Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mới

 1. MỞ ĐẦU
 • Lí do chọn đề tài
 Trong các đề thi Đại học những năm gần đây, chủ đề hệ phương trình đại số 
ngày càng đa dạng và khó hơn. Đây là câu phân loại học sinh khá và giỏi, vì thế 
học sinh đại trà, trung bình không dám học , ôn và luyện chủ đề này. Nguyên do 
là, chủ đề hệ phương trình tương đối đa dạng với nhiều phương pháp giải, với 
lực học bản thân, các em không dám học và ngại học. Hơn nữa, thời lượng phân 
phối chính khóa cho “Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn” trong Đại 
số 10 là tiết 38-39 (ghép với ‘ Câu hỏi và bài tập ôn tập chương III’), có thể nói 
là rất ít và một đến hai tiết tự chọn để luyện tập thêm cũng vẫn còn làm các em 
bỡ ngỡ, sợ sệt với chủ đề hệ phương trình. Để giúp các em tự tin, tiếp cận và 
nâng cao năng lực giải toán chủ đề hệ phương trình, tôi đã nghiên cứu và viết 
sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo 
cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có 
yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mới”. 
 • Mục đích nghiên cứu
 Giúp học sinh nhận dạng, giải được các hệ phương trình có yếu tố đồng bậc, 
sáng tạo thêm nguồn bài tập thuộc dạng này, khai thác và phát triển thành dạng 
khác của hệ phương trình. Bước đầu tiếp cận đa dạng với chủ đề hệ phương 
trình.
 Bồi dưỡng cho học sinh các kĩ năng của toán học, nâng cao năng lực tư duy, 
sáng tạo của bản thân trong học toán nói chung và nâng cao khả năng giải bài 
toán hệ phương trình trong các đề thi Quốc gia nói riêng.
 • Đối tượng nghiên cứu
 Các hệ phương trình có yếu tố đồng bậc (đẳng cấp): có phương trình đồng 
bậc, hệ đồng bậc, hệ quy được về đồng bậc. Một số hệ phương trình bậc hai, hệ 
có phương trình bậc cao, có căn thức áp dụng được cách giải của hệ có yếu tố 
đồng bậc.
 • Phương pháp nghiên cứu
 Để nghiên cứu và viết đề tài, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
 - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thu thập thông tin, đàm thoại, vấn 
đáp ( nghiên cứu phân phối chương trình, lấy ý kiến của giáo viên và học sinh 
thông qua trao đổi trực tiếp).
 - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết ( nghiên cứu các loại tài 
liệu sư phạm, chuyên môn liên quan đến đề tài.)
 - Phương pháp thống kê và xử lí số liệu ( tiến hành thực hiện đề tài trên một 
số lớp giảng dạy, phân tích và đánh giá kết quả đề tài qua việc thống kê và xử lí 
số liệu bài kiểm tra).
 1 Bước 2: xét x 0 (hoặc y 0), đặt y = tx,chia hai vế của phương trình cho 
xn ( hoặc yn), giải phương trình ẩn t, tìm được y theo x.
 Ví dụ 1. Phương trình x3 2xy2 x2 y 8y3 0 là phương trình đồng bậc 
(đẳng cấp) bậc 3.
 Khi y = 0 thì x = 0,
 Khi y 0 đặt x = ty, phương trình có dạng x3 2x3t 2 x3t 8x3t3 0
 x3 (8t3 2t 2 t 1 0) (8t3 2t 2 t 1 0) (t 2)(t 2 t 4) 0 t 2 
hay x = -2y.
 Ví dụ 2. Phương trình 2x4 3x3 y 2x2 y2 xy3 2y4 0 là phương trình đồng 
bậc ( đẳng cấp) bậc bốn.
 Khi x = 0 thì y = 0.
 Khi x 0 đặt y = tx, phương trình có dạng 2x4 3tx4 2t 2 x4 t3 x4 2t 4 x4 0
 x4 (2 3t 2t 2 t3 2t 4 ) 0 2 3t 2t 2 t3 2t 4 0 
 (t 1)(2t 1)( t 2 t 2) 0 ( dùng máy tính Casio fx-570VN PLUS tìm nghiệm) 
 1
 t 1t (phương trình đồng bậc bậc bốn viết được dưới dạng (x - y)(x + 
 2
2y)(- y2 - yx - 2x2) = 0). Ta có x = y  x = -2y.
