Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải quyết một số dạng toán hình tọa độ phẳng

 Sở GIáO DụC Và ĐàO TạO THANH HOá
Trường THPT BA ĐìNH - HUYệN NGA SƠN
 ----------
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 RẩN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG SỬ DỤNG KHOẢNG 
CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI 
QUYẾT MỘT SỐ DẠNG TOÁN HèNH TỌA ĐỘ PHẲNG.
 Người thực hiện: Mai Thị Hiền
 Chức vụ: Giỏo viờn 
 Đơn vị cụng tỏc: Tổ Toỏn - Tin
 SKKN thuộc mụn: Toỏn
 THANH HểA NĂM 2016
 0 I. MỞ ĐẦU.
1. Lý do chọn đề tài.
 Phần hỡnhtọa độ phẳng thường được dựng để ra đề thi THPT quốc gia và thi 
học sinh giỏi cấp tỉnh. Để giải được phần hỡnh học phẳng,học sinh phải nắm chắc 
cỏc tớnh chõt hỡnh phẳng đó được học ở cấp 2 và biết vận dụng những kiến thức 
đú để giải quyết từng dạng toỏn.Trong chương trỡnh toỏn THPT phần hỡnh phẳng 
được trỡnh bày trong sỏch giỏo khoa 10 nhưng chủ yếu là những dạng toỏn đơn 
giản và chưa thành hệ thống.Tuy nhiờn những bài toỏn hỡnh phẳng trong cỏc đề 
thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi thường rất khú. Chớnh vỡ vậy tạo cho học 
sinh vận dụng kiến thức để giải quyết từng dạng bài tập là rất cần thiết.
 Xuất phỏt từ những lý do trờn tụi mạnh dạn đề xuất một mảng toỏn nhỏ 
trong phần hỡnh tọa độ phẳng. Đú là : “Rốn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng 
khoảng cỏch từ 1 điểm đến 1 đường thẳng để giải quyết một số dạng toỏn hỡnh 
tọa độ phẳng”.
2. Mục đớch nghiờn cứu.
 Nghiờn cứu đề tài nhằm mục đớch phục vụ cho việc dạy học hỡnh học tọa 
độ phẳng trong chương trỡnh THPT.
3. Đối tượng nghiờn cứu.
 Một số dạng toỏn liờn quan đến khoảng cỏch từ 1 điểm đến 1 đường trong 
mặt phăng với hệ trục tọa độ Oxy
4. Phương phỏp nghiờn cứu.
 Đề tài sử dụng phương phỏp phõn tớch, tổng hợp, khỏi quỏt húa, quy lạ về 
quen.
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
1. Cơ sở lý luận.
 - Cụng thức tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng trong sỏch 
giỏo khoa 10: Cho đường thẳng d cú phương trỡnh ax + by + c = 0 và M(x 0; y0). 
 ax0 by0 c
Khoảng cỏch từ M đến d bằng d(M ;d) 
 a2 b2
 - Cỏc cụng thức tớnh diện tớch hỡnh vuụng, chữ nhật, hỡnh thang, đặc biệt là 
 1
cụng thức S = d(A; BC).BC.
 ∆ABC 2
 - Điều kiện để một đường thẳng d là tiếp tuyến của đường trũn (C) cú tõm 
I, bỏn kớnh R là d(I; d) = R
 2 2 2 2
 2 5a 2 5a 2 5a
 AK ; KM ; AM 
 8 8 4
 AM2 = AK2 + KM2 AKM vuụng cõn tại K.
 1
 11 3
 2 15 3 10
 MK = d(M; AN) = AM 
 22 t 2 2 5 2
 2 2
 11 1 3 10
 Mà A AN nờn A(x; 2x – 5) AM x 2x 3 
 2 2 2
 Từ đú suy ra A(1; -1) hoặc A(4; 5)
 Vớ dụ 2:Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ 0xy, cho hỡnh vuụng 
 1 
ABCD, gọi M, N là trung điểm của AB, CD. Biết M ;2 ; đường thẳng BN 
 2 
cú phương trỡnh: 2x + 9y – 24 = 0. Tỡm tọa độ A, B biết xB< 0.
