Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác

 1
 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác”
 .
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài: 
 Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình 
dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương 
trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối 
tượng học sinh cần truyền thụ. Như luật giáo dục có viết: ”Phương pháp GD phổ thông cần 
phát huy tính tích cực, tự gác , chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của 
từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiến 
thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
 Trong thời gian dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với 
từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, đặc biệt là trong việc 
dạy học các định lý. Đó là tôi luôn đưa ra kiến thức một cách tự nhiên, bằng cách dẫn dắt 
từng bước cho học sinh tự tìm lấy; phân tích hướng dẫn các em thấy ý nghĩa , ứng dụng 
của định lý; sau đó đưa ra hệ thống bài tập áp dụng tương thích. Với phương pháp truyền 
thụ như trên tôi thấy rằng: Trước hết người dạy luôn luôn thoãi mái, nhẹ nhàng, say sưa,
qua mỗi tiết dạy thấy đạt được tốt mục đích của mình; đối với học sinh tiếp thu kiến thức 
một cách say mê, hứng thú; các kiến thức được các em nhớ lâu và vận dụng tốt trong quá 
trình giải và khai thác các bài tập. 
 Với lý do trên tôi xin trình bày một ví dụ điển hình để các đồng nghiệp tham khảo và 
góp ý: 
 Tên đề tài: 
”PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VÀ KHAI THÁC ĐỊNH LÝ CÔSIN TRONG TAM GIÁC”
 Nội dung đề tài gồm: 
 1. Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý.
 2. Phân tích ý nghĩa, tác dụng của định lý.
 3. Hệ thống bài tập áp dụng .
II. Đối tượng nghiên cứu
 Học sinh lớp 10 với trình độ không quá yếu.
III. Phương pháp nghiên cứu 
 Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn; Tìm hiểu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa lớp 
10; Tham khảo ý kiến của đồng nghiệp.
IV. Thời gian nghiên cứu
 Thí điểm trong suốt năm học 2009- 2010.
 B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý côsin trong tam giác.
 Ta đã biết tam giác hoàn toàn xác định khi biết: 3 cạnh, hoặc hai cạnh và một góc xen 
giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề; có nghĩa là khi biết các yếu tố góc cạnh như trên 
thì các góc cạnh còn lại sẽ xác định như thế nào? Rõ ràng các góc cạnh còn lại và các góc 3
 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác”
 .
 b2 c2 a2
 2 2 2
Tam giác ABC có 1 góc tù c a b .
 2 2 2
 a b c
 b2 c2 a2
 2 2 2
Tam giác ABC có 1 góc vuông c a b .
 2 2 2
 a b c
 2 2 2 2 2 2
4. Viết công thức về dạng: a b c 2bcSinA.cot A a b c 4SV ABC .cot A
 b2 c2 a2
 Co t A 
 4S
 a2 c2 b2 a2 b2 c2
Tương tự: Co t B ; Co t C 
 4S 4S
Đây là định lý “côsin suy rộng trong tam giác ” nó cho ta mối liên hệ về hệ thức lượng 
giác góc của tam giác với 3 cạnh cùng diện tích của nó. Lớp các bài toán áp dụng nó khá 
rộng.
5. Ngoài ra sử dụng định lý, hệ quả kết hợp các kiến thức khác giải quyết các bài toán về 
hệ thức lượng trong tam giác, nhận dạng tam giác
 Từ các ý nghĩa, tác dụng của định lý ta có thể đề xuất các bài toán liên quan tương 
thích như sau:
III. Bài tập áp dụng.
Bài 1. 
Cho tam giác ABC thõa mãn: b = 5; c= 7; cosA= 3/5.
 Tính cạnh a, và Côsin của các góc còn lại.
Bài 2. 
Cho tam giác ABC thõa mãn: a= 3, b= 4, c= 6. Tìm côsin góc có số đo lớn nhất.
Bài 3. 
Cho tam giác ABC thõa mãn: a3= b3+ c3. 
 a) Chứng minh rằng ABC là tam giác nhọn.
 b) Tổng quát: Cho tam giác ABC thõa mãn: an= bn+ cn (n>2, n N) CMR tam giác 
ABC có 3 góc nhọn. 
Bài 4. 
Nhận dạng tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thõa mãn: a2, b2, c2 là độ dài 3 cạnh của 
một tam giác khác. 5
 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác”
 .
Bài 12. 
 b3 c3 a3
Nhận dạng tam giác ABC biết: a2 .
 b c a
Bài 13. 
 b3 c3 a3
 a2 
 b c a
Nhận dạng tam giác ABC biết: .
 1
 CosA.cosC 
 4
Bài 14. 
CMR: a2 ab b2 b2 bc c2 a2 ac c2 với mọi a, b, c >0.
 Giải bài tập áp dụng
Bài 1.
 3
Ta có: a2 b2 c2 2bc.cos A = 25+ 49- 2.5.7. = 32 a 32 4 2 .
 5
 a2 c2 b2 32 49 25 2
 CosB .
 2ac 56 2 2
 a2 b2 c2 32 25 49 2
 CosC 
 2ab 40 2 10
Bài 2.
 a2 b2 c2 9 16 36 11
Ta có: Góc số đo lớn nhất là góc C; CosC .
