Sáng kiến kinh nghiệm Nghiên cứu một số sai lầm khi giải Toán vectơ và tọa độ

 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Thanh hãa
 TR¦êNG thpt Hµm rång 
 ---------
 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
NGHI£N CøU MéT Sè SAI LÇM KHI GI¶I TO¸N VECT
 ¥ Vµ TO¹ §é
 Giáo viên: Lê Thị Thủy
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN (thuộc lĩnh vực môn): Toán
 Thanh hãa 2016 1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài:
 Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông 
Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn 
quốc lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương 
khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo 
dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây 
dựng nền văn hoá mới và con người mới” “Chính sách giáo dục mới hướng 
vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội 
ngũ lao động có trí thức, có tay nghề”
 Chương trình hình học lớp 10, học sinh được học về vectơ, các phép toán 
 về vectơ dùng làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học 
 cùng những mối quan hệ gữa những đối tượng hình học sang những khái niệm 
 đại số và quan hệ đại số. Với ý nghĩa như vậy, có thể coi phương pháp vectơ và 
 tọa độ là phương pháp toán học cơ bản được kết hợp cùng phương pháp tổng 
 hợp đề giải toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian.
 Trong số các công trình nghiên cứu về sai lầm của các học sinh trong giải 
 toán thì số công trình đề cập tới các sai lầm của học sinh trong giải toán vectơ 
 và tọa độ còn tương đối ít.
 Với các lí do nêu trên, đề tài được chọn là: ”Nghiên cứu một số sai lầm 
 khi giải Toán vectơ và tọa độ”
1.2 Mục đích nghiên cứu:
 - Giúp học sinh khắc phục được một số sai lầm khi giải toán vectơ và tọa 
độ.
 Có thể nói, trong sách giáo khoa chỉnh lý hiện hành, vectơ và toạ độ là 
phương pháp chủ đạo trong giải toán hình học, mức độ yêu cầu của tư duy rất 
cao, vì nhiều bài toán không cần đến hình vẽ, và có bài cũng không thể vẽ tường 
minh được. Đây cũng là một khó khăn đối với học sinh.
 2 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 NHỮNG SAI LẦM GẶP CỦA HỌC SINH SAU KHI GIẢI TOÁN VECTƠ 
 VÀ TỌA ĐỘ
2.1. Sai lầm do không nắm vững các khái niệm, các công thức, tính chất, vị 
trí tương đối giữa các hình.
Ví dụ 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng sau: 
 (d): 3x+y+3=0 và (d'): -x-2y+1=0.
Giải: Đường thẳng (d) có chỉ phương u d=(1,-3)
Đường thẳng (d') có chỉ phương u d'=(-2,1)
 ud.ud ' 1.( 2) ( 3).1 1
Góc giữa u d và u d' là cos(u d ,u d')= 
 | ud |.| ud ' | 1 9. 4 1 2
 (d,d')=1350 .
Nhận xét: Sai lầm ở chỗ là đã đồng nhất góc giữa hai vectơ chỉ phương với góc 
giữa hai đường thẳng. Hơn nữa chưa nắm vững khái niệm góc giữa hai đường 
thẳng là không tù.
Lời giải đúng: Làm tương tự trên với công thức:
 | ud.ud ' | |1.( 2) ( 3).1| 1 0
cos(d,d') =|cos(u d ,u d')|= (d,d')=45 .
 | ud |.| ud ' | 1 9. 4 1 2
Ví dụ 2: Cho ABC, biết A=(1,1), B=(-1,-1/2), C=(4,-3). Viết phương trình 
đường phân giác trong của góc A.
 x 1 y 1
Giải: Ta có phương trình AB: 3x-4y+1=0
 1
 1 1 1
 2
 x 1 y 1
Phương trình AC: 4x+3y-7=0
 4 1 3 1
 3x 4y 1 4x 3y 7
Phương trình hai đường phân giác góc A là: 
 9 16 16 9
Vì phân giác trong góc A, nên chọn dấu âm, do đó phương trình phân giác trong 
góc A là: 7x-y-6=0.
 4 Ví dụ 3 :Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d 1,d2 lần lượt có phương 
 x 2 3t
 x 1 y 2 z 
trình là : và y 3 2t 
 3 2 1 
 z 2 5t
Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua M(2 ;1 ;1), vuông góc với d 1 , cắt 
d2 .
Giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(2 ;1 ;1) và vuông góc với d1 (P) có 
phương trình là : 3(x-2)+2(y-1)+(z-1)=0 3x+2y+z-9=0.
