Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp “nhân liên hợp” nhằm giúp học sinh giải nhanh một số phương trình vô tỷ phức tạp

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 TÊN ĐỀ TÀI:
 PHƯƠNG PHÁP ‘‘NHÂN LIÊN HỢP” NHẰM GIÚP HỌC 
SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHỨC 
 TẠP Ở LỚP 10
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Hà
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh mực môn : Toán 
 THANH HOÁ NĂM 2017 A. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
 Trong chương trình toán trung học phổ thông, phương trình vô tỷ là 
một nội dung quan trọng, thường có trong các đề thi chuyên đề, các kỳ thi khảo 
sát, thi học sinh giỏi do các sở tổ chức và đặc biệt hơn là trong kỳ thi THPT 
Quốc Gia hàng năm để xét công nhận tốt nghiệp và lấy kết quả để tuyển sinh 
vào các trường Đại học, Cao đẳng. Phương trình vô tỷ có nhiều dạng khác nhau 
với số lượng bài tập phong phú và nhiều cách giải cũng như kỹ thuật giải khác 
nhau nên có gây khó khăn rất nhiều cho giáo viên và học sinh. Chính vì lý do đó 
đây là một nội dung đòi hỏi giáo viên và học sinh phải có tư duy, biến đổi, lựa 
chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt nhất. 
 Trong thời đại ngày nay với sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông 
tin các nhà sản xuất máy tính cầm tay luôn không ngừng nâng cấp và cho ra đời 
các thế hệ máy tính với tốc độ tính toán cực nhanh và nhiều chức năng trong đó 
có chức năng tìm nghiệm. Kết hợp với chức năng đó tôi đưa ra “PHƯƠNG 
PHÁP “ NHÂN LIÊN HỢP” NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH 
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHỨC TẠP ”. Hy vọng với đề tài này 
sẽ giúp cho độc giả có cách nhìn tổng quát hơn về cách nhân liên hợp giải 
phương trình vô tỷ và đặc biệt hơn là các em học sinh sẽ có kỹ năng giải 
phương trình vô tỷ để bước vào các kì thi đạt được kết quả tốt hơn. 
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm giúp học sinh giải được một số phương 
trình vô tỉ với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay và phương pháp nhân lên hợp
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Học sinh lớp 10A5, 10A6 khóa học 2015-2016, lớp 10A4, 10A3, 10A5 
khóa học 2016-2017 của trường THPT Đông Sơn 2
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU B. NỘI DUNG 
 PHƯƠNG PHÁP “NHÂN LIÊN HỢP”
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 a. Phương trình một ẩn.
 Cho hàm số y f x và hàm số y g x có tập xác định lần lượt là Df 
và Dg . Mệnh đề chứa biến “ f x g x ” được gọi là phương trình một ẩn ( x là 
ẩn). Tập D Df  Dg gọi là điều kiện xác định của phương trình, Số x0 D sao 
cho f x0 g x0 là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương 
trình.
 Tập T x0 D : f x0 g x0 đúng  gọi là tập nghiệm của phương trình 
 1 .
 Giải phương trình là đi tìm tập nghiệm T của nó. Nếu tập nghiệm T  ta 
nói phương trình vô nghiệm. 
 b. Hai phương trình tương đương.
 Hai phương trình cùng ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập 
nghiệm ( có thể rỗng).
 Nếu phương trình f x g x tương đương với phương trình 
 f1 x g1 x ta viết f x g x f1 x g1 x .
 Hai phương trình có cùng điều kiện xác định D và tương đương với nhau 
ta nói hai phương trình đó tương đương với nhau trên D hoặc với điều kiện 
 D hai phương trình tương đương với nhau.
 c. Phép biến đổi tương đương.
 Phép biến đổi một phương trình mà không làm thay đổi tập nghiệm của 
nó được gọi là phép biến đổi tương đương.
