Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11

Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 Một số phương pháp 
 tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11 
 1
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 Tài liệu tham khảo. 
 NỘI DUNG 
 I. Cơ sở lý luận 
 Trong quá trình xử lý các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta cần sử dụng 
 một số kiến thức: định lý về dấu tam thức bậc hai, các tính chất của bất đẳng thức, các bất 
 đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, các bất đẳng thức chứa dấu giá trị 
 tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng cách. 
 1. Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai. 
 Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c ; a 0 . Có b2 4 ac . 
 Nếu 0 thì a. f x 0  x R 
 b
 Nếu 0 thì a. f x 0  x 
 2a
 a. f x 0  x ; x1  x 2 ; 
 Nếu 0 thì ( x1 x 2 là hai nghiệm của tam 
 a. f x 0  x x1 ; x 2 
 thức bậc hai). 
 2. Các tính chất của Bất đẳng thức. 
 Điều kiện Nội dung 
 a b a c b c 
 c 0 a b ac bc 
 c 0 a b ac bc 
 a b
 a c b d 
 c d
 0 a b
 ac bd 
 0 c d
 a b a2n 1 b 2 n 1; n N *
 0 a b a2n b 2 n ; n N *
 0 a b a b
 a b 3 a 3 b
 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) 
 3
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Nhận xét: Đối với phương trình ax2 bx c 0 có điều kiện a2 b 2 0 thì phương trình 
sẽ có nghiệm khi và chỉ khi b2 4 ac 0 
 1 1
Phương trình 1 có nghiệm 1 4y2 0 y 
 02 0 2
 1 1
Nhận thấy khi x 1 y ; x 1 y 
 2 2
 1 1
Vậy miny ; M axy 
 2 2
 Với cách làm tương tự ta có thể vận dụng vào một số bài sau; học sinh có thể tự ra đề 
cho chính mình và các bạn trong lớp. 
 x2 2 x 2
Bài 2. Tìm min; max y min y 3 2 2; m axy 3 2 2 
 x2 2 x 2 
 x2 8 x 7
Bài 3. Tìm min; max y min y 1; m axy 9 
 x2 1
2. Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai. 
 Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 – 2006) có đề toán: 
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 y 2 x y xy . 
 Lời giải 1 
Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 
 x2 y 2 x y xy m (;)x y R R 
 x2 ( y 1) x y 2 y m 0 (;)x y R R 
Nhìn vế trái là một tam thức bậc hai với ẩn là x thì: 
x2 ( y 1) x y 2 y m 0 x R 
 2
Suy ra: x 3y 6 y 1 4 m 0 với y R 
 '
Suy ra: y 12 12m 0 
 m 1 
 '
Nếu m < -1 thì: y 0 
Do đó x 0 
Suy ra A > m. Vậy không có giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 
Nếu m = -1 thì A 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. 
 5
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F 2 x y với điều kiện x2 y 2 5. 
 Lời giải 
 Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường tròn có tâm trùng gốc toạ độ, bán kính là 
 5 . Ký hiệu hình tròn là C 
 Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có dạng phương trình đường thẳng. 
 2 2
 Gọi F0 là một giá trị của biểu thức với x; y thoả mãn: x y 5 
 Khi đó giữa đường thẳng có phương trình 2x y F0 0 và đường tròn C 
phải có điểm chung. 
 Điều kiện đó tương đương với: d O; 5 
 F
 0 5
 5
 F0 5 
 5 F0 5
 Nhận thấy khi FF0 5; 0 5 ứng với hai tiếp tuyến của đường tròn lần lượt tại các 
tiếp điểm 2;1 ; 2; 1 . 
 Vậy minFM 5; axF = 5. 
 Bình luận: Như vậy với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dạng 
F=a.x+b.y và điều kiện là x2 y 2 R 2 ; ta có thể khái quát cách giải. Điều kiện của bài 
toán có thể điều chỉnh là: x2 y 2 R 2 khi đó cách giải vẫn tương tự. 