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M(2 ;1 ;1) và chứa d2 . (P) có phương trình là :
8x-3y+6z-19=0. Ta có d=(P) (Q) nên d có phương trình là : 
 3x 2y z - 9 0
 8x - 3y 6z - 19 0
Nhận xét: Lời giải trên chưa chứng tỏ được điều kiện d cắt d2 .Thực tế không tồn 
tại đường thẳng thoả mãn bài ra vì d song song với d 2. Lời giải trên là đầy đủ 
nếu đề bài có ngụ ý tồn tại duy nhất đường thẳng d, tuy nhiên trong trường hợp 
tổng quát chưa chứng tỏ chắc chắn rằng d tồn tại và d cắt d 2, có thể d// d2 trong 
mp (Q) hoặc (P) (Q). 
 Lời giải đúng: 
Cách 1: Sau khi tìm được (P) và (Q) như trên , xét đường thẳng d có phương 
 3x 2y z - 9 0
trình , đường thẳng này có véc tơ chỉ phương 
 8x - 3y 6z - 19 0
u 5( 3;2;5 ) 5v , trong đó v(-3;2;5) là véc tơ chỉ phương của d2, mặt khác 
điểm N(2 ;3 ;2) d2 nhưng N d , vậy d// d2 nên bài toán vô nghiệm.
Cách2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(2 ;1 ;1) và vuông góc với d 1 (P) có 
phương trình là : 3(x-2)+2(y-1)+(z-1)=0 3x+2y+z-9=0.
 6 d2 có véc tơ chỉ phương v(1;-1;2) và đi qua điểm B(6 ;10 ;-8)
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d 1 và vuông góc với d2 (P) có véc tơ pháp tuyến 
 v(1;-1;2) và đi qua điểm A(2 ;-4 ;0) nên có phương trình là 
 (x-2)-(y+4)+2z=0 x-y+2z-6=0
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d 2 và vuông góc với d1 (Q) có véc tơ pháp tuyến 
u(-1;2;1) và đi qua điểm B(6 ;10 ;-8) nên có phương trình là 
 -(x-6)+2(y-10)+(z+8)=0 x-2y-z+6=0
Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 , ta có d=(P) (Q) nên d có phương 
trình là : 
 x - y 2z - 6 0
 x - 2y z 6 0
Nhận xét: Lời giải trên hoàn toàn sai lầm khi cho rằng: (P) là mặt phẳng chứa d 1 
và vuông góc với d 2 (P) có véc tơ pháp tuyến v(1;-1;2) và đi qua điểm A, 
(Q) là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1 (Q) có véc tơ pháp tuyến 
u(-1;2;1) và đi qua điểm B. Điều này chỉ đúng khi d1  d2., thực tế mp (P) vuông 
góc với d2 và d1 cắt (P) tại A, mp (Q) vuông góc với d1 và d2 cắt (Q) tại B.
Lời giải đúng:
Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 ; M= d1 d ;N= d2 d. Vì M d1 , N 
 d2 nên M(2-t1 ;2t1-4;t1), N(t2+6 ; 10-t2 ;2t2-8). 
 MN  d1 MN.u 0 6t1 t 2 16 0 t1 2
Vì 
  t 6t 26 0 t 4
 MN d 2 MN.v 0 1 2 2
 x 5t
 M(0 ;0 ;2), N(10 ;6 ;0) d có phương trình là y 3t
 z 2 t
2.2 Sai lầm không xét hết các trường hợp của bài toán
Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng ( ) qua điểm A=(0,3) và tạo với đường 
thẳng (d): x-y =0 một góc 450.
Giải: Giả sử ( ) có hệ số góc k, qua A=(0,3) nên có dạng: y =kx+3 
 8 Làm như trên được ( 1): 4x-3y-20=0, do nhận xét trên tiếp tuyến thứ hai qua A 
không có hệ số góc là ( 2): x=5.
Cách 2: Tổng quát
- Trường hợp ( ) có dạng x=x0 x-x0=0, qua A: x-5=0
 Để tiếp xúc (C) thì d(I, )=R |5-2|=3, đúng x-5= là tiếp tuyến
- Trường hợp ( ) có hệ số góc k làm như trên.
Ví dụ 8: Cho hai điểm A=(0,0) và B=(1,2), đường thẳng (d): x-y+2=0. Tìm 
điểm C trên (d) sao cho ABC vuông.
Giải: Nhiều học sinh khi giải bài toán này đã không xét hết các trường hợp. 
Chẳng hạn chỉ xét vuông tại C.
(d) có dạng tham số là: x=t, y=t+2. Điểm C (d) nên C=(t,t+2).
Để tam giác vuông tại C thì: CA.CB 0 (0-t)(1-t)+(0-t-2)(2-t-2)=0 
 2t2+t=0 t=0 hoặc t=-1/2 
 Có hai điểm C thoả mãn là: C=(0,2) và C=(-1/2,3/2).