 1 
 Định hướng:M ;2 cú vị trớ đặc biệt là trung điểm đoạn thẳng AB và 
 2 
đường thẳng BN đó cho phương trỡnh nờn ta đi tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến 
đường thẳng BN để khai thỏc tiếp.
 Giải:
 85
 MH d(M ; BN) 
 5 A D
Gọi cạnh hỡnh vuụng là a, ta cú:
 1 1 1 4 1 5
 M N
 MH 2 BM 2 MN 2 a2 a2 a2
 H
 a 5 85
 MH a 17 B C
 5 5
 17
 MB 
 2
 34 2b 
Gọi B b; với b < 0.
 9 
 2 2
 1 34 2b 17
 MB b 2 b = - 1 B (- 1; 4)
 2 9 2
Do M là trung điểm AB nờn A(0; 0).
Vậy A(0; 0); B(-1; 4).
 4 Gọi B(2b; b)
Đường thẳng GH cú phương trỡnh: 2x + y – 15 = 0 
 H(6; 3)
 1
Mà HB = AB = 5 nờn (2b 6)2 (b 3)2 5
 3
 b = 4 B(8; 4)
 = 3 A(2; 1)
 2
 = C(7; 6)
 3
 = D(1; 3)
Vậy A(2; 1); B(8; 4); C(7; 6); D(1; 3)
 Một số bài toỏn tương tự:
 1.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hỡnh vuụng ABCD cú 
M là trung điểm BC; đường thẳng DM cú phương trỡnh x – y – 2 = 0 và C(3; -3). 
Biết A d: 3x + y – 2 = 0. Tỡm tọa độ A, B, D.
 2.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho I(1; -1) là tõm của 
một hỡnh vuụng, một trong cỏc cạnh của nú cú phương trỡnh: x – 2y + 12 = 0. 
Viết phương trỡnh cỏc cạnh cũn lại.
 3.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hỡnh vuụng ABCD cú 
A(- 1; 2). Goi M, N lần lượt là trung điểm của AD; DC; K = BN ∩ CM. Viết 
phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp ∆ BMK biết BN cú phương trỡnh: 2x + y – 8 
= 0 và xB> 2.
 4.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hỡnh vuụng ABCD cú 
phương trỡnh AD: 3x – 4y – 7 = 0. E là điểm bờn trong hỡnh vuụng sao cho ∆ 
EBC cõn và Bã EC = 1500. Viết phương trỡnh đường thẳng AB biết E(2; -4).
 5.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD 
 1
cú tõmI( ; 0); đường thẳng AB cú phương trỡnh: x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. 
 2
Tỡm tọa độ A, B, C, D biết A cú hoành độ õm.
 6.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hỡnh chữ nhật ABCD 
cú C thuộc d: x – 2y – 1 = 0, đường thẳng BD cú phương trỡnh: 7x – y – 9 = 0. 
E(-1; 2) thuộc cạnh AB sao cho EB = 3EA. Tỡm tọa độ A, B, C, D biết B, C cú 
tung độ dương.
 6 1 2 81 2
 (t ) . 18
 2 2
 3
 t 
 2
 3 5 11 3
 B( ; ) C( ; )
 2 2 2 2
 3 5 11 3
 Vậy B( ; ) ;C( ; )
 2 2 2 2
 Vớ dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hỡnh thang 
ABCD vuụng tại A ; B cú diện tớch bằng 50; đỉnh C (2 ; -5);AD = 3 BC, đường 
 1
thẳng AB qua M (- ;0) ; AD qua N (-3 ; 5). Viết phương trỡnh đường thẳng AB 
 2
biết AB khụng song song với cỏc trục tọa độ.
 Định hướng: Vỡ AB khụng song song với cỏc trục tọa độ nờn cú thể giả sử 
푛 (1; ) là phỏp tuyến của AB tức là phương trỡnh đường thẳng AB chỉ phụ 
thuộc tham số B và đường thẳng AD cũng viết theo B. Đỉnh C đó cho tọa độ vậy 
nờn quy diện tớch theo d (C; AB) rồi đưa diện tớch hỡnh thang theo tham số b.
