Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10

 1. mở đầu
 - Lý do chọn đề tài
 Trong chương trỡnh toỏn phổ thụng núi chung và chương trỡnh Đại số 10 núi 
riờng chỳng ta đó làm quen với phương trỡnh bậc bốn. Tuy nhiờn cỏc em học 
sinh mới gặp cỏc phương trỡnh bậc bốn dạng đơn giản như phương trỡnh trựng 
phương, phương trỡnh quy hồi... qua vài phộp biến đổi học sinh cú thể giải quyết 
một cỏch dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp cỏc phương trỡnh bậc bốn khụng cú dạng 
đặc biệt cỏc em tỏ ra lỳng tỳng và hầu như đều khụng giải được.
 Mặt khác khi giải các bài toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình: 
vô tỷ, lượng giác, mũ và lôgarit, chúng ta cũng thường phải quy về giải phương 
trình bậc cao, trong đó có phương trình bậc bốn. Một số bài toán trong hình học, 
trong vật lý sau khi trải qua một số bước, cuối cùng cũng đều đi đến việc phải 
giải một phương trình bậc bốn. Cho dù đó chỉ là một bước nhỏ trong một bài 
toán nhưng nếu không giải quyết được bước nhỏ này thì chúng ta cũng chưa thể 
đưa ra kết luận của bài toán đó.
 Quỏ trỡnh giải cỏc bài toỏn giải phương trỡnh bậc bốn đũi hỏi học sinh phải 
biết võn dụng cỏc kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trỡnh, cỏc kỹ năng biến 
đổi từ dạng phức tạp và dạng đơn giản một cỏch linh hoạt. Học sinh cần cú tư 
duy lụgớc, khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo cỏc kiến thức về phõn tớch đa 
thức thành nhõn tử, biến đổi đồng nhất cũng như cỏc kiến thức về bất đẳng thức. 
Từ đú giỳp học sinh rốn luyện tư duy lụgớc, khả năng tưởng tượng, phỏt huy 
được tớnh tớch cực, chủ động và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. 
 Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và từ thực trạng trên, để học sinh 
có thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp các bài tập về phương trình bậc bốn, giúp 
các em phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài 
tập nhỏ, cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng 
dạy, tôi đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp giải phương trình 
bậc bốn cho học sinh lớp 10". Sáng kiến kinh nghiệm này đã được bản thân tôi 
áp dụng trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Hàm Rồng.
- Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc hơn các phương 
pháp giải phương trình bậc 4. Từ đó nghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng cao 
 - 1 - 2.3. Các phương pháp giải phương trình bậc 4 :
2.3. 1. Phương pháp đưa phương trình về dạng tích.
 Cho phương trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) (1) 
a) Phương pháp: 
Cách 1: Nhóm các hạng tử, sau đó đặt thừa số chung để đưa vế trái về dạng tích.
Cách 2:
- Bước 1: Đoán nghiệm x0 của phương trình dựa vào các kết quả sau:
+ Nếu a+b+c+d+e=0 thì (1) có nghiệm x = 1.
+ Nếu a-b+c-d+e=0 thì (1) có nghiệm x = -1.
 p
+ Nếu a, b, c, d, e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ thì p, q theo thứ tự là ước 
 q
của e và a.
- Bước 2: 
+ Bằng cách chia đa thức hoặc dùng lược đồ Hoócne, phân tích (1) thành: 
 x x
 3 2 0
(x- x0)(ax +b1x +c1x+d1) = 0 3 2
 ax b1x c1x d1 0 (1.1)
+ Giải phương trình (1.1) bằng cách:
 - Đoán nghiệm x1 của phương trình (1.1) dựa vào các kết quả sau:
 + Nếu a+b1+c1+d1=0 thì (1.1) có nghiệm x = 1.
 + Nếu a-b1+c1-d1=0 thì (1.1) có nghiệm x = -1.
 p
 + Nếu a, b1, c1 ,d1 nguyên và (1.1) có nghiệm hữu tỉ thì p, q theo thứ tự là 
 q
ước của d1 và a.
