Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT

 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động dạy 
học tích cực cho người học. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy nhu cầu tìm tòi, khám 
phá chiếm lĩnh của người học; phát triển tư duy, phát huy khả năng tự học của 
học sinh.
 Thực tế cho thấy qua những năm giảng dạy ở trường THCS. Tôi nhận 
thấy rằng các em học sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi 
cử đặc biệt là thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và thi vào các trường chuyên. 
Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể 
thiếu đó là chương “Góc với đường tròn” SGK Toán 9 Tập 2- Trang 88 Nhà 
xuất bản giáo dục. Đề bài thường cho dưới dạng: Chứng minh tứ giác nào đó 
nội tiếp một đường tròn. Phần lớn các em rất bối rối không làm được bài, bởi 
vì các em chưa nhận thấy được các dữ kiện của bài toán đã cho có liên quan 
đến một kiến thức rất quan trọng về dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một 
đường tròn mà các em đã được học. Xuất phát từ lý do đó, qua nhiều năm 
giảng dạy lớp 9 và học hỏi ở đồng nghiệp, tôi rút ra được một số kinh nghiệm 
cho bản thân để cùng các em giải quyết được vấn đề khó khăn ở trên. Chính 
vì vậy tôi rất tâm đắc và chọn đề tài: 
“ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà 
ôn thi vào lớp 10 THPT ”.
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
2.1.Mục đích nghiên cứu 
 Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích:
+ Giúp cho bản thân có kiến vững vàng hơn trong công tác giảng dạy và ôn 
tập cho học sinh.
+ Giúp cho học sinh vững tin hơn trong việc ôn tập và làm bài thi tuyển sinh 
vào lớp 10 THPT.
+ Giúp học sinh lớp 9 tiếp cận và giải được dạng toán Chứng minh tứ giác 
nội tiếp một đường tròn trong chương trình THCS hiện hành.
 1 Nếu trong quá trình học tập em nào cũng có phương pháp học tập tốt, biết 
phân dạng bài tập, nhận ra dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một đường tròn, 
trong chương “Góc với đường tròn” (Chương III - Hình Học 9-Tập 2) thì kết 
quả chất lượng sẽ cao, học sinh không phải lo sợ nhiều về việc lĩnh hội tri 
thức. 
 B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
 Trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, dạng toán Chứng minh 
tứ giác nội tiếp một đường tròn thường gặp. Muốn giải được bài tập dạng 
này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các dấu hiệu nhận biết và phải biết vận 
dụng chúng vào từng loại bài tập. Cái khó ở đây là kĩ năng vẽ hình của các em 
học sinh rất yếu. Chính vì vậy một số em có học lực trung bình, yếu không 
làm được bài tập. Vì vậy cần phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình và 
nhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa Hình học và các đơn vị kiến thức 
liên quan để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó một cách linh 
hoạt vào việc giải bài tập, làm bài thi tự tin hơn.
 Từ thực tế nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, 
để nâng cao chất lượng dạy học bộ môn và phân loại các dạng bài tập giúp 
học sinh yếu kém có cơ hội làm được toán, tôi đã sưu tầm một số dạng bài 
toán qua các đề thi năm trước để khi thực hiện học sinh dễ tiếp cận, với đề tài 
“ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà 
ôn thi vào lớp 10 THPT ”.
 Tôi đã hệ thống một số dạng bài tập mà học sinh có học lực yếu, kém có 
thể tiếp cận và giải được. Với mỗi dạng tôi đều đưa ra kiến thức cơ bản cần sử 
dụng và các ví dụ minh hoạ phù hợp. Ngoài ra còn có các dạng bài tập liên 
quan nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học bộ môn toán, kích thích 
lòng say mê hứng thú khi học môn Toán, phát triển tư duy độc lập sáng tạo và 
năng lực tự học cho học sinh lớp 9.
 3 Qua kết quả điều tra khảo sát ở trên tôi thấy tỉ lệ học sinh yếu, kém chiếm 
tỉ lệ khá cao, học sinh còn lúng túng chưa biết phân loại các dạng toán, chưa 
nhận ra các dấu hiệu để áp dụng, bên cạnh đó tâm lý lo sợ, e ngại thiếu tự tin. 