 2. Hệ phương trình đồng bậc (đẳng cấp)
 k
 P (x, y) c1
 là hệ có dạng (c ,c ¡ ) , trong đó Pk (x, y) , Qk (x, y) là các đa 
 k 1 2
 Q (x, y) c2
 k
 k k i i k
thức bậc k, không chứa thành phần nhỏ hơn bậc k: P (x, y)  pi x y ; Q (x, y)
 i 0
 q
 q xk i yi ( p ,q ¡ ) . 
  i i i
 i 0
 Cách giải. 
 • Xét x = 0 (hoặc y = 0), tìm các nghiệm dạng (0;y)( hoặc (x;0)) của 
 hệ (nếu có).
 y
 • Xét x 0. Đặt y = tx ( t ), đưa hệ về dạng 
 x
 k k k
 P (x,tx) c1 x P (t,1) c1 (1)
 . Suy ra c Pk (t,1) c Qk (t,1) là phương trình ẩn t. 
 k k k 2 1
 Q (x,tx) c2 x Q (t,1) c2 (2)
Tìm được t thay vào ( 1) hoặc (2) tìm được x, từ đó có y.
 x2 2xy 3y2 9 (1)
 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
 2 2
 2x 13xy 15y 0 (2).
 Giải.
 • Xét x = 0 thay vào (2) được y = 0, thay vào (1) không thỏa mãn.
 • Xét x 0. Đặt y = tx, phương trình (2) có dạng
 1 2 2 1
 2x2 13tx2 15t 2 x2 0 x2 (2 13t 15t 2 ) 0 t t . Do đó y x  y x .
 5 3 3 5
 3 k m
 P1 (x, y) P2 (x, y)
 b. Hệ có dạng , với k - q = m - n; m, n, p, q ¥ .
 q n
 Q1 (x, y) Q2 (x, y)
 Cách giải. Như cách 2 mục a.
 2x2 x(y 1) y2 3y
 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
 2 2
 x xy 3y x 2y.
 ( Trích “ 90 đề thi thử Toán tập 2 - Gia sư trực tuyến ”.
 Giải. Hệ phương trình đã cho tương đương với
 2x2 xy y2 x 3y (1)
 2 2
 x xy 3y x 2y.
Nhân chéo các vế của hai phương trình lại với nhau ta được 
 ( 2x2 xy y2 )( x 2y )=( x2 xy 3y2 )( x 3y )
 3x3 7x2 y 3xy2 7y3 0
 x y
 (x y)(x y)(3x 7y) 0 x y .
 7
 x y
 3
Với x y thì (1) 2x2 2x 0 x 0  x 1. Khi đó (x; y) = (0; 0), (1; 1).
Với x y thì (1) 4x2 4x 0 x 0  x 1. Khi đó (x; y) = (0; 0), (-1; 1).
 7 86 2 7 7 3
Với x y thì (1) x2 x 0 x 0  x . Khi đó (x; y) = (0; 0), ( ; ).
 3 49 7 43 43 43
 7 3
Hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 1), (-1; 1), ( ; )
 43 43
 x3 4y y3 16x
 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
 2 2
 1 y 5(1 x ).
 x3 y3 4(4x y) (1)
 Giải. Hệ phương trình đã cho tương đương với 
 2 2
 y 5x 4 (2).
Thế hệ số 4 ở (2) vào (1) ta có x3 y3 ( y2 5x2 )( 4x y) 
 21x3 5x2 y 4xy2 0 
 x 0
 x(3x y)(7x 4y) 0 y 3x 
 4
 x y
 7
 4y y3
Với x = 0 thì hệ có dạng y2 4 y 2 . Vậy (x; y) = (0; 2), (0; - 2).
 2
 1 y 5
 x3 12x 27x3 16x 28x(x2 1) 0
Với y = 3x thì hệ có dạng x2 1 x 1. 
 2 2 2
 1 9x 5(1 x ) 4(x 1) 0
Vậy (x; y) = (1; -3), (-1; 3).
 5 ( Đề đề nghị Olympic 30/4/2009).
 1 1 3 1
 ( Đáp số : (x; y) (1;0),(0; ),(1; ),( ; ) ).
 2 2 3 25 2 3 25
 2x2 y2 xy x 3y
 Bài 4. Giải hệ phương trình 
 2 2
 x 3y xy x 2y.
 7 3
 ( Đáp số : (x; y) (0;0),(1;1),( 1;1),( ; ) ).
 43 43
 x2 xy y2 3
 Bài 5. Giải hệ phương trình x5 y5 31
 3 3 .
 x y 7
 ( Đáp số : (x; y) ( 2;1),(2; 1),(1; 2),( 1;2) ).
 x3 y3 2x2 y2
 Bài 6. Giải hệ phương trình 
 2y x 3xy.
