Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Cauchy (Côsi)

 Đề tài : “Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức Cauchy (Côsi )”
 MỤC LỤC 
GIỚI THIỆU CHUNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 03
BẢNG KÊ CÁC KÍ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI .................. 
A. Phần mở đầu
 1. Lý do chọn đề tài .................................................................. .. . 04 
 2. Mục đích nghiên cứu...  05 
 3. Đối tượng nghiên cứu................ 05 
 4. Nhiệm vụ nghiên cứu.............. 05 
 5. Giới hạn đề tài............................................................................................. 05 
 6. Phương pháp nghiên cứu........................................................................ 06 
 7. Thời gian nghiên cứu........................................................................ ..06 
B. Phần nội dung 
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(CÔSI)
I. CÁC QUY TẮC CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
 1.1. Quy tắc song hành  .7
 1.2. Quy tắc dấu bằng  7
 1.3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng  7
 1.4. Quy tắc biên 7
 1.5. Quy tắc đối xứng 7
II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) 
 2.1. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số )  ..7 
 2.2. Dạng tổng quát (n số) ............................................................................9
III. CÁC KỸ THUẬT ÁP DỤNG 
 3.1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân..........................10
 3.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo.....................................................................14
 3.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi.........................................................................16
 3.4. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng...........21
 3.5. Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá từ TBN sang TBC.....23
 3.6. Kỹ thuật ghép đối xứng.......................................................................26
 3.7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số , n số.....................................29
 3.8. Kỹ thuật đổi biến số..............................................................................30
 3.9. Một số bài tập vận dụng.......................................................................32
IV. MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 
 4.1. Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình...34
 4.2. Một số bài tập tượng tư vận dụng ......................................................37
GV: Trần Phúc Nhật Tuấn 2 Trường THPT Trần Phú 1 / Lí do chọn đề tài: 
 1.1. Về mặt lý luận
 Trí thông minh là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như : quan sát, ghi 
nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh 
hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. 
Chính vì vậy, nghị quyết của Bộ chính trị về cải cách giáo dục đã nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí 
thông minh cho học sinh cấp III nhất là học sinh lớp 10. Nghị quyết đã chỉ ra rất rõ yêu cầu “Phát 
triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh 
những điều đã học”.
 Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy học sinh làm 
trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp 
thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. Chính vì vậy, ở lớp 10, việc phát triển trí thông 
minh cho các em thông qua môn toán là hết sức cần thiết.
 1.2. Về mặt thực tiễn
 Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết 
của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán là khoa hoc suy diễn trừu tượng nhưng 
Toán học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình 
thành những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát 
triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này. Một mặt khác toán học còn có tính thực triễn. 
Các kiến thức toán học đều bắt đầu từ cuộc sống. Mỗi mô hình toán học là khái quát từ nhiều tình 
huống trong cuộc sống. Dạy học toán học ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, 
cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí 
hiệu toán học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng 
một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy, 
người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán.
 1.3. Về cá nhân 
 Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư duy khoa học” và 
“tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học” cho học 
sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường , tôi nhận 
thấy việc hình thành những kiến thức và kĩ năng mới trong Phương pháp chứng minh Bất đẳng 
thức Cauchy ( Côsi ) , vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong 
GV: Trần Phúc Nhật Tuấn 4 Trường THPT Trần Phú Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học sinh của trường trong năm học vừa qua..
 Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh của trường trong giai đoạn 
hiện nay.
B. PHẦN NỘI DUNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI)
I. CÁC QUY TẮC CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
 1.1. Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các 
chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định 
hướng cách giiải nhanh hơn.
 1.2. Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “=” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính 
đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT.
 1.3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo 
viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thường rất hay mắc sai lầm này, áp dụng liên 
tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chu ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp 
dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được 
cùng được thỏa mãn với cùng điều kiện của biến.
GV: Trần Phúc Nhật Tuấn 6 Trường THPT Trần Phú Chứng minh: Giả sử hai số dương x và y có tổng x + y = S không đổi. Khi đó, 
 S x y S 2
 xy nên xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Do đó, tích xy đạt giá 
 2 2 4
 S 2
 trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi x = y.
 4
 Hệ quả 2:
 Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 
hai số đó bằng nhau.
 Chứng minh: Giả sử hai số dương x và y có tích x.y = P không đổi. Khi đó, 
 x y
 xy P nên x y 2 P . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. 
