Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

 sở giáo dục và đào tạo hà nội 
 Tr•ờng ThPt nguyễn gia thiều 
Sáng kiến kinh nghiệm: 
 Một số ph•ơng pháp giảI 
 ph•ơng trình vô tỷ 
 Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn 
 Tổ : Toán 
 Hà Nội, 5 / 2011 
 mở đầu 
 Giải ph•ơng trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều 
học sinh kể cả học sinh đ•ợc cho là khá giỏi nhiều khi còn lúng túng tr•ớc việc 
giải một ph•ơng trình; trong đó có ph•ơng trình chứa căn thức đ•ợc coi là khó 
hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: “ Một số ph•ơng pháp giải ph•ơng trình vô tỷ ” để 
làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần 
giúp học sinh có thêm những kỹ năng cần thiết để giải ph•ơng trình chứa căn 
thức nói riêng và các dạng ph•ơng trình nói chung, đồng thời cũng mong muốn 
đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm đến môn toán. 
 Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong 
ch•ơng trình Toán bậc THPT hiện hành. Một phần sáng kiến kinh nghiệm này 
có thể sử dụng để chuyển sang phần bất ph•ơng trình cũng đ•ợc; xong khi 
chuyển sang bất ph•ơng trình có những phần sẽ đ•ợc mở rộng để có bài toán hay 
hơn. Do đó ng•ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào 
nhiều mục đích giáo dục khác nhau cũng đ•ợc. 
 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 ph•ơng pháp giải toán 
khác nhau. 
 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 t 2 1
 xx 2 . 
 2
Phương trỡnh (*) trở thành 
 2
 t 1 2 2 t 1
1 t tt 1 3 3 tt 3 2 0 
 3 t 2
 t 2, khụng thoả món 
 2 x 0
 t 1, cú x 1 x 1 2 x x 0 
 x 1
 xx 0, 1 thoả món điều kiện 
Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm . 
* Cỏch 3: 
 22
Nhận xột: x và 1 x cú mối quan hệ đặc biệt, cụ thể xx 11 
Vậy ta cú cỏch 3 
Từ (*) ta cú 2x . 1 x 3 1 x 3 x 3 
 33x 9 9
 1 x ( x vỡ thay x vào phương trỡnh khụng thoả món) 
 23x 4 4
 33t 
Đặt tx , nờn 1 x 
 23t 
 2
 22
 2 33t 
Lại cú xx 11 , nờn t 1 
 23t 
 t2 4 t 2 12 t 9 9 t 2 18 t 94 t 2 12 t 9 
 4t4 12 t 3 14 t 2 6 t 0 
 t 2 t32 6 t 7 t 3 0 
 t t 1 2 t2 4 t 3 0 
 t 0 x 0
 t 1 x 1
 thoả món điều kiện 
Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm . 
* Cỏch 4: 
Cựng nhận xột trờn, ta cú thờm cỏch khỏc 
Đặt ax , bx 1 , ab 0, 0 
 2
 1 ab a b 3 2ab 3 a b (1)
 Ta cú hệ phương trỡnh 3 2 
 22 a b 2a b 1 (2)
 ab 1 
 H 2 
 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 Phương phỏp 1: Phương phỏp biến đổi tương đương 
Bài toỏn 1: Giải cỏc phương trỡnh sau 
1) xx 17 1 3 (1) 
2) xx 3 3 3 2 (2) 
3) x23 5 x x 2 x 1 x 1 (3) 
4) x2 1 x 2 3 x 2 x 2 8 x 7 (4) 
5) 312x 12 3 2 x 3 3 x (5) 
6) xx 22 2 . (6) 
Bài toỏn 2: Tỡm m để phương trỡnh x2 22 mx m (I), cú nghiệm. 
Bài toỏn 3: Tỡm m để phương trỡnh 22x m x (II), cú hai nghiệm phõn 
biệt. 