 11 37 4 37 11 37 4 37
 ( Đáp số : (x; y) (0;0),(1;1),( ; ),( ; ) ).
 8 9 8 9
 x3 8x y3 2y
 Bài 7. Giải hệ phương trình 
 2 2
 x 3y 6.
 4 6 6 4 6 6
 ( Đáp số : (x; y) (3;1),( 3; 1),( ; ),( ; ) ).
 13 13 13 13
 5x2 3y x 3xy
 Bài 8. Giải hệ phương trình 
 3 2 2 3
 x x y 3y .
 (Trích đề thi thử Đại học năm 2013-Trường THPT Chuyên Amsterdam 
Hà Nội.)
 1 1
 ( Đáp số : (x; y) (0;0),( 1;1),( ; ) ).
 2 2
 x2 2y2 xy 2y
 Bài 9. Giải hệ phương trình 
 3 2 2 2
 2x 3xy 2y 3x y.
 ( Đáp số : (x; y) (0;0),(1;1) ).
 2.3.3. Một số cách sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc
 1. Từ một nghiệm chọn trước của hệ tạo ra các phương trình trong hệ. 
 x 1 x3 2y3 15
 Ví dụ 1. Với ta có Do y = -2x nên trong khi
 2 2 3
 y 2 3x y xy y 6.
 x
giải hệ ta sẽ giải một phương trình bậc ba ẩn t (với t ), phương trình này có 
 y
nghiệm đẹp t = -2. Vậy ta có bài toán sau.
 x3 2y3 15
 Bài toán 1. Giải hệ phương trình 
 2 2 3
 3x y xy y 6.
 Giải.
 7 x3 2tx3 3 x3 (1 2t) 3
 4 4 4 4 4
 x t x x 8tx 0 x (1 t ) x(8t 1).
 Chia tương ứng các vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ 
 1 t 4 8t 1
nhất ta có 
 1 2t 3
 3t 4 3 16t 6t 1
 3t 4 16t 2 6t 4 0 
 (t 2)(3t3 6t 2 4t 2) 0
 t 2
 3 2 . 
 3t 6t 4t 2 0 (1)
 Phương trình (1) khó khăn trong việc tìm nghiệm đúng. 
 Nhận xét. Như vậy , khi tạo các hệ phương trình có yếu tố đồng bậc, cần 
lưu ý tạo phương trình ẩn t mà tìm được tất cả các nghiệm của nó. Nếu chọn 
phương trình bậc cao ẩn t (bậc ba, bậc bốn,...) có nghiệm vô tỉ thì nên chọn t là 
hai nghiệm vô tỉ của một phương trình bậc hai. Ta có thể tham khảo cách tạo hệ 
phương trình có yếu tố đồng bậc từ phương trình bậc cao sau.
 2. Từ phương trình bậc cao giải được tạo hệ phương trình có yếu tố 
đồng bậc.
 Ví dụ 1. Muốn có hai nghiệm vô tỉ t trong phương trình bậc cao, ta lấy 
chúng là nghiệm từ phương trình bậc hai có nghiệm vô tỉ sau 4t 2 6t 1 0 , sau 
đó ghép tam thức bậc hai 4t 2 6t 1 nhân với nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai 
khác,....Từ đó tạo ra các phương trình bậc ba, bậc bốn ẩn t giải được các nghiệm. 
Chẳng hạn, phương trình ( 4t 2 6t 1) (t 1) 0
 4t3 10t 2 5t 1 0
 4 4 3 2
 t 1 t 4t 10t 5t 
 4 3 2
 t 1 t(t 4t 10t 5) 
 t 1 3
 y3 ( đặt bằng y , do bậc của mẫu thức và tử thức 
 t 4 1 t3 4t 2 10t 5
hơn nhau ba bậc.)
 t y3 (t 4 1)
Ta có 
 3 3 2
 1 y (t 4t 10t 5).
 x4 y4 x
Đặt x = ty, ta có hệ Ta có bài toán sau.
 3 2 2 3
 x 4x y 10xy y 1.
 x4 y4 x
 Bài toán 1. Giải hệ phương trình 
 3 2 2 3
 x 4x y 10xy y 1.
 Ví dụ 2. Phương trình ( 4t 2 6t 1) (4t 2 22t 39) 0
 16t 4 112t3 284t 2 212t 39 0 
 17t 4 112t3 284t 2 212t 39 t 4 
 t(17t3 112t 2 284t 212) 39 t 4 
 9