 2
 Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 P khi và chỉ khi x = y.
 ỨNG DỤNG:
 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất .
 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhỏ nhất.
 3
 Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : f (x) x với x > 0.
 x
 3 3 3
 Giải. Do x > 0 nên ta có : f (x) x 2 x. 2 3 và f (x) 2 3 x x 3 .
 x x x
 3
 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) x với x > 0 là f ( 3) 2 3 .
 x
 Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu x, y, z là ba số dương thì 
 1 1 1
 (x y z)( ) 9. Khi nào xảy ra đẳng thức ?
 x y z
 Giải. Vì x, y, z là ba số dương nên 
 x y z 3 3 xyz. ( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z )
 1 1 1 1 1 1 1
 3 3 . ( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ).
 x y z xyz x y z
 1 1 1 1
 Do đó (x y z)( ) 3 3 xyz.3 3 9.
 x y z xyz
 x y z
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 1 1 1 .
 x y z
 Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
 2.2. Dạng tổng quát (n số) x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:
GV: Trần Phúc Nhật Tuấn 8 Trường THPT Trần Phú 2 2
Ví dụ: 3 5 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )
 4 3
Lời giải đúng:
Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 2 x2 y2 = 2|xy| ta có:
 a2 b2 2 ab 0
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 b c 2 bc 0 a b b c c a 8| a b c | 8a b c a,b,c (đúng)
 c2 a2 2 ca 0
Bình luận
• Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế 
 cùng không không âm.
• Cần chú ý rằng: x2 + y2 2 x2 y2 = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương.
• Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài 
 phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Côsi.
• Trong bài toán trên dấu “ ” đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất 
 đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số.
 8
Bài 2. Chứng minh rằng: a b 64ab(a b)2  a,b 0
Giải
 4
 8 2 4 CôSi 4 2
 a b a b a b 2 ab 2 2 a b ab 24.22.ab. a b 
 64ab(a b)2
Bài 3. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) 9ab  a, b 0.
Giải
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) 33 1.a.b. 3.3 a.b.ab 9ab .
Bình luận:
• 9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, 
 vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó.
Bài 4. Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 9ab2  a, b 0
Giải
 Côsi
Ta có: 3a3 + 7b3 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 33 33a3b6 = 9ab2
GV: Trần Phúc Nhật Tuấn 10 Trường THPT Trần Phú 1 a 1 b 1 c b c c a a b Côsi 2 bc 2 ca 2 ab
VT(1) . . . . . . 8 (đpcm)
 a b c a b c a b c
Bài toán tổng quát 2: 
 x1, x2 , x3,..............., xn 0 1 1 1 1 n
Cho: CMR : 1 1 1 ........ 1 n 1 
 ........ 1 x x x x 
 x1 x2 x3 xn 1 2 3 n 
Bài.7. CMR: 
 3 
 1 2 3 3 
 a b c 3 
 1 1 a 1 b 1 c 1 abc 8 abc a,b,c 0
 3 
Giải 
 3 3
 a b c 1 a 1 b 1 c Côsi
Ta có: 1 1 a 1 b 1 c (1)
 3 3 
Ta có: 1 a 1 b 1 c 1 ab bc ca a b c abc 
 Côsi 3
 1 33 a2b2c2 33 abc abc 1 3 abc (2)
 3 Côsi 3
 3 3 
Ta có: 1 abc 2 1. abc 8 abc (3)
 Dấu “ = ” (1) xảy ra 1+a = 1+b = 1+c a = b = c
 Dấu “ = ” (2) xảy ra ab = bc = ca và a = b = c a = b= c
 Dấu “ = ” (3) xảy ra 3 abc =1 abc = 1 
Bài toán tổng quát 3
Cho x1, x2, x3,..., xn 0. CMR: 
 n 1 2 3 
 n 
 x x .... xn 
 1 1 2 1 x 1 x ...... 1 x 1 n x x .....x 2n x x ......x
 1 2 n 1 2 n 1 2 n
 n 
Bình luận: 
• Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng 
 giác trong tam giác sau này.
• Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tính đồng bộ và đối 
 xứng là rất quan trọng, giúp ta định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai.
Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách 
nghịch đảo.
GV: Trần Phúc Nhật Tuấn 12 Trường THPT Trần Phú