Bài toỏn 4: Giải cỏc phương trỡnh 
1) x 2 5 2 x 2 x 7 3 x (1) 
2) x 3 3 x 1 2 x 2 x 2 (2) 
 x3 1
3) x x 11 x2 x (3) 
 x
 xx33 11
4) 4xx 1 1 (4) 
 xx 1 4 1
5) 3x 33 x 5 3 2 x 1 3 2 x 6 . (5) 
 Giải 
Bài toỏn 1 
1) Nhận xột: ta thấy vế trỏi luụn khụng õm, do đú nếu vế phải õm thỡ phương 
trỡnh vụ nghiệm, nờn ta chỉ cần giải phương trỡnh khi vế phải khụng õm, tức là 
 1
1 3xx 0 . Khi đú hai vế đều khụng õm và bỡnh phương hai vế ta được 
 3
 2 1
phương trỡnh tương đương: xx 17 1 3 với x . Do vậy ta khụng cần 
 3
đặt điều kiện cho x 17 0. 
 1
 (1) 1 3x 0 x 
 2 3 
 xx 17 1 3 2
 x 17 1 6 x 9 x
 1
 x 
 1 3
 x 
 3 x 1 x 1 
 2 
 9xx 7 16 0 16
 x 
 9
Vậy phương trỡnh cú một nghiệm x 1. 
 H 4 
 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 x 1
4) Điều kiện x 7 
 x 1
 (4) 22
 x2 1 x 2 3 x 2 x 2 8 x 7 
 x21 x 2 322. x x 2 1. x 2 32 x x 2 87 x 
 2 x 1 x 1 . x 1 x 2 x2 5 x 6 
 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 6 x 
 16 x 
 22 2 2 
 4 x 1 x x 2 x 1 6 x 
 16 x 
 2 22 
 x 1 4 x 4 x 8 x 12 x 36 0
 16 x 
 x 1 
 2
 3xx 16 44 0
 16 x 
 x 1
 x 2
 22
 x 
 3
 x 1
 x 2
 xx 1, 2 thoả món điều kiện 
Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm . 
Chỳ ý : Bài này cú thể giải bằng cỏch như sau 
 (4)
 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 7 
* Trường hợp 1: x 1, thỏa món phương trỡnh (4) 
* Trường hợp 2: x 1, phương trỡnh (4) trở thành 
 22
 x 1 x 2 x 7 x 1 x 2 x 7 
 x 1 2 x 1 x 2 x 2 x 7 2x2 x 2 6 x 
 60 x x 6
 2 2 2 
 4 x x 2 6 x 3xx 16 44 0
 H 6 
 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
Với dạng tổng quỏt 3 33   ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng 
thức a b 3 a33 b 3a b a b để giải như bài trờn. 
6) Điều kiện x 2 
 22
 (6)
 112 11 
 (x 2) x 2 x x xx 2 
 44 22 
 11
 xx 2 (6.1)
 22
 11
 xx 2 (6.2)
 22
 x 0
 (6.1) x 0 x 0 
 xx 2 2 2 x 1 x 2 
 xx 2 xx 20 
 x 2
 (6.2) x 10 x 1
 xx 21 2 2 
 xx 21 x 2 x 2 x 1
 x 1
 x 1 15
 x 
 2 15
 xx 10 x 2
 2
 15
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x 2, x . 
 2
Chỳ ý: Cú thể đưa về dạng f()() x g x và giải bằng cỏch bỡnh phương hai 
vế, dẫn đến phương trỡnh bậc bốn (nhẩm được nghiệm x 1, ) và tỡm 
được nghiệm của phương trỡnh. 
 Ngoài ra cũn cỏch nữa là phương phỏp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trỡnh 
(tụi xin trỡnh bày ở phương phỏp 5). 
Bài toỏn 2 
*) Nếu m 0 thỡ phương trỡnh (I) vụ nghiệm 
*) Nếu m 0 thỡ: 
 ()I m 0 m 0
 22 22 
 x 22 mx m x 2 mx 2 m 0 (I*)
 22 m 1
 (I*) cú nghiệm khi ' mm 2 0 m 1 (thoả món ) 
 m 1
Kết luận: m 1 thỡ phương trỡnh (I) cú nghiệm. 
