Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giúp học sinh khắc phục sai lầm khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu số và phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong chương trình Đại số 10

 1.MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
 Trong quá trình giảng dạy, về dạng toán giải phương trình trong bài 
“Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai” trong Đại số 10 thì học 
sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai nguyên nhân là do 
không nắm vững lý thuyết vừa học.Việc giải hay sai nhất của học sinh lớp 10 
khi giải một phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêm điều kiện 
nào.Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học sinh giải phương trình mà 
mẫu thường là hằng số nên học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu được, gặp một số khó 
khăn và sai lầm do thực hiện các phép biến đổi, qua cách hiểu sai về công thức, 
do suy luận mà không xác định hết các trường hợp của bài toán nên dễ bị mất 
điểm ở phần này.
 Tiếp thu công văn của bộ Giáo dục & Đào tạo năm học 2016 – 2017, trong 
kì thi THPT Quốc gia có môn toán thay đổi hình thức thi từ thi tự luận sang thi 
trắc nghiệm. Học sinh phải thay đổi cách học và cách tư duy, cũng như nắm 
chắc kiến thức cơ bản ở sách giáo khoa là việc đầu tiên và quan trọng không thể 
xem thường. Đặc biệt, với thi trắc nghiệm, lượng kiến thức rộng, học sinh không 
nên học tủ, không được bỏ bất kỳ phần nào trong sách giáo khoa và bài tập 
thuộc chương trình. Khi chuyển qua hình thức thi trắc nghiệm môn Toán, học 
sinh không chỉ chú trọng tới cách trình bày cẩn thận trong bài thi nữa mà điều 
cần quan tâm hơn nữa là làm thế nào để giải nhanh, ngắn gọn và quan trọng là 
chính xác. Đối với hình thức trắc nghiệm khách quan, một trong những khó 
khăn lớn nhất là học sinh bị áp lực thời gian bởi phải vận dụng cả kiến thức và 
kỹ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian tương đối ngắn: Để đạt 
điểm Toán trắc nghiệm cao không chỉ nhờ mẹo hay thủ thuật giải mà chính là tư 
duy khoa học. Rèn luyện nhiều dạng bài tập để thực hiện tốt các kỹ năng như 
tính toán, sử dụng máy tính, vẽ hình, phương pháp loại trừ sẽ giúp học sinh tự 
tin hơn. Bằng kinh nghiệm nhiều năm dạy khối 10, tôi phát hiện ra những sai xót 
của học sinh như dùng biến đổi không tương đương, không đặt điều kiện khi 
giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và phương trình chứa ẩn dưới dấu căn dẫn 
đến thừa nghiệm hoặc làm mất nghiệm của phương trình. Là một giáo viên trực 
tiếp đứng lớp tôi mạnh dạn chọn một khía cạnh nhỏ này để chỉ ra những sai lầm 
và khắc phục sai lầm đó cho học sinh khi giải phương trình nhằm giúp học sinh 
giải quyết bài tập một số dạng phương trình trong sách giáo khoa Đại số 10. 
Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Một số kinh nghiệm Giúp học sinh Khắc phục 
sai lầm khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu số và phương trình chứa ẩn 
dưới dấu căn trong chương trình Đại số 10.
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Phát hiện những sai lầm của học sinh có thể gặp trong quá trình giải toán 
và giải quyết những sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán.
 Giúp học sinh phát hiện và hiểu rõ nội dung bản chất về một số dạng 
phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình chứa ẩn dưới dấu căn chỉ ra những 
kiến thức nâng cao qua năng lực đọc hiểu, từ đó giúp học sinh nắm vững lý 
 1 3. Các phép biến đổi tương đương.
 Cho phương trình f (x) g(x) có tập xác định D, y = h(x) là một hàm số xác 
định trên D.
 1) f (x) g(x) f (x) h(x) g(x) h(x) .
 2) f (x) g(x) f (x)h(x) g(x)h(x) với h(x) 0 [2]
4. Các dạng phương trình thường gặp.
 f (x) f (x) 0
+) 0 [1]
 g(x) g(x) 0
+) f (x) g(x) [1]
 f (x).h(x) g(x).h(x)
+) f (x) g(x) [1]
 h(x) 0
 f (x) g(x) [1]
+) 
 Theo tình hình thực tế của việc giải toán của học sinh cho thấy các em còn 
yếu, thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu vấn đề chưa chắc, nắm bắt 
kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận ngôn ngữ và ký hiệu toán học 
chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán. Vì sao dẫn đến điều này có thể 
chia làm hai nguyên nhân:
 - Nguyên nhân khách quan:
 + Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít.
