Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán vec-tơ và sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán

 Lời nói đầu.
 Trong chương trình Toán học học được giảng dạy ở trường phổ thông, 
Hình học bao giờ cũng là môn học khó khăn hơn đối với học sinh. Nắm được 
kiến thức cơ bản đã là một vấn đề khó, vận dụng kiến thức đó một cách linh 
hoạt để giải toán còn là một việc khó khăn hơn nhiều. Tìm ra mối liên quan 
giữa các nội dung đó để có được các cách giải toán hay, hiệu quả là một việc 
làm thiết thực.
 Trên cơ sở nội dung, chương trình làm việc của cá nhân và của tổ nhóm 
chuyên môn, bản thân tôi đã tìm ra được một vài hướng giải quyết một số vấn 
đề trong các bài giảng nhằm nâng cao chất lượng bài giảng cũng như tạo hứng 
thú cho học sinh trong việc học tập và nghiên cứu toán học. Những vấn đề 
nghiên cứu được, tôi tập hợp và viết lại trong báo cáo sáng kiến kinh nghiệm 
này nhằm giúp cho bản thân và đồng nghiệp cũng như học sinh có thêm một 
tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy và học tập môn toán ở trường 
THPT.
 Nội dung sáng kiến có thể chưa thật đầy đủ so với nội dung của vấn đề 
mà tôi lựa chọn nhưng thiết nghĩ, có thể bổ sung vào hành trang của người 
giáo viên một công cụ mới có hiệu quả.
 Tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Nguyễn Danh Du – Phó hiệu 
trưởng, thầy giáo Hoàng Minh Hiển – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Phạm Ngọc 
Bá – tổ trưởng chuyên môn cùng các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán – Tin 
học trường THPT Bỉm Sơn đã đọc trước bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến 
sát thực tiễn để tôi hoàn thành đề tài này.
 Bỉm sơn, tháng 3 năm 2012.
 Người thực hiện đề tài
 Vò Quý Ph­¬ng Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù
 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông
sinh rải rác ở các lớp vẫn không thể nắm vững và vận dụng được các kiến 
thức cơ bản của hình học vào việc giải các bài tập.
 - Nhiều học sinh không nắm được các kiến thức đã học, học trước quên 
sau. Kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản vào các hoạt động giải toán còn yếu.
 Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ là rất mới mẻ đối với học sinh lớp 
10. Qua khảo sát kiến thức và kĩ năng của một số học sinh lớp 10 trường 
THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau khi các em đã được 
học các kiến thức về vec-tơ tôi nhận thấy các em còn bỡ ngỡ và gặp nhiều 
lúng túng. Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức về vec-tơ ở 2 lớp 10C4 
và 10C7 có các bài toán như sau:
 Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' có chung đỉnh A. 
Chứng minh rằng:
 uuur uuur uuur
 a/ CC BB DD .
 b/ Hai tam giác BC'D và B'CD' có cùng trọng tâm.
 uur r uur r
 Đề 2: Cho tam giác OAB. Đặt OA a, OB b và gọi C, D, E là các 
 uuur uur uuur 1 uur uuur 1 uur
điểm sao cho AC 2AB, OD OB, OE OA.
 2 3
 uuur uuur uuur r r
 a/ Hãy biểu thị các vec-tơ OC, CD, DE qua các vec-tơ a, b .
 b/ Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng.
 Qua khảo sát 98 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau:
 Không làm Làm được cả Chỉ làm Chỉ làm 
 Số bài
 được câu nào 2 câu được câu a được câu b
Đề 1 42 25 (59,52%) 9 (21,43%) 7 (16,67%) 1 (2,38%)
Đề 2 46 27 (58,70%) 11 (23,91%) 6 (13,04%) 2 (4,35%)
 Qua bài làm của học sinh và qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy bộc lộ 
những nhược điểm chính ở học sinh như sau:
 - Không nắm vững kiến thức vec-tơ, không hiểu rõ và cũng không phân 
 uuur uuur
biệt chính xác các kí hiệu: AB, AB, | AB |, AB.
 - Không nắm vững các quy tắc cộng, trừ các vec-tơ, nhân một số với 
một vec-tơ, tích vô hướng của hai vec-tơ. Khi tính toán một số em tuỳ tiện bỏ 
kí hiệu vec-tơ, kĩ năng vận dụng kiến thức vec-tơ để giải toán còn yếu, nhất là 
các bài toán mà trong đó chưa viết rõ các quan hệ vec-tơ.