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 3 x 4 y với điều kiện 
 2
 2 2
 x y 2 25 . 
 3 
 Lời giải 
 2
 2 2
Gọi F0 là một giá trị của biểu thức với x; y thoả mãn x y 2 25 
 3 
 7
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 1
 Gọi Gọi F là một giá trị của biểu thức với z; y thoả mãn: z2 y 2 
 0 9
Chứng tỏ đường thẳng có phương trình 3z 3 y F0 0 và đường tròn có phương trình 
 1
z2 y 2 phải có điểm chung. 
 9
 F 1
Điều đó tương đương : 0 
 18 3
 F0 2
 2 F0 2
 Vậy minFM 2; axF= 2 
 Trong trường hợp tổng quát điều kiện đầu bài cho là : 
 n
mx2 ny 2 r; m , n , r 0 thì ta có cách đổi biến : x z và khi đó sẽ biến Elip về 
 m
 r n
đường tròn có phương trình y2 z 2 ; F a z by 
 n m
Với tư duy tương tự ta có thể có rất nhiều bài toán với những số liệu khác nhau. 
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x y biết rằng 
 x2 y 2
 1. 
 4 9
 3
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x y biết rằng 
 2
3x2 2 y 2 1. 
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x y biết rằng 
 2 2
 x 2 8 y 3 8. 
 3x 4 y m
Bài 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hệ có nghiệm? 
 2 2
 x y 9
 9
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 minF 225 100 5; x 10 4 5; y 5 2 5 
 maxF 225 100 5; x 10 4 5; y 5 2 5 
 Tới đây ta chỉ việc thay điều kiện là một đường tròn khác thì sẽ có những bài toán khác 
nhau. Việc giải các bài toán đó là tương tự. 
5. Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). 
 Trong chương trình phổ thông học sinh chỉ được giới thiệu bất đẳng thức giữa trung 
bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). Do đó trong phương pháp này tôi xin được giới thiệu 
việc áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân vào tìm giá trị lớn nhất; 
giá trị nhỏ nhất. 
Kỹ thuật 1 Thêm, bớt, tách. 
 Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng các kỹ thuật thêm, bớt, 
tách cần hết sức linh hoạt, thể hiện được sự vận dụng khéo léo của người làm toán. 
 Ta có một số biến đổi của kỹ thuật này như sau: 
 a m n m
 a a t t b a a ar. a1 r ... 
 b n n
Bài 16. Cho x 0; y 0 và x y 1. 
 1 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 4 xy 
 x2 y 2 xy
 Lời giải 
Ta viết lại biểu thức 
 1 1 1 1 
 P 2 2 4 xy 
 x y2 xy 4 xy 4 xy 
 1 1 1
 2 2 2 4xy ; AM GM 
 x2 y 2 2 xy x y 4xy
 4 1 5
 2 2 2 5 7
 x y 2 x y 2 x y 2
 1
Ví dụ với x y thì P 7 
 2
Vậy minP 7 
 11
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Bài 19. Cho a; b ; c 0; a b c 2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 a2 b 2 c 2
 P 
 b c c a a b
 Lời giải 
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau: 
 a2 b c
 a
 b c 4
 b2 c a
 b 
 c a 4
 c2 a b
 c
 a b 4
Cộng vế với vế ta được: 
 P 1 a b c 2
 P 1
 2
Giả sử với a b c P 1 
 3
Vậy minP 1 
Bài 20. Cho x, y , z 0; x y z 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 x5 y 5 z 5
 P 
 y4 z 4 x 4
 Lời giải. 
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau: 
 x5
 y y y y 55 x5 5 x
 y4
 y5
 z z z z 55 y5 5 y 
 z4
 z5
 x x x x 55 z5 5 z
 x4
Cộng vế với vế ta được: P x y z 1 
 1
Ví dụ khi x y z P 1. Vậy minP 1 
 3
 13