 3 3 c1
 + Nếu ac1 b1 d1 (a,b1 0) thì (1.1) có nghiệm x = .
 b1
 2
 - Phân tích (1.1) thành: (x- x1)(ax +b2x +c2) = 0 bằng cách chia đa thức hoặc 
dùng lược đồ Hoócne.
* Lược đồ Hoócne :
Nếu f(x) có nghiệm x=x0 thì f(x) chứa nhân tử (x-x0), tức là : f(x) =(x-x0).g(x).
 n n -1 
Trong đó : f(x) = anx + an -1x + ... + a1x + a0 
 n-1 n - 2 
 g(x)= bn-1x + bn - 2x + ... + b1x + b0
 - 3 - - Giải (2'), nếu (2') có nghiệm t0 0 thì (2) có nghiệm x t0
* Chú ý: 
- (2) vô nghiệm (2') vô nghiệm hoặc (2') có nghiệm t1 t2<0
- (2) có nghiệm duy nhất (2') có nghiệm t1 0 =t2
- (2) có 2 nghiệm phân biệt (2') có nghiệm t1 0
- (2) có 3 nghiệm phân biệt (2') có nghiệm 0=t1 <t2
- (2) có 4 nghiệm phân biệt (2') có nghiệm 0< t1 <t2
b) Ví dụ: 
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
 mx4-2(m-1)x2+m-1=0 (2.1)
Giải: Đặt t = x2 (t 0). Phương trình trở thành: 
 mt2 -2(m-1)t+m-1 =0 (2.2)
 Phương trình (2.1) có 3 nghiệm phân biệt
 (2.2) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 thoả mãn: 0=t1<t2
 m 0
 m 0 1 m 0
 m 0
 ' 0 m 1 
 0 m 1 (không có m thoả mãn)
 P 0 m 
 m 1
 S 0 2(m 1)
 0
 m
Vậy không tồn tại m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số 
cộng: x4 -2(m+1)x2+2m+1 =0 (2.3)
Giải: Đặt t = x2 (t 0) . Phương trình trở thành: 
 t2 -2(m+1)t+2m+1 =0 (2.4)
(2.3) có 4 nghiệm phân biệt (2.4) có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn : 0< t1 <t2
 ' (m 1)2 2m 1 0
 b 1
 2(m 1) 0 m 0
 a 2
 c
 2m 1 0
 a
Khi đó 4 nghiệm của (2.3) là : - t2 ; - t1 ; t1 ; t2
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng 
 - 5 - Ví dụ 2: Giải phương trình: (2x-1)(x-1)(x-3)(2x+3)=-9 (3.2)
Giải: Phương trình (3.2) (2x2-3x+1)(2x2-3x-9)=-9
Đặt t = 2x2-3x+1, suy ra 2x2-3x-9=t-10, phương trình (3.2) trở thành: 
 2 t 1
 t(t-10)=-9 t -10t+9=0 
 t 9
 x 0
 . Với t=1 thì 2x2-3x+1=1 3
 x 
 2
 3 73
 . Với t = 9 thì 2x2-3x+1=9 2x2-3x-8=0 x 
 4
 3 3 73
 Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x=0, x , x 
 2 4
Dạng 3 : Phương trình có dạng: 
 2
 4 3 2 e d 
 ax + bx +cx +dx+e =0 (a 0), với ;e 0 (4)
 a b 
a) Phương pháp: 
- Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (4), chia hai vế cho x2 0, ta được:
 e 1 d 1
 a(x2 . ) b(x . ) c 0 
 a x2 b x
 d e 1 d
- Đặt t= x , suy ra x2 . t 2 2. , phương trình (4) trở thành:
 bx a x2 b
 d
 at2+bt +c - 2a =0. Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.
 b
* Đặc biệt: Khi a=e, phương trình có dạng: ax4 + bx3+cx2 bx+a =0 (a 0)
ta cũng có cách giải tương tự.
b) Ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x4 - 21x3 +74x2 -105x + 50 = 0 (4.1)
Giải: Nhận thấy x =0 không phải là nghiệm của (4.1), chia hai vế của (4.1) cho
 25 5
 x2 0, ta được phương trình: 2(x2 ) 21(x ) 74 0
 x2 x
 5 25
Đặt t = x ( t 2 5 ), suy ra x2 t 2 10. Phương trình (4.1) trở thành:
 x x2
 t 6
 2
 2t 21t 54 0 9 (thỏa mãn đk)
 t 
 2
 - 7 - Dạng 5: Phương trình có dạng : 
 m( x +a)(x+b)(x+c)(x+d) = nx2 , với ab = cd 0, m 0, n 0 (6)
a) Phương pháp: 
 - Nhận thấy x=0 không là nghiệm của (6), chia hai vế cho x2 0, ta được:
 ab cd
 m(x + a+b + ) (x + c+d + ) = n
 x x
 ab
- Đặt t = x +a+b+ , ta đưa (6) về phương trình bậc hai ẩn t: mt(t-a-b+c+d)=n
 x
b) Ví dụ: Giải phương trình: 4(x+5)( x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 (6.1) 
Giải: (6.1) 4(x+6)( x+10)(x+5)(x+12) = 3x2 
 4(x2+16x+60)(x2+17x+60) = 3x2
 Nhận thấy x=0 không là nghiệm của (6.1), chia hai vế cho x2 0, ta được:
 60 60
 4(x + 16 + ) (x + 17 + ) = 3 ( 6.2)
 x x
 60
 Đặt t = x + 16 + , phương trình trở thành: 
 x
 1
 t 
 2
 4t ( t + 1) = 3 4t2 + 4t – 3 = 0 
 3
 t 
 2
 x 8
 1
. Với t= thì 2x2 + 31x + 120 = 0 15 
 2 x 
 2
 3 35 265
. Với t=- thì 2x2 + 35x + 120 = 0 x 
 2 4
 15 35 265
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x=-8, x=- , .
 2 4
Dạng 6: Phương trình có dạng:
 a.A(x) +b.B(x) + c.C(x) =0 với A(x).B(x) = C2(x), B(x) 0 (7)
a) Phương pháp: 
 C(x)
- Chia hai vế cho B(x) 0 rồi đặt t = 
 B(x)
- Phương trình (7) trở thành: at2+ct+b=0.
b) Ví dụ: Giải phương trình : -x3+2x2-4x +3 - (x2+x+1)2=0 (7.1)
Giải: Phương trình (7.1) 2(x-1)2-(x2+x+1)2 - (x3-1) =0
 - 9 - x 2 2x 4 0
 x 1 5
 2
 x 2x 8 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 1 5 ; x = 1 5
Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 + 4x -1=0 (9.2)
Giải: Phương trình (9.2) x4 +2x2+1 = 2(x2-2x+1)
 2
 2 2 x 1 2 x 1 
 x2 1 2 x 1 
 2
 x 1 2 x 1 
 x2 2x 1 2 0 (VN) 2 4 2 2
 x 
 2
 x 2x 1 2 0 2
 2 4 2 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 
 2
2.3.4. Phương pháp dùng hệ số bất định:
a) Phương pháp: Xét phương trình x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (10)
 2 2
- Bước1: Giả sử (10) phân tích được thành (x + a1x + b1)( x + a2x + b2)=0
 a1 a2 a
 a1a2 b1 b2 b
 Khi đó ta có: 
 a1b2 a2b1 c
 b1b2 d
- Bước 2: Xuất phát từ b1b2 = d, tiến hành nhẩm tìm các hệ số b1; b2; a1 ; a2. 
 2
 x a1x b1 0
- Bước 3: Phương trình (10) 
 2
 x a 2x b2 0
* Chú ý: Phương pháp này thường áp dụng khi việc nhẩm tìm các hệ số a 1; b1; 
a2; b2 là đơn giản.
b) Ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 + 4x3 +3x2 + 2x - 1 = 0 (10.1)
 2 2
Giải: Giả sử (10.1) phân tích được thành : (x + a1x + b1)( x + a2x + b2) = 0
 a1 a 2 4 b1 1
 a1a 2 b1 b2 3 b2 1
Khi đó: 
 a1b2 a 2 b1 2 a1 3
 b1b2 1 a 2 1
Phương trình (10.1) (x2 +3x -1)( x2 + x +1) = 0
 - 11 -