 - Thậm chí, với bài toán “Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB 
= 2R. Gọi M, N là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho 2 dây cung AM 
 uur uuur uur uur
và BN cắt nhau tại I. Chứng minh: AI.AM AI.AB .”, có học sinh đã làm 
 uur uuur uur uuur uuur uuur uur
như sau: AI.AM AI.AB AM AB (chia cả hai vế cho AI) rồi suy ra 
đẳng thức không xảy ra. Điều đó chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm về 
tích vô hướng của các vec-tơ.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 2 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù
 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông
 Phần II: NỘI DUNG
I- Một số kiến thức cơ bản cần chú ý.
I.1. Các định nghĩa về vec-tơ, các kí hiệu thường dùng.
 Cho 2 điểm A, B thì:
 - Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB. Như vậy ký hiệu AB và BA là 
như nhau.
 uuur uuur uuur
 - Ký hiệu AB chỉ vec-tơ AB. Như vậy ký hiệu AB và BA , nói chung, 
là hai vec-tơ khác nhau.
 uuur uuur uuur
 - Ký hiệu | AB | chỉ độ dài của vec-tơ AB . Như vậy | AB | AB và, do 
 uuur uuur
đó, | AB | | BA |.
 - Ký hiệu AB chỉ độ dài đại số của vec-tơ AB.
I.2. Các phép toán về vec-tơ.
I.2.1. Phép cộng các vec-tơ.
 uuur uur uuur
 - Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C thì: AB BC AC.
 - Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là một hình bình hành thì: 
 uuur uuur uuur
 AB AD AC .
 - Tính chất trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
 uur uur r
 + IA IB 0 .
 uuur uu ur uur
 + MA MB 2MI, với điểm M bất kỳ.
I.2.2. Phép trừ các vec-tơ.
 uuur uuur uuur
 Với ba điểm O, A, B thì: OA OB BA .
I.2.3. Phép nhân vec-tơ với một số.
 r r
 - Cho vec-tơ u và số k . Vec-tơ ku được xác định bởi:
 r r
 + ku cùng hướng với vec-tơ u nếu k 0 và ngược hướng với 
 r
vec-tơ u nếu k < 0.
 r r
 + | ku | | k |.| u |.
 r r r r
 - Cho b 0 và a cùng phương với b . Khi đó, tồn tại duy nhất một số 
 r r
thực k sao cho: a kb.
 uuur uuur
 - Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC là 
các vec-tơ cùng phương.
I.2.4. Tích vô hướng của hai vec-tơ.
 r r
 - Cho trước hai vec-tơ a, b . Từ một điểm O cố định, dựng các vec-tơ 
 uuur r uuur r r r
 OA a, OB b. Khi đó góc A·OB là góc giữa hai vec-tơ a, b . Ký hiệu: 
 ·r r r r
 (a, b) hoặc (a, b).
 r r r r r r
 - Tích vô hướng của hai vec-tơ: a.b | a |.| b |.cos(a, b) .
 r r r r
 - a  b a.b 0 .
S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 4 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù
 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông
I- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về vec-tơ.
I.1. Các bài toán xác định vec-tơ.
1. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm vec-tơ cùng hướng, vec-tơ bằng 
nhau.
 Một trong những nguyên nhân khiến học sinh không giải được các bài 
toán về vec-tơ là không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, không biết cách xác định 
một vec-tơ, không hiểu rõ hai vec-tơ bằng nhau, nhầm lần vec-tơ bằng nhau 
với đoạn thẳng bàng nhau ...
 Để giải quyết được điều này, tác giả đã cho học sinh làm lại và phân 
tích kỹ lời giải của học sinh qua hoạtr động số 2 (§1, chương I, SGK Hình học 
10 nâng cao): Cho trước vec-tơ a và điểm O cố định. Xác định điểm A sao 
 uur r
cho OA a . Có bao nhiêu điểm A như vậy.
 uuur r
 Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ sao cho AO a ):
 A O
 a
 Hình 1
 Và yêu cầu một học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn bài toán 
không. Sau đó phân tích cho học sinh thấy rõ rằng: Trong hình vẽ trên, vec-tơ 
 uuur r uuur
 OA và vec-tơ a có độ dài bằng nhau. Tuy nhiên, vec-tơ OA có hướng từ 
 r
phải sang trái trong khi vec-tơ a có hướng từ trái sang phải. Do đó hai vec-tơ 
nay không bằng nhau nên điểm A như trên không thỏa mãn bài toán.
