Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ

 Tên đề tài: MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH
 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
- Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT 
Triệu Sơn 6 năm học 2016-2017.
- Năm học 2016-2017, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10. Đa số 
học sinh nhận thức còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng 
toán để học sinh nắm được bài tốt hơn.
- Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học 
sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với 
một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên 
trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và 
đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp 
một lớp các bài toán về phương trình vô tỷ mà chỉ có số ít các em biết phương 
pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí 
còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được 
trình bày ở phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) rất là ít và hạn hẹp chỉ có một tiết 
lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải khá rườm rà 
khó hiểu và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt 
khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình 
giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều 
dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và 
giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững 
 1 - Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình 
giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong năm học. 
- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2016 – 2017.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
- Tăng số lượng và đa dạng bài tập tự rèn luyện.
- Rút kinh nghiệm sâu sắc hơn trong các dạng bài toán dễ mắc phải sai lầm trong 
quá trình giải.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luậncủa sáng kiến kinh nghiệm:
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt 
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân 
lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc 
biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. 
Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần 
các em ngại học môn này. 
 - Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn 
 toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài 
 tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy 
 logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu 
 môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng 
 lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
 - Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho 
 học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải 
 phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
 3 Điều kiện ( ) ≥ 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2). Chú ý ở đây 
 không nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả ( ) và ( ) không âm vì ta 
 có ( ) = ( ) .
 *Dạng bài toán không mẫu mực:
 Loại này được thực hiện qua các ví dụ cụ thể.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 Học sinh trường THPT Triệu Sơn 6 đa số là học sinh có điểm đầu vào thấp 
nên nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về 
phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt 
điều kiện và biến đổi,trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng 
bên cạnh đó chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, 
thời lượng dành cho phần này là rất ít.
 Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày 
nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải 
đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này.
 Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: 
1. Khi gặp bài toán: 
 Giải phương trình 2x 3 = x - 2 (1) [1]
Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau
 3
Điều kiện phương trình (1) là x (*)
 2
 (1) 2x - 3 = x2 - 4x + 4 
 x2 - 6x + 7 = 0
 Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 - 2 .
 5 Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì đã mắc 
một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng x = - 4 không phải là nghiệm của phương 
trình trên.
 B 0
 Chú ý rằng: A B 0 A 0
 B 0
ở đây đã bị bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2).
4. Khi gặp bài toán: 
 Giải phương trình 54x2 12x 11 = 4x2 - 12x + 15
Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một phương 
trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình bậc bốn 
chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc phổ thông .
5. Khi gặp bài toán: 
 x 2
 Giải phương trình x 5 . x 2 [5]
 x 5
Một số HS đã có lời giải sai như sau: 
 x 2
Ta có: (x 5). x 2 (x 5)(x 2) x 2 
 x 5
 x 2 0 x 2
 2 2 2
 x 5 x 2 x 2 x 3x 10 x 4x 4
 x 2 x 2
 3x 4x 4 10 x 14
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét: Rỏ ràng x = 14 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài 
toán có nghiệm trở thành vô nghiệm.
 7 Giải:
Điều kiện x 3 (*)
 (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x - 4 0)
 Khi đó pt(1) 3x - 4 = (x - 3)2
 x2 - 6x + 9 = 3x - 4 
 x2 - 9x + 13 = 0 
 9 29
 x 
 2
 9 29
 x 
 2
 9 29
đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương trình (1) là x = .
 2
Lưu ý: Không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để 
thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x 3 (*) để lấy nghiệm. 
Ví dụ 2: Giải phương trình
 3x2 2x 1 - 3x = 1 (2)
Nhận xét : 
Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến 
đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x 2 - 2x -1 0 và thay giá trị 
của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.
Ta có thể giải như sau:
Giải : 
 1
Điều kiện: x - (**)
 3
Khi đó pt(2) 3x2 - 2x - 1 = (3x + 1)2 
 3x2 - 2x - 1 = 9x2 + 6x + 1 
 9 Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động hơn 
trong cách đặt vấn đề bài giải : Điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì? biến đổi 
như thế nào là biến đổi tương đương? biến đổi như thế nào là biến đổi hệ quả? kết 
luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào?