 H 8 
 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 22
 x 3 2 x 2 x +2 3 x 1 (2*) 
 x+3+4 x 4 x 3. x 2+2+3 x x 122 x 2.3 x 1 
 2x . x 3 2 x 2. 3 x 1 
 4x ( x 3) (2 x 2)(3 x 1) 
 4x22 12 x 6 x 8 x 2 
 2xx2 4 2 0 
 2 x 1 2 0 
 x 1 
Thay x 1 vào phương trỡnh (2) thỏa món 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất . 
 Chỳ ý: 
Ta giải bằng cỏch trờn vỡ cú: x 3 4 x 2 x 2 3 x 1 
Biến đổi về (2*) là dẫn đến phương trỡnh hệ quả, nờn tỡm được nghiệm (2*) ta 
phải thay vào phương trỡnh (2) xem cú thoả món hay khụng. 
Dạng tổng quỏt của phương trỡnh trờn là 
 f()()()() x g x k x h x , với f()()()() x h x g x k x 
Được giải bằng cỏch đưa về phương trỡnh f()()()() x h x k x g x , sau 
đú bỡnh phương và giải phương trỡnh hệ quả. 
3) Điều kiện x 0 
 2
 (3) x3 1 2
 x x 11 x2 x 
 x
 x3 1
 x 2 x3 1 x 1 x 2 x 1 2 x 3 1 
 x
 x3 1
 xx 2 2 
 x
 x3 1 x 2 x 3 2x 
 x 10 2 x 1 (Thoả món điều kiện) 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 1. 
Chỳ ý: 
 x3 1
Ta giải bằng cỏch trờn vỡ cú: x. x 1. x2 x 1 
 x
Dạng tổng quỏt của phương trỡnh trờn là 
 f()()()() x g x k x h x , với f( x ). g ( x ) h ( x ). k ( x ) 
Được giải bằng cỏch tỡm điều kiện xỏc định cho phương trỡnh, sau đú bỡnh 
phương hai vế và tỡm nghiệm thỏa món điều kiện. 
 H 10 
 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 x 3 x 53 3 x (3 x 5).(33 x 3 x 5)
 2x 12 x 63(2 3 x 1)(2 x 6)(233 x 1 2 x 6)
 3 x(35) x 3 x 3 35 x 3 21262126 x x 3 x 3 x 
 3 x(35)21 x 3 x 3 26 x 3 2126 x x 3 21 x 3 26 x (5*) 
 3 x(3 x 5) 3 2 x 1 2 x 6 
 (Vỡ: 2x 6 2 x 1 33 2 x 6 2 x 1 0) 
 x(3 x 5) (2 x 1)(2 x 6) 
 3x22 5 x 4 x 10 x 6 
 xx2 5 6 0 
 x 1
 x 6
Thay x 6, x 1 vào phương trỡnh (5) thoả món. 
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm , . 
Chỳ ý: Phương phỏp tương tự như cỏc bài toỏn trờn. Ở (5*) là ta đó sử dụng từ 
phương trỡnh đề bài, tức là đó dẫn đến hệ, nờn (5*) khụng tương đương với (5). 
Thật vậy, nếu ta thay 33xx 35 chứ khụng thay như bài giải vừa rồi, sẽ 
 5
tỡm được nghiệm x nhưng nghiệm này khụng thoả món phương trỡnh (5). 
 2
 Bài tập 
Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh 
1) x3 x 2 x 2 x 2 2) x42 3 x 2 x 1 
3) x42 x 1 1 2 x 4) x3 x 1 1 2 x 
5) 2x4 5 x 2 3 x 2 1 6) x42 x 11 x 
7) x 2 x 1 2 2 x 8) x32 x 1 1 2 x 
9) x23 2 x 4 3 x 4 x 10) x22 x 1 5 x 8 x 4 
11) 4 3 10 3xx 2 (HSG Quốc Gia 2000) 
12) x22 x 1 5 x 8 x 4 13) 3xx 4 3 3 
14) 22 x x x 15) x22 x 1 x x 1 2 
 xx 21
16) x x22 1 x x 1 2 17) 65 
 xx 12
18) x22 4 x 12 x x 6 x 2 19) 2 x22 2 x 1 x 1 
 H 12