 Trong chương trình toán THCS, môn Hình học là rất quan trọng và rất cần 
thiết cấu thành nên chương trình toán học cấp THCS cùng với môn số học và 
đại số. Hình học là một bộ phận đặc biệt của toán học. Phân môn Hình học 
này có tính trừu tượng cao, học sinh luôn coi là môn học khó. Với môn Hình 
học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính toán, suy 
luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Đặc biệt là rèn luyện cho 
học sinh đại trà trong cách tìm lời giải bài tập toán. Vì vậy muốn học tốt môn 
học này không những đòi hỏi học sinh phải có các kĩ năng đo đạc và tính toán 
như các môn học khác mà còn phải có kĩ năng vẽ hình, khả năng tư duy hình 
học, khả năng phân tích tìm lời giải bài toán và khả năng khai thác các cách 
giải và phát triển bài toán theo một cách có hệ thống. 
 Điều đó đã dẫn đến một số thực trạng là có không ít học sinh lớp 9 chỉ 
chuyên tâm vào học môn Đại số và bỏ mặc môn Hình học. Nguyên nhân thì 
có nhiều nhưng nguyên nhân cơ bản là các em không biết định hướng chứng 
minh, không tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức và còn không biết cách 
trình bày lời giải.
 Với tầm quan trọng như vậy, để khắc phục tình trạng trên và giúp các 
em có cái nhìn đúng đắn về việc học bộ môn Hình học. Trong quá trình giảng 
dạy, bên cạnh tìm ra phương pháp dạy lý thuyết thích hợp, người thầy luôn cố 
gắng rèn cho học sinh khả năng định hướng chứng minh qua các nội dung bài 
tập, củng cố lý thuyết và bài tập luyện tập. 
 Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở 
định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK Toán 9 tập 2 thì SGK đã chia 
nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt 
các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp 
một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. 
Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một 
đường tròn.
 Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng 
giúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 ( Hình chữ nhật) 
để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác.
 Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đưa ra một số cách để 
chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nội 
tiếp một đường tròn”. 
 5 Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp 
 D
(Tổng hai góc đối bằng 1800 ) C
Dạng 4: Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa 
góc. O
 A
 Xét tứ giác ABCD có ADB ACB . 
 B
 Với C, D nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ 
chứa AB ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. 
Ta có: ADB ACB và AB cố định nên C và D 
 D C
nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn AB (theo 
bài toán quỹ tích cung chứa góc ) 
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường A
 O B
tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp .
Vậy là ta có cách thứ tư để chứng minh tứ giác nội 
tiếp một đường tròn.
 Với trường hợp đặc biệt : Khi cho = 90o ta có ADB ACB 900 . Và hai 
điểm C, D liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc 900 
 Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB
Ta có thể xét thêm trường hợp dựa vào kết 
quả bài toán phương tích: Từ một điểm M M
 A
nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến 
 B
MAB, MCD. C
Chứng minh MA.MB = MC. MD. O
Ta chứng minh ∆MAD ∆MCB (g-g)
 MA MD
 => => MA.MB = MC. MD. D
 MC MB
Đảo lại: Nếu có: MA.MB = MC.MD 
và A MB; C MD. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Ta dễ dàng chứng minh ∆MAD ∆MCB (c-g-c) => MDA MBC . 
Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp ( Quỹ tích cung chứa góc).
Với trường hợp này đa phần là ứng dụng để chứng minh đẳng thức: a.b = c.d
 Như vậy với cách nghiên cứu như trên cùng với định nghĩa đường tròn ta 
có một số cách chứng minh (dấu hiệu nhận biết) nhanh tứ giác nội tiếp một 
đường tròn để vận dụng làm bài tập. 
 7 ∆ABC vuông tại B nên ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC.
∆ADC vuông tại D nên ∆ADC nội tiếp đường tròn đường kính AC.
=> A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
 Tâm của đường tròn là trung điểm O của đoạn thẳng AC.
Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, kẻ các đường cao BH, CK. Chứng minh các 
điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm đường tròn.
Phân tích tìm lời giải: Với yêu cầu bài toán, ta A
cần xét những tam giác vuông nào có cùng cạnh 
huyền? Vì sao tam giác đó vuông ? K
 Lời giải :
 H
Ta có BH là đường cao của tam giác ABC nên 
 BHC 900 .