2. Giải pháp 2:
* Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f(x) = g(x) (2) 
a) Phương pháp:
 Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi
 f(x) ≥ 0 (g(x) ≥ 0)
Pt (2) f(x) = g(x)
Lưu ý: Không cần đặt đồng thời cả f(x) ≥ 0 và g(x) ≥ 0 vì f(x) = g(x).
b) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
 3x 2 = 2x 1 . (1)
Giải:
 1
Điều kiện x (*)
 2
Pt(1) -3x + 2 = 2x + 1
 1
 5x = 1 x = (thoả mãn với điều kiện (*) )
 5
 1
 Vậy nghiệm của phương trình là x = .
 5
 1
Lưu ý: Điều kiện x (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) nên ta 
 2
chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của phương trình.
Ví dụ 2: Giải phương trình
 2x2 3x 4 = 7x 2 (2)
 11 x 1 = 2 x + 1 = 4 x = 3 (thoả mãn điều kiện (*) ) 
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.
Ví dụ2: Giải phương trình
 3x 7 - x 1 = 2 (2) [4]
Giải:
 7
 3x 7 0 x 
Điều kiện 3 x 1 (**)
 x 1 0
 x 1
Chuyển vế và bình phương hai vế ta được
 Pt (2) 3x 7 = 2 + x 1 
 với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm , bình phương hai vế ta được.
 3x + 7 = x + 5 + 4 x 1
 2x 1 = x + 1 tiếp tục bình phương hai vế 
 4x + 4 = x2 + 2x + 1
 x2 -2x - 3 = 0
 x 1
 (thoả mãn điều kiện (**))
 x 3
 Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 hoặc x = 3 .
 Ví dụ 3: Giải phương trình 2 x 4 x 1 2x 3 4x 16 . [5]
Giải: Ta có 
 Pt 2 x 4 x 1 2x 3 2 x 4
 x 4 0
 x 4 0 x 4
 x 1 0 
 x 1 2x 3 x 2
 x 1 2x 3
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Lưu ý: Học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau
 Ta có : 2 x 4 x 1 2x 3 4x 16
 13 2x 3 + x 1 = 3x + 22x2 5x 3 - 16 (4) [3]
 3
 2x 3 0 x 
HD: Điều kiện 2 x -1 (****)
 x 1 0
 x 1
Nhận xét: Đây là phương trình khá phức tạp nếu bình phương hai vế của phương 
trình ta cũng không thu được kết thuận lợi khi giải nên ta cớ thể giải như sau.
Đặt 2x 3 + x 1 = t (ĐK: t 0)
 3x + 22x2 5x 3 = t2 - 4
 Pt (4) t2 - t - 20 = 0 t = 5 (nhận) hoặc t = - 4 (loại)
Với t = 5 →22x2 5x 3 =21 - 3x ( là phương trình thuộc dạng 1)
 21 3x 0
 2 2 
 4(2x 5x 3) 441 216x 9x
 x 7
 1345
 2 x = 118 - (thoả mãn ĐK)
 x 236x 429 0
 Vậy nghiệm phương trình là x = 118 - 1345 .
Ví dụ 6: Giải phương trình
 2 2
 x – 7x + 12 = x 3 x x 6 [5]
Lời giải: Ta có
 2 2
 x – 7x + 12 = x 3 x x 6 
 (x-3)(x-4) = x 3 x 3 x 2 (x-3)(x-4) = x 3 2 x 2 
 (x 3) x 2 (x 3)(x 4) (1)
 (x 3) x 2 (x 3)(x 4) 2 
Giải (1) x 3 x 2 = (x-3)(x-4) x 3 x 2 x 4 0
 x 3 x 3
 x 2 x 4 x 7
Giải (2) x 3 x 2 = (x-3)(x-4) x 3 x 2 x 4 0
 15