 Giải:
Do AB khụng song song cỏc trục tọa độ nờn giả sử 푛(1; ) là phỏp tuyến của AB 
suy ra đường thẳng AB cú phương trỡnh:
 1
 x + by + = 0
 2
 Đường thẳng AD cú phương trỡnh : b(x + 3) – (y – 5) = 0
 1
 Ta cú S ABC d(C; AB) 3d(C; AB).d(C; AD)
 2
 5
 5b
 2 5b 10
 . 25
 12 b2 12 b2
 3 4
 b = hoặc b =
 4 3
Vậy phương trỡnh đường thẳng AB là 4x – 3y + 2 = 0 hoặc 6x + 8y + 3 = 0.
 Vớ dụ 3:(Đề thi thử THPT QG năm học 2014-2015 trường THPT Ba 
Đỡnh).Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hỡnh chữ nhật ABCD 
cú diện tớch bằng 16 và cỏc đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua cỏc 
 8 Nờn AB cú phương trỡnh 7x + 4y – 21 = 0
 3
Lại cú d(C; AB) = 3d(G; AB) =
 65
 1 3
Do đú S = AB.d(C; AB) = (đvdt)
 ∆ABC 2 2
Cỏc bài tương tự
 1.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hỡnh bỡnh hành 
ABCD cú đường chộo AC : x + y + 1 = 0. G(1; 4) là trong tõm.
∆ABC ; E (0 ; -3) thuộc đường cao kẻ từ D của ∆ACD. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh 
bỡnh hành biết SAGC = 6 ; > 0
 2. Cho P (-2 ; 1) ; d: 4x – 3y + 7 = 0. Viết phương trỡnh đường trũn qua P à 
 4
cắt d theo đường kớnh MN sao cho S = .
 ∆PMN 5
 3.Cho hỡnh thang ABCD cú 2 đường thẳng Ab, CD biết B(3; 3), C(5; -3); 
AC ∩ BD = I; I thuộc đường thẳng 2x + y – 3 = 0. Viết phương trỡnh đường 
thẳng AD biết CI = 2BI; S∆ABC = 12; xI> 0; xA< 0.
 4. Cho ∆ABC cú A(- 3; 4), đường phõn giỏc trong AD cú phương trỡnh: x + 
y – 1 = 0 và tõm đường trũn ngoại tiếp I(1; 7). Lập phương trỡnh đường thẳng 
BC biết S∆ABC = 4S∆IBC.
 5. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB, AD tiếp xỳc với (C): (x + 2) 2 + (y – 
 16 23
3)2 = 4; AC cắt (C) tại M ( ; ) và N Oy; biết x 0, S = 10. 
 5 5 A D ∆AND
Xỏc định tọa độ A, B, C, D.
 6. Cho ∆ABC cú phương trỡnh BC là x – 2y + 3 = 0, S ∆ABC = 15. Trọng 
tõm G(4; 1), điểm E(3; -2) thuộc đường cao hạ từ A của ∆ABC. Tỡm tọa độ A, 
B, C.
 7. Cho ∆ABC cú A(3; 4); B(1; 2), C d: x + 2y + 1 = 0. S∆GAB = 3 với G là 
trọng tõm ∆ABC. Tỡm C.
 3
 8. Cho ∆ABC cú diện tớch bằng ; A(2; -3); B(3; -2); trọng tõm G thuộc 
 2
đường thẳng 3x – y – 8 = 0. Tỡm C.
 9. Cho hỡnh thang ABCD cú đỏy lớn CD = 3AB, C(-3; -3), trung điểm AD 
là M(3; 1), AB = 10 ; S∆BCD = 18; xD nguyờn dương. Tỡm tọa độ B.
 10 Sau khi vẽ hỡnh nhỡn thấy ngay AB = 2MN = EF.
 Mặt khỏc đề bài cho đường thẳng AB qua K và ABEF nờn ta hướng đến 
 1
S = AB.d(C; AB) mà d(C; AB) = 3d(G; AB) nờn tớnh được S .
