO¸N Trang 13