 2ab 24 24
Bài 3. 
a) Ta có: a3= b3+ c3 nên a là cạnh lớn nhất A là góc lớn nhất. Lại có: 
 b c
 a3= b3+ c3 a2 b2 c2 b2 c2 b2 c2 a2 0 suy ra A nhọn. Vậy tam giác ABC 
 a a
là tam giác nhọn.
b) Hoàn toàn tương tự.
 a2 b2 c2
 2 2 2
Bài 4. Vì a2, b2, c2 là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên: b c a từ đó suy ra tam 
 2 2 2
 a c b
giác ABC là tam giác nhọn. 
Bài 5. 
 a b c
Dễ dàng xét được: a c b với mọi x> 1. Suy ra a, b, c là 3 cạnh 1 tam giác.
 b c a
Ta có: a2 x4 2x3 3x2 2x 1; b2 4x 2 4x 1, c2 x4 2x2 1, bc 2x3 x2 2x 1 7
 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác”
 .
 b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2
Ta có: Co t A ,Co t B , Co t C A
 4S 4S 4S
 a2 b2 c2
 Suy ra: CotA CotB CotC (1)
 4S
 S2
 S1
 M
 S3
 B
 C
 2 2 2
 · MA c MB 2 2 2
Lại có: Co t CotMAB 4S1.Co t MA c MB
 4S1
 2 2 2 2 2 2
Tương tự: 4S2.Co t MC b MA , 4S3.Co t MB a MC
 a2 b2 c2
Từ đó suy ra: 4(S S S )Co t 4S.Co t a2 b2 c2 Co t (2)
 1 2 3 4S
Từ (1), (2) suy ra đccm. A
Bài 11.
 a2 b2 c2
Ta có: CotA CotB CotC 
 4S
 S2
 S1
 GA2 c2 GB2 GA2 c2 GB2
Cot G
 4S S
 AGB 4
 S3
 3 B
 C
 GB2 a2 GC 2 GB2 a2 GC 2
Cot 
 4S S
 AGB 4
 3
 GC 2 b2 GA2 GC 2 b2 GA2
Cot 
 4S S
 AGB 4
 3
 3(a2 b2 c2 )
Suy ra: Cot Cot Cot .
 4S
Từ đó suy ra: Cot Cot Cot 3 CotA CotB CotC .
Bài 12.
 b3 c3 a3
Từ gt: a2 a2 b c a b3 c3 a3 a2 b c b3 c3
 b c a 9
 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác”
 .
CMR: Cot Cot Cot Cot 4 1 Cot 2 .
HD: Áp dụng định lý côsin suy rộng và công thức tính đường trung tuyến tam giác.
 A a
7. Nhận dạng tam giác ABC biết: Sin .
 2 2 bc
 C. KẾT LUẬN
 Phương pháp dạy học này đã được bản thân tôi thí điểm trên các lớp 10A1; 10A7 và 
bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10. Kết quả thu được rất khả quan: 
 Hầu hết các em học sinh say mê, hứng khởi hơn trong các giờ học; Ôn tập, kiểm tra bài 
cũ thấy rằng các em nắm rất vững kiến thức và vận dụng làm bài tốt. Kết quả cuối kì, cuối 
năm các em đạt được rất cao. 
Kết quả cụ thể như sau:
- Đội tuyển HSG đứng thứ hạng cao trong tỉnh ( Đậu 6em trên 8em tham gia xếp thứ 6).
- Lớp: 10A1
 Kết quả Học kì 1 Học kì 2 Cả Năm Ghi chú
 Tốt 25 34 34
 Khá 15 11 10
 TB 4 1
 Yếu 0 0 0
Lớp: 10A7
 Kết quả Học kì 1 Học kì 2 Cả Năm Ghi chú
 Tốt 5 8 8
 Khá 20 24 25
 TB 20 14 15
 Yếu 2 1 0
Kiểm tra học kì II : Lớp 10A1 đứng nhất, 10A7 thứ 3 toàn khối.
 Trong quá trình trao đổi với đồng nghiệp được các đồng nghiệp đánh giá cao và cùng 
nghiên cứu vận dụng.
 Tuy nhiên với phương pháp này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp 
phù hợp với kiến thức đang cần truyền thụ cho học sinh; đánh giá đúng đối tượng học sinh 
để giới thiệu và khai thác kiến thức một cách phù hợp.
 Đối tượng học sinh là học sinh không quá yếu, luôn tin tưởng ở thầy, có điều kiện học 
tập, nghiên cứu. 
II. Đề xuất, kiến nghị, 
 Đối với giáo viên cần tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ của học sinh làm mục 
đích chinh; luôn trao dồi kiến thức, phương pháp; luôn tìm tòi, nghiên cứu chương trình, 
phương pháp, đối tượng học sinh cụ thể để đưa ra phương pháp truyền thụ kiến thức phù 
hợp đạt kết quả cao nhất trong giảng dạy.
 Đối với học sinh cần học tập thật nghiêm túc, tự giác học tập, nghiên cứu chủ động tiếp 
cận kiến thức một cách khoa học.