 ∆ABC 2 ∆ABC
 Giải:
 3
Lại cú d(C; AB) = 3d(G; AB) =
 65
 1 3
Do đú S = AB.d(C; AB) = (đvdt)
 ∆ABC 2 2
 Dạng 3: Sử dụng khoảng cỏch từ 1 điểm đến 1 đường trong một số bài 
toỏn viết phương trỡnh tiếp tuyến đường trũn.
Kiến thức sử dụng: Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường trũn (C) tõm I bỏn 
kớnh R khi và chỉ khi d(I; d) = R.
 Vớ dụ 1: Cho (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và M(1; 3). Viết phương trỡnh 
cỏc tiếp tuyến ME; MF đến (C) với E, F là tiếp điểm.
 Định hướng:
 Vỡ cỏc tiếp tuyến đi qua M nờn vấn đề chỉ cần tỡm vectơ phỏp tuyến của 
đường thẳng. Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng là tiếp tuyến giỳp ta giải 
quyết vấn đề đú.
 Giải:
(C) cú tõm I(3; -1); bỏn kớnh R = 2.Gọi d là 1 tiếp tuyến kẻ từ M của (C)
Phương trỡnh đường thẳng d là a(x – 1) + b(y – 3) = 0, 
d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi d(I; d) = 2
 3a b a 3b
 2
 2 2
 a b E M
 4ab – 3b2 = 0
 •
 a 3
 I
 b 4
 F
 b 0
Nếu b = 0, chọn a = 1 Phương trỡnh của d: x – 1 = 0
 a 3
Nếu , chọn a = 3, b = 4 Phương trỡnh của d: 3x + 4y – 15 = 0
 b 4
Vậy phương trỡnh cỏc tiếp tuyến ME; MF là x – 1 = 0; 3x + 4y – 15 = 0
 12 Định hướng:
 Để ý rằng, bỏn kớnh của (C) là R = d(I; d).
 Do vậy chỉ cần tỡm I mà I thuộc (C 2) nờn ta chỉ cần tỡm thờm 1 phương 
trỡnh nữa. Lại cú AB  OI nờn IO//d. Suy ra phương trỡnh OI.
 Giải:
 O(0; 0) là tõm (C1). d
 Gọi I là tõm của (C). A
 Ta cú AB  OI. Mà ABd.
 O I
 d//OI B
 Phương trỡnh OI là: y = x
 y x
 Tọa độ I là nghiệm của hệ: 2 2 I(3; 3)
 x y 12x 18 0
 3 3 4
 Vỡ (C) tiếp xỳc d nờn R d I; d 2 2
 12 ( 1)2
 Vậy phương trỡnh đường trũn (C) là: (x – 3)2 + (y – 3)2 = 8.
 1
 Vớ dụ 4: lập phương trỡnh đường trũn nội tiếp ∆ABC với A(-2; 3); B( ; 0); 
 4
C(2; 0).
 Định hướng:
 Ta nhận thấy cỏc đường thẳng AB, AC, BC đều lập được phương trỡnh, do 
đú để lập phương trỡnh đường trũn chỉ cần tỡm tõm I thỡ sẽ tỡm được bỏn kớnh. 
Mà d(I; AB) = d(I; BC) = d(I; AC) nờn tỡm được I.
 Giải:
Phương trỡnh AB: 4x + 3y – 1 = 0; BC: y = 0; AC: 3x + 4y – 6 = 0.
Gọi I(a; b). Ta cú d(I; AB) = d(I; BC) = d(I; AC).
 4a 3b 1
 b 1
 a 2 2
 a2 b2 2 1 1 1
 (C): x y 
 3a 4b 6 1 2 2 4
 b b 
 2 2 
 a b 2
 Một số bài tập tương tự 
 1. Cho (C): x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết:
 a)Tiếp tuyến đi qua A(3; 6).
 b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x – 4y – 2016 = 0
 14