 + Lượng kiến thức mới được phân bố cho một tiết học còn quá tải.
 + Phần nhiều bài tập về nhà không có sự dẫn dắt , giúp đỡ trực tiếp của GV 
 - Nguyên nhân chủ quan : 
 + Số lượng học sinh trên lớp khá đông nên thời gian giáo viên hướng dẫn 
cho những học sinh thường gặp phải khó khăn còn hạn chế.
 + Một bộ phận nhỏ học sinh chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học, chưa tự 
giác khắc phục những kiến thức mình bị hổng trong quá trình giải bài tập.
 Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một số tồn tại sau: Học sinh 
thường mắc phải sai lầm khi giải các bài tập do không nắm vững kiến thức cơ 
bản, tiếp thu kiến thức chậm , học tập thụ động, giải bài tập cẩu thả, chép bài của 
các học sinh khá giỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả 
học tập.
 2.2. Thực trạng của vấn đề .
 Với kinh nghiệm dạy học môn toán nhiều năm ở trường với đối tượng 
học sinh nhận thức còn chậm đặc biệt các bài toán giải phương trình chứa ẩn ở 
mẫu thức và phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng, đây 
là những bài toán cơ bản làm cơ sở cho các bài toán trong các đề thi THPT Quốc 
Gia những năm tới, các em sẽ gặp một lớp các bài toán giải phương trình và giải 
hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và phương trình chứa ẩn dưới dấu căn mà 
chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa 
gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi 
trình bày giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh 
nắm được bài tốt hơn. 
 3 x 3
 x2 x 6 x2 x 6 0 
Lời giải đúng: 0 x 2(loai) x 3 
 2 2 
 x 2x 8 x 2x 8 0 
 x 2; x 4
 3x 1 4
Bài 1.2: Giải phương trình: 0
 x 2 x 2 x2 4
Học sinh thường trình bày như sau:
 x 2
 3x(x 2) (x 2) 4 3x2 5x 2
 0 0 3x2 5x 2 0 1
 x2 4 x2 4 x 
 3
Nguyên nhân sai : 
Khi giải bài toán trên học sinh chưa đặt điều kiện cho mẫu số khác không để 
phương trình có nghĩa tức là x2 4 0 x 2 nên x = 2 thì mẫu thức x 2 - 4 
=0 vậy x = 2 là nghiệm ngoại lai
Lời giải đúng: 
 3x(x 2) (x 2) 4 3x2 5x 2 (x 2)(3x 1)
 0 0 0
 x2 4 x2 4 (x 2)(x 2)
 3x 1 3x 1 0
 0 1
 x 2 x 2 0 x 
 3
 x 2 0 x 2 0
Lưu ý: Khi giải phương trình của bài 1.2 ta phải biến đổi để đưa về dạng 1
Khi làm các bài tập trắc nghiệm thì học sinh có thể nhận biết nhanh môt số đáp 
án loại trừ phương án sai như nghiệm làm cho mẫu số bằng 0 các đáp án còn lại 
thì sử dụng máy tính để kiểm tra nhanh kết quả.
Bài tập trắc nghiệm:
 3x 3 4
Bài 1.3: Phương trình : 3 có nghiệm.
 x2 1 x 1
 A. x = -1 hoặc x = 10 B. x = 1 hoặc x = -10 C. x = 10 D. x = -1
 3 3 3
 x 2 2 1
Bài 1.4: Phương trình : có nghiệm
 x 2 x(x 2) x
 A. x= 0 hoặc x = - 1. B. x = - 1 C. x = 0 hoặc x = 1 D. x = 1
Trong bài 1.3 ở trên có thể loại trừ ngay đáp án A, B, D vì ba đáp án trên có 
nghiệm làm cho mẫu số bằng không.
Tương tự với bài 1.4 ta loại trừ hai đáp án A, C hai đáp án còn lại ta có thể sử 
dụng máy tính hoặc biến đổi nhanh để chọn đáp án đúng.