 Định lý: Cho phương trình f x g x xác định trên D;h x là hàm số 
xác định trên D. Khi đó trên D phương trình đã cho tương đương với mỗi 
phương trình sau:
 + f x h x g x h x 
 + f x .h x g x .h x nếu h x 0x D.
 d. Phương trình hệ quả.
 Phương trình f1 x g1 x gọi là phương trình hệ quả của phương trình 
 f x g x nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình 
 f x g x . Khi đó ta viết f x g x f1 x g1 x .
 Định lý: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương 
trình hệ quả của phương trình đã cho f x g x f 2 x g 2 x . 1
 x 
 2
 1
 2x 3 0 1.1 
 3x 3 x 2
 1
Vì x 1 nên 2x 3 0 . Do đó 1.1 vô nghiệm.
 3x 3 x 2
 1
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x .
 2
Ví dụ 2: Giải phương trình: x 3 5 x 2x2 9x 6 2 .
Lời giải: Điều kiện: 3 x 5.
 Chú ý: Dùng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x 4. 
Tại x 4 ta có 4 3 5 4 1 nên 
 2 x 3 1 5 x 1 2x2 9x 4
 x 4 x 4
 x 4 2x 1 
 x 3 1 5 x 1
 1 1 
 x 4 2x 1 0
 x 3 1 5 x 1 
 x 4
 1 1
 2x 1 (2.1) 
 x 3 1 5 x 1
 1
 x 3 1 1 1 2.1.1 
 x 3 1
 Vì 3 x 5 nên 
 1
 2x 1 5 2x 1 5 2.1.2 
 5 x 1
 Từ (2.1.1) và (2.1.2) suy ra (2.1) vô nghiệm.
 Vậy phương trình có nghiệm x 4.
 1 1 1 
 Nhận xét: Trong ví dụ 1 ta thấy tại x thì 2 3 3 
 2 2 2 
 1 1 
 2 3 3 0. Do đó, ta không phải thêm bớt mà nhân liên hợp 
 2 2 
được luôn. Nhưng trong ví dụ 2 tại x 4 ta có 4 3 5 4 1, theo bài ra 
 4 3 5 4 2 nên ta phải thêm bớt như cách làm trên rồi nhân liên hợp.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 6x 1 6 2x 12x2 28x 8 0 3 .
 1
Lời giải: Điều kiện: x 3.
 6 
 1 1
 x 5 2x 6 0
 x 4 3 2x 3 3 
 2x 3 x 4
 x 5 2x 6 0
 x 4 3 2x 3 3 
 x 3
 x 5 2x 6 0
 x 5.
 2x 3 x 4
 x 1
 Vậy phương trình có ba nghiệm x 1, x 3, x 5.
 Nhận xét: Trong ví dụ 4 dùng máy tính cầm tay ta tìm được ba nghiệm. 
 Nhưng khi xác định biểu thức nhân liên hợp ta nhân ra những nghiệm mà khi 
 thay vào căn ta được một số hữu tỷ trước ( tìm ra nghiệm x 3 hoặc x 5 
 trước). Nếu tìm ra nghiệm mà khi thay vào căn ta được một số vô tỷ trước ( 
 tìm ra nghiệm x 1 trong ví dụ trên) bài toán trở nên rất phức tạp.
Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 3 x 6 x 2 3x2 2x 7 5 .
Lời giải: Điều kiện: 2 x 3.
* Cách 1
 Chú ý: Dùng máy tính ta tìm được phương trình có nghiệm x 1. 
 Tại x 1 ta có 3 x 2, x 2 1, tại x 2 ta có 3 x 1, x 2 2. 
Do đó ta có:
 5 3 3 x 2 6 x 2 1 3x2 2x 5.
 x 1 x 1
 3 6 x 1 3x 5 . 
 3 x 2 x 2 1
 3 6 
 x 1 3x 5 0. 