 B C
 Suy ra ∆BCH vuông tại H nên ∆BCH nội tiếp O
đường tròn đường kính BC (1)
Tương tự, ta có CK là đường cao của tam giác 
ABC nên BKC 900
 Suy ra ∆BCK vuông tại K nên ∆BCK nội tiếp đường tròn đường kính BC (2)
Từ (1) và (2) => B, H, C, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
 Gọi O là trung điểm BC=> Tâm đường tròn là trung điểm O của BC.
 Nhận xét chung: Với dạng toán này ta có thể dễ dàng chứng minh các 
điểm cùng thuộc một đường tròn và xác định được tâm của đường tròn đó. Ở 
cách chứng minh này các em cần phải chứng minh được tam giác vuông, các 
em hay sai sót ở chỗ chỉ ghi góc vuông. Một số em còn có thể sử dụng kiến 
thức đường trung tuyến ứng vơi cạnh huyền để xác định các điểm cách đều 
một điểm. Tuy nhiên cách chứng minh đó dài dòng hơn.
Dạng 2: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 1800.
Phương pháp: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180 0 thì 
tứ giác đó nội tiếp được đường tròn (định lý đảo trang 88 SGK Toán 9 tập 2). 
 Với dạng toán này chúng ta cần nhìn nhận một cách cụ thể, phán đoán tốt 
về cặp góc đối điện, nếu nhận đính sai cặp góc dẫn đến chứng minh không 
hiệu quả.
Bài toán 2.1: Cho tứ giác ABCD có ABC ADC 900 . Chứng minh tứ giác 
ABCD nội tiếp đường tròn. Xác định tâm đường tròn.
 9 Với tứ giác SAOB ta có thể dễ dàng chọn cặp góc đối diện nhờ hình vẽ 
bởi tiếp tuyến SA, SB. Với tứ giác SHOB ta có nhận xét gì về điểm H?
( Kiến thức cần dùng ở đây là quan hệ đường kính và dây). Ở đây ta có thể sử 
dụng kiến thức ở phần kết luận để suy ra vấn đề cần chứng minh cho điểm H. 
Với cách chia nhỏ như trên ta có thể dễ dàng chứng minh các điểm cùng 
thuộc một đường tròn.
Lời giải : 
 Xét tứ giác SAOB có: SA, SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên 
 SAO SBO 900 => SAO SBO 900 900 1800 .
Suy ra tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn đường kính SO. (1)
 ( Tổng hai góc đối diện bằng 1800 )
Xét đường tròn (O) có H là trung điểm CD nên OH  CD nên SHO 900 .
Xét tứ giác SHOB có SHO SBO 900 900 1800 .
Suy ra tứ giác SHOB nội tiếp đường tròn đường kính SO. (2)
 ( Tổng hai góc đối diện bằng 1800 )
Từ (1) và (2) => S, A, O, H, B, cùng thuộc đường tròn đường kính SO
Bài toán 2.4 
 A
 ( Kiểm tra học kì II năm 2015 – 2016)
 Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) nội tiếp 
đường tròn (O). Vẽ bán kính OD vuông góc với O
dây BC tại I. Tiếp tuyến đường tròn (O) tại C và 
D cắt nhau tại M. Tia CM cắt tia AD tại K, tia 
 B C
AB cắt tia CD tại E. I
 a/ Chứng minh tứ giác ODMC nội tiếp một D M
đường tròn.
 b/ Chứng minh tứ giác ACKE nội tiếp. E
 K
 c/ Chứng minh EK // DM. 
 Phân tích tìm lời giải: 
 - Phân tích tương tự, ta có thể chứng minh tứ giác OCMD nội tiếp.
 Lời giải : Xét tứ giác ODMC có: CM, DM là tiếp tuyến của đường tròn (O) 
nên MCO MDO 900 => MCO MDO 900 900 1800
Suy ra tứ giác ODMC nội tiếp đường tròn đường kính OM. ( Tổng hai góc đối 
diện bằng 1800 )
Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối 
diện. 
Phương pháp: Nếu một tứ giác có một góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối 
diện thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn. Dạng toán này chỉ là 
hệ quả của dạng 2.
 Với dạng toán này, đa số học sinh không làm được vì chứng minh các 
góc bằng nhau không được. Giáo viên cần khắc phục nhược điểm này bằng 
 11