Nhận xét: Thiếu các trường hợp vuông tại A và B
Lời giải đúng: Xét các trường hợp:
- Tam giác vuông ở C: Làm như trên.
   
- Tam giác vuông ở A: AB.AC 0 (1-0)(t-0)+(2-0)(t+2-0)=0 t=-4/3 
 C=(-4/3,2/3).
   
- Tam giác vuông tại B: BA.BC 0 (0-1)(t-1)+(0-2)(t+2-2)=0 t=1/3 
 C=(1/3,5/3).
Ví dụ 9: Cho hai điểm A=(4;5) và B=(-2;-7), đường thẳng (d): 3x-y-4=0. Tìm 
điểm M trên (d) sao cho MAB cân. 
Giải: Gọi M(x;y) là điểm cần tìm. M (d) 3x-y-4=0 y=3x-4 M(x;3x-4). 
 MAB cân tại M khi MA=MB MA2=MB2 (4-x)2+(9-3x)2=(-2-x)2+(-3-3x)2
 84x=84 x=1 M(1;-1)
Nhận xét: lời giải trên vừa thiếu, vừa sai.
 10 +) d1 có vectơ chỉ phương là u1 ( 1;4;1) và d2 có vectơ chỉ phương là 
 u 2 (1;2;2)
 4 1 1 1 1 4
+) có u1 ,u2  ( ; ; ) 3(2;1; 2)
 2 2 2 1 1 2
 1
+) (P) song song với d1, d2 nên nhận u1 ,u2  (2;1; 2) làm vectơ pháp tuyến.
 3
+) Do đó phương trình (P) có dạng: 2x+y-2z+D=0
+) Theo giả thiết ta có d (I ,P) 3
 2.2 2.1 2( 1) D
 3
 22 12 ( 2) 2
 D 1
 D 8 9 
 D 17
+) Với D=1=> (P1) : 2x+y-2z+1=0
+) Với D=-17=> (P2) : 2x+y-2z-17=0
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x +y-2z+1=0 và 2x+y-2z-17=0
* Sai lầm ở đâu: 
 Đáp số sai, chỉ tồn tại một mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng (P 1) không song 
song với đường thẳng d1 nên bị loại, còn (P1) song song ciwus cả 2 đường thẳng 
d1 và d2 nên là mặt phẳng cần tìm.
- Nguyên nhân sai vì không thử lại để xem mặt phẳng tìm được có song song với 
hai đường thẳng đã cho không.
*) Thử lại như thế nào:
 Ta có (P) hoặc song song hoặc chứa d1, d2 nên để kiểm tra ta chỉ cần lấy 1 
điểm thuộc mỗi đường thẳng và thay vào phương trình mặt phẳng (P) thì (P) 
chứa đường thẳng tương ứng, ngược lại là song song.
 Cụ thể, ta có M1(1;-1;1) d1 và M2(3;0;-1) d2
 12 Vậy với m=-2 thì D(-2;7;11) thoả mãn điều kiện A,B,C,D lập thành một tứ giác.
Nhận xét: Lời giải kết luận m=-2 A,B,C,D lập thành một tứ giác là hoàn toàn sai 
lầm. Việc lập luận A,B,C,D lập thành một tứ giác AB, AC, AD, đồng phẳng 
là không chính xác, đây chỉ là điều kiện cần. Vì nếu A,B,C hoặc A,D,C thẳng 
hàng thì các véc tơ AB, AC, AD, vẫn đồng phẳng nhưng 4 điểm A,B,C,D không 
lập thành một tứ giác
Có thể giải lại bài toán như sau:
Ta có A,B,C,D lập thành một tứ giác AB, AC, AD,đồng phẳng và trong 4 
điểm A,B,C,D không có 3 điểm nàothẳng hàng. Vì vậy không có giá trị nào thoả 
mãn bài ra. 
2.5 Sai lầm khi sử dụng lời giải không chính xác
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z+2=0 
 x 3 y 2 z 1
và đường thẳng d: . Tìm tọa độ giao điểm M của d và (P).
 2 1 1
Giải:
 x 3 2t
 Đường thẳng d có phương trình tham số y 2 t (t R)
 z 1 t
 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
 x y z 2 0 (3 2t) ( 2 t) ( 1 t) 2 0
 x 3 2t x 3 2t
 (*)
 y 2 t y 2 t
 z 1 t z 1 t
 t 1
 x 1
 y 3
 z 0
 Suy ra M(1;-3;0) là điểm cần tìm.
* Sai ở đâu?
 Sai ở chỗ lời giải viết rằng “tọa độ điểm M là nghiệm của hệ (*) thì các 
phương trình thứ (2), (3), (4) chưa thõa mãn, cụ thể là:
 14