Bài tập tương tự: 
 x2 7x 6
Bài 1.5: Giải phương trình: 5
 x 6
 x 1 3x 5 2x2 3
Bài 1.6: Phương trình : có nghiệm
 x 2 x 2 4 x2
 5 A. S = 2; 2;3 B. S = 3; 2 C. S = 2 D. S = 2; 2
Giải: Chọn C
Miền xác định: D  2;2
 2
Phương trình: (x-3)( 4 x x) 0 
 x 3 (lo¹i)
 x 3 
 x 3 0 x 3 x 0
 x 0 
 2 2 
 4 x x 0 4 x x x 2 (lo¹i)
 4 x2 x2 
 x 2 (nhËn)
Các phương án nhiễu mà học sinh thường mắc sai lầm:
+) Học sinh có thể chọn nhầm phương án A khi giải ở bước 3 và không tìm 
TXĐ.
+) Học sinh có thể chọn nhầm phương án B khi quên tìm miền xác định của 
phương trình ban đầu các bước thực hiện vẫn đúng.
+) Học sinh có thể chọn nhầm phương án D do sai ở bước thứ ba.
Bài 2.4: Phương trình: x 4 (x2 - 3x + 2) = 0
 A. Vô nghiệm B Có nghiệm duy nhất
 C. Có hai nghiệm D. Có ba nghiệm
Giải: Chọn B
+) Học sinh có thể chọn phương án A do mắc các sai lầm sau: Tập xác định 
 x 4
 2 2 x 1 (lo¹i)
Phương trình: x 4 (x - 3x + 2) = 0 x 3x 2 0 
 x 2 (lo¹i)
Không xét trường hợp x 4 0 nên đã làm mất nghiệm x = 4.
+) Học sinh có thể chọn phương án C do mắc các sai lầm sau: chỉ xét trường 
 2 x 1
hợp x 3x 2 0 không xét trường hợp x 4 0 . 
 x 2
Học sinh có thể chọn phương án D do mắc các sai lầm sau: 
 x 4
 x 4 0 
 x 4 (x2 - 3x + 2) = 0 x 1
 2 
 x 3x 2 0
 x 2
Bài tâp tương tự: 
Bài 2.5: Giải phương trình: (x+1) x2 x 2 2x 2 [1]
Bài 2.6: Tập nghiệm của pt (x2 2x 3). x 1 0 : 
 A. 1;3 B. 1 C. 1;1;3 D. 1;3
3/ Giải pháp 3 : 
Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 3: f (x) g(x) (3)
Giáo viên hướng dẫn học sinh nắm được cách giải tổng quát dạng phương trình 
(3) 
 f (x).h(x) g(x).h(x)
 Pt(3) f (x) g(x) [1]
 h(x) 0
 7 A
 nÕu A 0, B 0
 A. B nÕu A, B 0 A B
 A.B ; 
 A. B nÕu A, B 0 B A
 nÕu A 0, B 0
 B
Bài 4.1: Giải phương trình (x 4)2 (x 5) x 4
Học sinh thường trình bày như sau:
 (x 4)2 (x 5) x 4 (x 4) x 5 x 4 (x 4)( x 5 1) 0
 x 4 0; x 5 0 x 5 x 5
 x 4 0 x 4 (lo¹i)
 x 5 1 x 5 1 x 6
 x 5 x 5
Nguyên nhân sai : Phương trình nhận x= -4 là nghiệm, nghĩa là cách giải trên 
đã làm mất nghiệm x = -4
Lời giải đúng : 
 (x 4)2 (x 5) x 4 (x 4) x 5 x 4 (x 4)( x 5 1) 0
 x 4 0 x 4 x 4
 x 4 0 x 4 x 4
 x 5 1 x 5 1 x 6
Bài 4.2: Giải phương trình (x 1)(x2 x 2) x 1 (4.2)
Học sinh thường trình bày như sau:
Pt (4.2) (x 1)[(x+1)(x-2)] x 1 
 x 1 0
 x 2 0
 2 x 2 1
 (x 1) (x 2) x 1 x 1 x 2 x 1 x 3
 x 2 1 x 1
 x 1 0
Nguyên nhân sai : x=-1 là nghiệm của phương trình.
Lời giải đúng: Pt(4.2) (x 1)[(x+1)(x-2)] x 1 
 x 1 0 x 1
 2 x 1
 (x 1) (x 2) x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 1 
 x 3
 x 1 0 x 1
Bài tập trắc nghiệm:
Bài 4.3: Tập nghiệm của phương trình : 2x 3 x 3 là :
 A. T 6,2 B. T 2 C. T 6 D. T 
Giải: Chọn C
 3
 2x 3 0 x 
Điều kiện của phương trình là 2 (*)
Bình phương hai vế của phương trình ta đưa tới phương trình hệ quả
 9