 Sau đó, tác giả yêu cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn bài toán: Đa 
số học sinh đã xác định được điểm A như hình vẽ sau:
 O A
 a
 M N
 Hình 2
 r
 Qua đó, tác giả nhấn mạnh cho học sinh rằng: nếu vec-tơ a được xác 
 uuur r
định bởi điểm đầu là M và điểm cuổi là N thì OA a khi và chỉ khi tứ giác 
MNAO là hình bình hành (cần chú ý chặt chẽ đến thứ tự các đỉnh của hình 
bình hành). Hơn nữa qua việc xác định như thế, học sinh nhận ra ngay luôn có 
một và chỉ một điểm A thỏa mãn bài toán.
S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 6 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù
 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông
nữa, với mỗi ví dụ, bài toán, tác giả luôn cố gắng hướng dẫn học sinh tìm 
nhiều cách giải khác nhau, qua đó vận dụng được nhiều kiến thức cơ bản và 
hiểu rõ thêm về bản chất của loại kiến thức mình áp dụng.
* Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng của các vec-tơ 
thông qua một bài toán cụ thể, qua đó củng cố thêm về khái niệm tổng của các 
vec-tơ, các quy tắc thường dùng của tổng các vec-tơ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho luôn 
 r uuur uuur uuur uuur
có: BD = DE = EC. Hãy dựng vec-tơ u AB AC AD AE .
Giải:
Cách 1: Gợi ý học sinh: 
 - Trong phép dựng tổng của hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc thì 
nên xem xét đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành)
 - Vận dụng quy tắc đó vào trong bài toán này cụ thể ra sao? (Nhóm mỗi 
2 vec-tơ xác định bởi hai cạnh của hình bình hành lại với nhau)
 Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải 
như sau:
 K
 B I
 D
 O
 E
 A C Hình 5
 Dựng hình bình hành ABIC thì ADIE cũng là hình bình hành.
 Từ quy tắc hình bình hành, ta có ngay:
 uuur uuur uur uuur uuur uur r uur
 AB AC AI, AD AE AI u 2AI .
 r uur uuur
 Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì: u 2AI AK .
Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác được không?
 r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 Học sinh đã biến đổi: u AB AC AD AE AB AE AC AD . 
 uuur uuur uuur
Từ đó, dựng các hình bình hành ABME và ACND thì: AB AE AM , 
 uuur uuur uuur 
 AC AD AN .
 r uuur uuur
 Như vậy: u AM AN .
 r uuur
 Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì: u AK .
S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 8 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù
 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông
 Với loại toán này, nhiều học sinh lúng túng khi không thể áp dụng một 
quy tắc rất cơ bản của phép cộng và phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B 
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
bất kỳ, ta luôn có: AO OB AB, OA OB BA . Cả hai quy tắc đó, mấu 
chốt vẫn là quy tắc ba điểm của phép cộng các vec-tơ. Chính vì điều này, kết 
hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước khi cho học sinh làm các bài toán 
cụ thể, tác giả đã cho học sinh thực hành khá nhiều việc lấy tổng, hiệu của hai 
vec-tơ,u phânuur utíchuur mộtuuur vec-tơuur uthànhuur tổng,uuur hiệuuur củauur haiuur vec-tơuuur ...u đạiur loại như:
 AO OB AB; MI KM KM MI KI; EF EO OF
 uuur uuur uuur uuur uur uur
 AM AN NM; CD ID IC ...
 uur 1 uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur
 AI AM AN ; EM EN 2EI; KM 2KI KN ... (Với I là trung 
 2 
điểm của đoạn thẳng MN).
 Ngoài ra, cũng cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ 
cùng phương, cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn.
 Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành 
qua một bài toán khá đơn giản sau đây.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E là trung điểm của BC. Đặt 
 uuur r uuur r uuur r r
 AB a, AO b . Hãy biểu diễn vec-tơ AE theo các vec-tơ a và b .
Giải: 
 A D
 O
 B E C
 Hình 8
Cách 1: Gợi ý học sinh:
 uuur uuur
 - Trong bài toán này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ AB, AO .
 uuur
 - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn AE qua 
 uuur uuur
tổng hoặc hiệu của các vec-tơ cùng phương với các vec-tơ AB, AO (hoặc là 
chính các vec-tơ đó).
 Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
 uuur uuur uuur uuur 1 uuur r 1 r 1 r r
 AE AO OE AO AB b a a b
 2 2 2
Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải trên đã vận dụng quy tắc ba điểm 
trong bước biến đổi đầu tiên. Hãy xem xét các giả thiết của bài toán để có thể 
biến đổi cách khác. Chú ý đến các yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng ...
S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 10