 3 x 2 x 2 1 
 x 1 0
 3 6
 3x 5 0 5.1 
 3 x 2 x 2 1
 Ta coi 5.1 như là một phương trình bình thường và tiếp tục dùng máy tính 
 3 6
cầm tay ta tìm được nghiệm x 2. Tại x 2 ta có 1; 2. 
 3 x 2 x 2 1
 3 6 
Do đó ta có 5.1 1 2 3x 6 0
 3 x 2 x 2 1 
 3 x 1 2 x 2 
 2 3x 6 0
 3 x 2 x 2 1 Tại x 1 ta có 5x 1 2, 12x 8 2. Do đó,
 6 5x 1 2 12x 8 2 x2 1
 5 x 1 12 x 1 
 x2 1 0
 5x 1 2 12x 8 2
 5 12 
 x 1 x 1 0
 5x 1 2 12x 8 2 
 x 1 0
 5 12
 x 1 0 6.1 
 5x 1 2 12x 8 2
Ta coi 6.1 như là một phương trình bình thường và tiếp tục dùng máy tính cầm 
 5 12
tay ta tìm được nghiệm x 2. Tại x 2 ta có 1; 2. Do 
 5x 1 2 12x 8 2
đó,
 5 12 
 6.1 1 2 x 2 0 
 5x 1 2 12x 8 2 
 3 5x 1 4 2 3x 2 
 x 2 0 
 5x 1 2 12x 8 2
 5 2 x 4 6 3x 
 x 2 0
 5x 1 2 3 5x 1 12x 8 2 2 3x 2 
 5 8
 2 x 1 0
 5x 1 2 3 5x 1 12x 8 2 2 3x 2 
 x 2
 5 8
 1 0
 5x 1 2 3 5x 1 12x 8 2 2 3x 2
 5 8
 Ta thấy 1 0 vô nghiệm.
 5x 1 2 3 5x 1 12x 8 2 2 3x 2 
 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1;x 2.
* Cách 2: Dùng máy tính ta tìm được phương trình có hai nghiệm 
 x 1,x 2.Bây giờ ta đi tìm đại lượng cần “thêm bớt” vào mỗi biểu thức chứa 
căn để sau khi nhân liên hợp một lần ta được cả hai nghiệm trên:
 + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào 5x 1 ta đặt y 5x 1. Ta có đồ thị 
 hàm số y 5x 1 đi qua A 1;2 và B 2;3 . Ta có AB : y x 1. 2x 1 2 1 2 2x 
 2x 2x 1 0
 2x 1 1 2 2x 2 
 2x 1 2x 1 
 2x 1 2 1 2 2x 
 2x 2x 1 0
 2x 1 1 2 2x 2 
 1 1 
 2x 1 2 1 2 2x 
 2x 2x 1 1 0
 2x 1 1 2 2x 2 
 2x 2x 1 0
 1 1
 2x 1 2 1 2 2x 
 1 0
 2x 1 1 2 2x 2
 1 1
 2x 1 2 1 2 2x 
 Ta thấy: 1 0 vô nghiệm.
 2x 1 1 2 2x 2 
 1
 Vậy phương trình có hai nghiệm x 0; x .
 2
 • Nhận xét: Trong ví dụ trên nếu ta dùng được cách 2 thì bài toán tính toán 
 sẽ phức tạp hơn do khi thêm bớt để nhân liên hợp tìm ra nhân tử trung thì 
 ta phải tính đến các số vô tỷ.
 6 2x 6 2x 8
 Ví dụ 8: Giải phương trình 8 .
 5 x 5 x 3
Lời giải: Điều kiện 5 x 5.
 Tương tự như các ví dụ trên dùng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm 
 x 4 và x 4. Nên ta có 
 4 4 8
 8 2 5 x 2 5 x 
 5 x 5 x 3
 4 4 4 
 2 5 x 3 2 5 x 1 4 0
 5 x 3 5 x